Периодическое движение границы

Периодическое движение границы [c.103]

Отсюда следует, что заданная фаза ф будет реализовываться при периодическом движении границы с периодом 2ж/0. На рис. 3.4. приведены зависимости I от t для различных значений т при (О, из которых видно, что закон движения границы при малых т близок к гармоническому [2.5,3.9]. Это и неудивительно, так как при решении задачи приближенным методом (см. 3.8) для движения границы по [c.103]

Рассмотрим особенности переходных процессов в системе при периодическом движении границы [8, 4.16 [c.163]

На границе таких областей происходит либо исчезновение одного из этих движений, либо нарушение устойчивости. Поэтому задача выделения областей существования и устойчивости простейших установившихся движений (состояний равновесия и периодических движений) является частью более обш,ей задачи изучения бифуркаций особых точек и замкнутых фазовых кривых. Однако значимость теории бифуркации состоит не только в этом, но и в том, что она открывает путь к более полному изучению динамических систем и оказывается полезной даже при изучении конкретной динамической системы, которая ни от каких параметров не зависит. Последнее означает, что в ряде случаев изучение конкретной динамической системы существенно облегчается путем искусственного введения параметров и последующего использования теории бифуркаций. [c.251]

Однако возможны и значительно более сложные случаи, когда разделяющая области протяжения граница имеет очень сложный характер. Схема одного из таких случаев представлена на рис. 7.23. На нем и Г./ — устойчивые периодические движения. Почти все фазовые траектории [c.270]

Пусть Oi °,. .., Г —устойчивые состояния равновесия и периодические движения. О ",. .., Тт" —неустойчивые и ..., — седловые. Окружим каждое из них малыми окрестностями с кусочно-гладкими граничными поверхностями, составленными либо из поверхностей без контакта, либо кусков интегральных поверхностей. Возможные виды таких поверхностей в трехмерном случае изображены на рис. 7.26,а, б, в. Обозначим границы этих окрестностей для устойчивых и неустойчивых состояний равновесия и периодических движений соответственно через Oi,. ..,а и а,,. .., От. У седлового состояния равновесия [c.274]

Шильников Л. П., Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости состояний равновесия и периодических движений ( опасные и безопасные границы). В кн. [173] (русский перевод), стр. 294-316 [c.211]

Периодическое движение, описываемое формулами (11) и (19), имеется всюду, где в решениях системы из уравнений (10), (11 ) и третьего уравнения (И) положительны. Границей [c.125]

Анализ условий отсутствия дополнительных соударений необходим при построении областей существования ВУС и может быть проведен после определения законов движения всех ее звеньев. Как правило, точки соответствующих границ областей существования находят численно или графически. Поэтому в дальнейшем, приводя результаты анали(а периодических движений ВУС, не будем останавливаться на условиях отсутствия дополнительных соударений, имея в виду, что проверка этих условий может быть выполнена в каждом конкретном случае по известным параметрам периодического режима. [c.311]

В четвертой главе развита теория параметрической неустойчивости второго рода. Ее причиной является нормальный эффект Доплера, носящий кинематический характер. Это позволило развить качественную теорию неустойчивости, основанную на анализе кинематики волн, не решая сложной в математическом отношении краевой задачи. Выведен критерий неустойчивости второго рода и развит метод нахождения областей параметрического возбуждения импульсов в системах с периодически колеблющимися границами. Исследованы процессы формирования импульсов из синусоидальных начальных возмущений. Рассмотрены две системы, в которых параметрическая неустойчивость второго рода возникает не за счет движения границы, а в результате периодического изменения распределенных параметров. Приведены данные экспериментальных исследований, подтверждающие результаты теоретических расчетов. [c.16]

Рассмотрим область пространства, лежащую справа от плоскости а = 0. Еслп эта плоскость является жесткой границей и если в рассматриваемой области нет источников звука, то всякое возмущение в конце концов исчезнет. Любое установившееся периодическое движение в этой области при отсутствии в пей источников должно поэтому вызываться движением границы это движение будет вполне определенно, если задана нормальная компонента скорости в каждой точке границы. Это движение можно, далее, выразить через распределение нормальной скорости следующим образом. Поток, вытекающий из элемента bS плоскости, равен — 6S, где через бп обозначен [c.312]

Тенденции к порядку и хаосу обусловлены устойчивостью и неустойчивостью. Еще совсем недавно устойчивость рассматривалась как неотъемлемое требование физической реализуемости. Казалось, что неустойчивые состояния равновесия и периодические движения физически нереализуемы на протяжении продолжительных интервалов времени и имеют значение лишь в математических исследованиях, поскольку играют важную роль в формировании границ областей притяжения устойчивых состояний равновесия и периодических движений. [c.43]

Роль неустойчивых состояний равновесия и периодических движений как границ областей притяжения отражена на фазовом портрете динамической системы (рис. 2.1), которую можно назвать триггером. Точки ж О г — устойчивые состояния равновесия (одно — типа фокуса, другое — типа узла). Точка О — неустойчивое состояние равновесия типа седла. В него входят только две фазовых траектории и 2, и они разделяют устойчивые равновесия О1 и О1, определяя возле каждого из них области притяжения и П . Всякая фазовая точка области стремится к точке 0 , всякая точка области Яд — к точке О г. Таким образом, в зависимости от начальных условий система с таким фазовым портретом оказывается в одном из состояний равновесия (либо О,, либо Ог). Перейти из одного из этих состояний равновесия в другое она [c.43]

