Постановка краевой задачи в перемещениях

Заметим, что при постановке краевой задачи в перемещениях нельзя задать произвольным образом граничные значения перемещений по всей границе плоской области. Деформация определяется единственным образом, если задана компонента и вектора перемещений в некоторой точке каждого волокна и компонента v в некоторой точке каждой нормальной линии. Нормальной линией мы всегда будем называть кривую, перпендикулярную направлению волокон в каждой своей точке.) [c.292]

После подстановки выражений (3.1.51) или (3.1.52) в уравнения равновесия (3.1.9), (3.1.10) и граничные условия (3.1.15), (3.1.17) для нулевого приближения постановка краевой задачи в перемещениях для этого приближения может быть записана следующим образом [c.56]

Тогда, подобно задачам упругости, постановка краевой задачи в перемещениях для нулевого приближения может быть записана следующим образом [c.108]

Обозначим через толщину к-то слоя, /гз = 2с Ла, ка (ск = = 1,2) — коэффициенты Ламе и главные кривизны срединной поверхности заполнителя. Проводя постановку краевой задачи в перемещениях, за независимые переменные принимаем — [c.460]

Обобщенная постановка краевых задач в перемещениях. [c.111]

Постановка и решение стохастической краевой задачи в перемещениях в корреляционном приближении [c.43]

Рассмотрим одну из возможных процедур численного решения краевых задач для тел, поведение которых описывается определяющим уравнением (5.115), известную под названием метода шагового интегрирования по времени. Для этого используем постановку задачи в перемещениях в форме принципа возможных перемещений (Лагранжа) t [c.247]

Согласно постановке краевой задачи необходимо найти в трехмерной области У, ограниченной замкнутой поверхностью S, тензорное поле Q (г), где г — радиус-вектор, определяющий положение произвольной точки внутри области V в глобальной криволинейной системе координат <7, где = 1, 2, 3 (рис. 2.26). При решении задачи теплопроводности Q = t тензор ранга О, температура, скаляр при решении задачи теории упругости в перемещениях Q- и - тензор ранга 1, вектор перемещений при решении этой же задачи в напряжениях Q = = о - тензор ранга 2, тензор напряжений. [c.48]

Постановка плоской задачи о балке и плите. Рассматривается обобщенное плоское напряженное состояние в прямоугольной полосе длины / и высоты 26 О х I, —Ь-s у К-Ь). Принимается, что 2 <С и это делает приемлемой, в соответствии с принципом Сен-Венана, допустимость точного выполнения краевых условий только на длинных сторонах у = Ь прямоугольной области и замену распределения поверхностных сил на коротких сторонах (х = О, х = I) статически эквивалентным распределением — продольной и поперечной силами Р, Q и изгибающим моментом ц. Поперечное сечение балки представляет прямоугольник толщиной h и высотой 2Ь, причем h Ь, что позволяет ограничиться рассмотрением средних значений напряжений и перемещений по толщине балки. Принятая постановка задачи применима также к задаче о плоской деформации плиты, теоретически бесконечно протяженной по оси х , когда закон нагружения ее граней у = Ь, х = О, х = 1 не зависит ог Хз. Размер по оси не фигурирует в дальнейшем изложении, он может быть принят равным единице длины. Переход к формулам задачи о плите от формул рассматриваемой далее задачи о балке осуществляется в соответствии с правилом (1.6.5) путем замены [c.482]

В случае, если нормальные перемещения и напряжения на соприкасающихся поверхностях слоев совпадают, а касательные напряжения равны нулю, приходим к задаче об оболочке с проскальзывающими без трения слоями. Зоны контакта при этом известны, что существенно упрощает задачу. В указанной постановке решены задачи статики слоистых цилиндрических [59] и сферических [196] оболочек. Метод последовательных приближений, основанный на принципе поочередной непрерывности , в соответствии с которым краевые задачи для слоев решаются на каждой итерации независимо, применен в [208, 238, 239] для изучения слоистых цилиндров и цилиндрических оболочек. Более сложная задача для цилиндров, слои которых в некоторых зонах сцеплены, а в других проскальзывают, решена в [189]. В этой работе получил развитие [c.16]

