ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Фазовое пространство и уравнение Лиувилля из "Математические методы в кинетической теории газов " Чтобы избежать путаницы, будем помнить, что 1 играет ту же роль, что и нижний индекс в 2о. Аналогично можно было бы написать ( ) вместо ( ), но мы думаем, что принятые обозначения позволяют лучше видеть различие между х и х ( ). [c.23] Плотность достоверности С (х , 1 , О является обобщенной функцией + 1 переменных и содержит точно такую же информацию, что и уравнения (4.1). Действительно, если вычислить средние от х - или ( = 2,. . ., М), то найдем даваемые (4.1) значения отклонения от них строго равны О (доказательство то же, что и в конце 2). Таким образом, показано, что х и строго те же, что и даваемые уравнениями (4.1). [c.23] Теперь рассмотрим преимущества и недостатки использования описания, основанного на одной функции С (х , 1 , ) от + 1 переменных вместо функций х ( ), t) одной переменной. Как мы видели, оба описания системы эквивалентны. Далее, использование одной независимой переменной и зависимых переменных в принципе не связано с большими или меньшими трудностями по сравнению с рассмотрением одной зависимой переменной и + 1 независимых переменных. С интуитивной точки зрения ясно, что можно легко вообразить облако частиц с заданными положениями в любой момент согласно основанному на (4.1) описанию вместе с тем несомненно, что не так-то просто представить себе в любой заданный момент времени точку в 67 -мерном пространстве с координатами Х/ , (А = 1,. . ., М). Тем не менее введение этого бТУ -мерного пространства, называемого фазовым пространством системы, обладает тем преимуществом, что данное состояние системы (определяемое положениями и скоростями всех частиц) изображается одной точкой фазового пространства поэтому если забыть о трудности визуализации пространства с таким большим числом измерений, состояние системы во втором представлении является гораздо более простым понятием, чем в первом. [c.23] Однако имеется действительно важная причина перехода от первого способа ко второму последний (с плотностью вероятности вместо плотности достоверности) сохраняет смысл даже тогда, когда описание системы неполное, а для первого это не так. Действительно, при наличии неопределенности в определении положений и скоростей частиц основанное на траекториях частиц представление теряет свой смысл (особенно с точки зрения предсказания эволюции при заданных начальных условиях). В то же время ту же самую неопределенность можно легко учесть в описании, использующем фазовое пространство, путем такого размазывания даваемой формулой (4.2) плотности, чтобы имели смысл редние от положений и скоростей, а отклонения от средних значений уже не были бы равными 0. [c.23] Необходимо отметить, однако, следующее функция С (х/ , 1/ , О введена пока в предположении, что мы способны решить задачу с начальными данными (1.1), (1.2) и, следовательно, записать формулы (4.1) это не может удовлетворить нас, ибо делает второе описание жестко связанным с первым, в результате чего теряются преимущества использования второго описания. Другими словами, мы не сделали второе описание полностью независимым — с математической точки зрения — от первого. Чтобы сделать это, необходимо вывести уравнение, которое позволило бы определять функцию С (х/ , ) в любой момент времени, если она известна при = О, без обращения к системе (1.1). Это можно сделать, и в итоге мы получим уравнение в частных производных для С (х/ , 1/ , ), известное под названием уравнения Лиувилля. [c.24] Вернуться к основной статье