Содержательной в квазистатической постановке является задача при наличии краевых условий (1.42) и.ри (1.47). Но в этом случае приходится делать гипотезы, позволяющие выразить Аю,-/ через скорости перемещения Avi, например, типа [15, 18] [c.190]

Постановка задачи и реализация метода однородных решений. Пусть в прямоугольной системе координат (ж, у) (рис. 5.10) упругое тело занимает область х R y), О h. Предполагаем, что на грани у = О заданы условия отсутствия нормальных перемещений и касательных напряжений, а штамп с плоской подошвой внедряется симметрично относительно оси в грань у = h ш величину 6. Соответствующую краевую задачу для уравнения Ламе можно симметрично продолжить в область у < 0. В этом случае получаем эквивалентную задачу (см. рис. 5.11 на стр. 208) о внедрении двух штампов в грани у — h упругого тела, занимающего область ж R y), у h, считаем R y) четной функцией. Таким образом, приходим к исследованию краевой задачи для уравнения Ламе при следующих граничных условиях [c.198]

Следует подчеркнуть, что и в том и в другом случае в каждой точке поверхности тела должны быть заданы три краевых условия, в противном случае постановка задачи не будет вполне определенной. Может оказаться, что на одном участке границы тела (2i) задаются перемещения, а на другом участке (2g)—внешние силы. Возможны также и смешанные краевые условия, когда из трех равенств, которые должны быть заданы в каждой точке границы тела, одно (или два) формулируется в перемещениях, а два (или одно) — в силах. К такого рода граничным условиям можно прийти путем следующих рассуждений. [c.115]

Соотношения Бельтрами—Митчелла открывают еще один возможный путь решения задач классической теории упругости — метод их решения в напряжениях, не прибегая к предварительному определению перемещений. В этой постановке проблема сводится к отысканию таких шести функций от координат которые одновременно удовлетворяли бы трем уравнениям равновесия (5.2), шести соотношениям Бельтрами—Митчелла (9.3), (9.4) и, кроме того, подчинялись трем заданным краевым условиям в каждой точке поверхности, ограничивающей тело. Иногда второй путь решения оказывается более удобным, чем первый, состоящий в решении системы (7.1) из трех уравнений с тремя неизвестными и, V, . В частности, это будет безусловно так, если граничные условия на всей поверхности тела формулируются в напряжениях. [c.196]

О постановке задач плоского напряженного состояния уже говорилось выше. Задачи же плоской деформации возникают при рассмотрении тел, ограниченных цилиндрической поверхностью, когда краевые условия на цилиндрической части постоянны вдоль образующей, причем компонента (7гv равна нулю. Если тело (цилиндр или пространство с цилиндрической полостью) ограничено, то на плоских сторонах могут быть заданы условия смешанного типа, а именно, нормальные перемещения и касательные компоненты напряжений равны нулю. Если же попытаться подобрать на этих поверхностях соответствующие напряжения 0г, то следует первоначально решить задачу плоской деформации бесконечного цилиндра и, получив значения Ог (согласно (4.3)), задать их как краевые условия. Само собой разумеется, что касательные компоненты напряжений по-прежнему обращаются в нуль. [c.277]

Третья глава посвящена построению нового приближенного решения стохастической задачи теории упругости мнкронеоднородных сред, названного полным корреляционным приближением, в перемещениях с учетом реального вида моментных функций упругих свойств. Рассматривается единая для большинства работ в зтом направлении постановка статистически нелинейной краевой задачи в перемещениях с граничными условиями, обеспечивающими однородность маг [c.9]

Восьмая глава посвящена исследованию упругопластического деформирования и структурного разрушения слоистых композитов. Рассматривается постановка и рш1ение стохастических краевых задач в перемещениях и напряжениях для общего случгш нелинейных определяющих соотношений пластически сжимаемых и случайно чередующихся слоев с учетом разброса прочностных свойств и возможных механизмов разрушения. Граничные условия задач соответствуют произвольно заданному макроскопически однородному деформированному или напряженному состоянию композита. Моделируются многостадийные процессы деформирования и разрушения слоистых композитов. В данной главе, как и в предыдущей, закритическая стадия деформирования, проявляющаяся в разупрочнении материала, обнаруживается при решении задач как результат структурного разрушения. Это позволяет на базе использования апробированных моделей механики композитов в ходе проведения вычислительных экспериментов исследовать основные закономерности закритического деформирования композиционных материалов различной структуры. [c.12]

Как известно, постановка задачи в перемещениях не является единственно возможной. В ряде случаев более целесообразным является использование постановки задачи в напряжениях. Краевая задача для соответствующей системы дифференциальных уравнений здесь использована не будет, а будет произведен переход сразу к вариационной постановке — минимизации (максимизации) соответствующего функционала с помощью применения преобразования Фридрихса [17] к получепным ранее проблемам минимизации функционалов вида [c.202]

При решении некоторых задач МСС, например, теорш упругости, кинематическую постановку удобно осуществлять в перемещениях. Она фактически сводится к замене лагранжева вектора L вектором перемещения с помощью (1.2.4) во всех уравнениях основного множества уравнений табл. 5 или в уравнении (1.5.28) и в краевых условиях, где статические параметры заменяются с помощью определяющих уравнений типа (1.5.30) на кинематические параметры. [c.140]

Глава I посвящена постановке краевых задач нелинейной теории пологих оболочек. В ее ходе детально проанализировано само понятие пологости, которое имеет сложный физико-геометрический характер. Опо отрабатывалось в трудах К. Маргерра, X. М. Муштарп, В. 3. Власова, К. 3. Галимова, В. В. Новожилова и др. Приведен единый критерий пологости оболочки. Основные краевые задачи сформулированы в произвольных неортогональных координатах как в перемещениях, так п с функцией усилий. [c.6]

Эта система двух уравнений в частных производных содержит две искомые функции и х, у), v (х, у), для решения которой необходимо поставить соответствующие постановке конкретной задачи краевые условия. Такой путь решения называется реишнием в перемещениях. Другой путь решения, когда искомыми являются усилия Nx, Ny, Nxtj, называется решением в усилиях и состоит в следующем. Два уравнения равновесия (17.23) содержат три искомые функции Nx, Ny, Nxy, поэтому система уравнений (17.23) дополняется еще одним — уравнением совместности деформации. Исключим из линеаризованных выражений для деформации (16.14) функ- [c.411]

Деформированное состояние оболочки компенсатора определялось на основе метода [140] решения задачи о длительном циклическом нагружении данной конструкции. Задача решалась в ква-зистациоиарной несвязанной постановке путем численного интегрирования на ЭВМ Минск-32 системы нелинейных дифференциальных уравнений, определяющих напряженно-деформированное состояние неупругих осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Решение линейной краевой задачи производилось на основе метода ортогональной прогонки [52]. Рассматривалась только физическая нелинейность. Учет геометрической нелинейности при расчетах сильфонов, работающих как компенсаторы тепловых расширений в отличие от сильфонов измерительных приборов [193], обычно не производится [32, 150, 222], как не дающий существенного уточнения при умеренных перемещениях. Предполагалось, что все гофры сильфона деформируются одинаково. Поэтому расчет производился только для одного полугофра. Эквивалентный размах осевого перемещения полугофра, вызывающий те же деформации, что и полное смещение концов сильфона, определялся по формуле [c.200]

Сложность расчетного определения напряженно-деформированных состояний элементов ВВЭР, как отмечалось выше (см. 1, гл. 2 и гл. 3), состоит в том, что в них реализуются пространственная схема передачи усилий, трехмерные поля напряжений, затрудняющие формулировку граничных условий. Ниже излагается расчетное определение напряжений и перемещений в зонах корпусных конструкций по исходным данным, получаемым на границе зтих зон с помощью экспериментальных методов, но в силу ряда обстоятельств недостаточных для постановки и решения обычных краевых задач. Возникаюшце при этом задачи представляют собой так называемые обратные задачи, в которых неизвестные величины определяются (восстанавливаются) по их проявлению, отклику в доступной для прямых измерений области. Эти задачи, как правило, являются некорректно поставленными и требуют при своем решении применения специальных методов. В связи с этим методы решения таких задач во многих случаях могут существенным образом зависеть от точности получаемой экспериментальной информации и методов ее обработки. [c.59]

Рассматриваемая задача представляет собой задачу о внутренней трещине, находящейся в сравнительно тонкостенном конструкционном элементе, для исследования которого применяют теорию пластин или оболочек. В обычной системе обозначений, принятой ниже и отнесенной к локальной системе координат, представленной на рис. 1, ui, U2 и Uz — компоненты вектора перемещений, Pi и Р2 — углы поворота нормали к нейтральной поверхности в плоскостях Х1Х3 и Х2Х3, Nij, Мц и Vi (i, j = 1,2) — результирующие мембранных усилий, момента и усилий поперечного сдвига. Принимаем также, что задача о сквозной трещине в пластине или оболочке поставлена и сведена к системе интегральных уравнений. В [11—16] принято, что неизвестными функциями интегральных уравнений являются производные перемещений поверхности трещины и углов поворота нормалей к нейтральной поверхности. Это является естественным следствием постановки задачи для пластины пли оболочки со смешанными краевыми условиями. В случае симметричной задачи о сквозной трещине в области —а <. Х <. а (расположенной в одной из главных плоскостей кривизны) пластины или оболоч- [c.245]

Рассматриваемая в данной главе стохастическая краевая задача теории упругости является основой статистической механики композитов со случайной структурой. Начало систематическому изучению этой задачи положено работой И.М. Лифшица и Л.Н. Розенцвейга [160] применительно к поликристаллам, в дальнейшем многочисленные результаты были обобщены в монографиях [62, 130, 162, 172, 247, 296, 320 и др.]. При единой практически для всех работ в этом направлении постановке задачи, связанной с представлением упругих модулей микронеоднородной среды как случайных статистически однородных функций координат и выбором граничных условий в виде, обеспечивающим однородность макроскопических деформаций, а также общности подхода к решению с использованием метода функции 1 ина уравнений теории упругости в перемещениях для неограниченной изотропной или анизотропной среды существуют различия в получаемых результатах для эффективных свойств композитов и, в большей мере, для оценки полей напряжений и деформаций в компонентах композитов. Это обусловлено статистической нелинейностью исследуемой задачи и построением приближенных решений, которые неодинаково адекватны физической модели композита, в частности, его структуре. [c.39]

Отметим, что для жидкостей, когда A aij можно считать в точности совпадающим с Аац, бифуркационная проблема в общем случае все же не замыкается в параметрах мгновенного состояния, ибо в краевых условиях (1.42) и (1.47) присутствует параметр Ао),7, выражающийся через перемещения. Только в случае, когда в качестве краевых выступают чисто кинематические условия, сформулированные в скоростях перемещения, задача становится замкнутой, но при этом в рассматриваемой здесь квазиста-тической постановке она вырождается в геометрически линейную, с уравнением (1.36) и однородными краевыми условиями в скоростях перемещения, в которой бифуркационная ситуация невозможна. Задачи такого типа нужно рассматривать в динамической постановке (см., например, [47]), которой мы здесь не касаемся. [c.190]

Таким образом, уравнение (35.1) позволяет формулировать граничные условия только в смысле Сен-Венана. Достаточность такой постановки в задачах статики обеспечивается принципом Сен-Венана, согласно которому уточнение теории в сторону учета самоуравновешенных краевых нагрузок внесло бы в поле напряжений лишь локальные поправки. Что касается задач динамики, то здесь напряжения и перемещения, вызываемые торцевой нагрузкой (независимо от того, будет она самоуравновешенной или нет), вообще говоря, не локализуются у нагруженного торца. Более того, как мы видели выше, волна несамоуравновешенных продольных напряжений по [c.217]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...