В настоящей главе рассказывается о простейших установившихся движениях — состояниях равновесия и периодических движениях. Излагается классификация состояний равновесия и периодических движений, устанавливаются и исследуются основные типы их бифуркации. Рассматриваются не только устойчивые состояния равновесия и периодические движения, но и неустойчивые седловые состояний равновесия и периодические движения. Если первые играют роль основных простейших установившихся движений, то вторые играют определяющую роль в формировании границ их областей притяжения и в формировании хаотических и стохастических движений, а также всего фазового портрета динамической системы. [c.93]

Теорема 5,6. При переходе через границу Л +, в основном случае а Ф ) происходит либо слияние периодических движений 1 р+1,9+1 и рр, 9+2 р последующим их исчезновением, либо их одновременное рождение. [c.114]

Периодическое движение со сферическими границами [c.798]

Рис. 168. Область устойчивости пространственно-периодических движений с периодом 2тт к в слое с волнистыми границами (заштрихована)

Вопрос об устойчивости периодических движений линейных гамильтоновых систем подробно исследовался в работах М. Г. Крейна и В. А. Якубовича, результаты которых подытожены в совместной статье этих авторов (1963). Полученные ими результаты являются основой математической теории параметрического резонанса. М. Г. Крейн установил, что собственные частоты колебаний механических систем по отношению к параметрическому резонансу подразделяются на частоты первого и второго рода. Параметрический резонанс в классе гамильтоновых систем возможен лишь в случае, когда частота возмущения близка к одному из критических значений ( >j + ( л)/А , если и — собственнице частоты одного рода, и I (Оу — о>й I /М, если со и со — собственные частоты разного рода (здесь N — произвольное целое число). Указано, каким образом определяется род собственных частот. В. А, Якубовичем (1958) получены формулы для границ областей динамической неустойчивости, позволяющие, в частности, классифицировать указанные выше критические значения по степени их опасности . [c.37]

Периодическое движение границы может приводить к накапливающимся эффектам и возпикповепию неустойчивости системы. Плотность энергии собственных колебаний t) пропорциональна квадрату мгновенной частоты (р ( +). В случае неустойчивости она стремится к бесконечности, поэтому необходимо, чтобы p (Q изменялась в неограниченных пределах. С другой стороны, нас интересуют только такие фазы ф, которые соответствуют периодическим решениям для законов движения границы l t). Указанным требованиям удовлетворяет, например, следующая функция [8, 2.5, 3.9,3.15 [c.105]

У рассматриваемой нами системы всякая фазовая точка может находиться вне выделенных нами окрестностей не дольше некоторого конечного времени т. Поэтому фазовые траектории, лежащие вне выделенных малых окрестностей, порождают на их граничных поверхностях некоторые точечные отображения. При этом каждая поверхность а,, oj-, или oi2 отображается в какие-то другие поверхности о], ш/, (0/1 или (0/2. Отображение, преобразующее, например, точки поверхности о/ в сод, будем обозначать через Т(а/- (О д). Таких различных отображений будет конечное число, причем каждое из этих отображений кусочно-гладкое. Это последнее утверждение следует из существования верхней границы т длительности движения фазовой точки от одной поверхности до другой и из компактности гладких кусков поверхностей без контакта, ограничивающих выделенные нами окрестности состояний равновесия и периодических движений. [c.276]

Однако строгий расчет величины баф затруднен из-за сложной, хаотичной природы самого процесса пузырькового кипения в последующем анализе приходится прибегать к приближенным качественным оценкам. Естественно полагать, что величина бэф должна уменьшаться при уменьшении вязкости жидкости V, при увеличении интенсивности беспорядочного движения парожидкостной смеси у границы этого слоя вследствие процесса парообразования и при увеличении плотности центров парообразования на самой поверхности. Мерой двух последних эффектов могут служить средняя скорость парообразования w" = qlrp" и величина, обратная критическому радиусу парового зародыша, 1/ мии-Далее, можно рассматривать процессы роста отдельных пузырьков пара и движение всей парожидкостной смеси около поверхности как совокупность целого ряда периодических процессов поэтому в целом такое сложное и беспорядочное движение может быть интерпретировано как некоторое периодическое движение с характерным средним периодом т. Тогда из соображений размерности следует, что величина бэф , а период т мив/а " т. е. [c.118]

При этом мы будем предполагать, что существует секущая поверхность S рода одни и соответствующее преобразоваиие Т. Границы поверхности S должны соответствовать периодическим движениям общего устойчивого типа, и 5 пе[)есекаетсп п одном и том же иап1)аплении [c.233]

Рнс. 59. Свойства геодезических метрик Якоби в области возможности движения с краем. Слева изо ажены две либрации — траектории периодических движений, переходящих с одной связной компоненты границы (из трех) на другую. Эти кривые имеют минимальную длину в классе всех кривых, соединяющих указанные компоненты границы (минимальная геодезическая для третьей пары связных компонент состоит из уже названных либраций и куска границы между ними — длина этого куска в метрике Якоби равна нулю). Справа изображена траектория, выходящая на границу из произвольной внутренней точки компактной области возможного движения. Такая траектория существует всегда Существо доказательства в том. что траектория сначала доводится до некоторой-окрестности границы такой, что все геодезические, выпущенные с границы, без самопересечения под прямым углом упираются в границу окрестности. Одна из этих геодезических встретит рассматриваемую траекторию под развернутым углом и потому послужит ее продолжением. Из рис. 57 вытекает, что даже в случае компактной области возможности движения две точки не всегда можно соединить геодезической метрики Якоби [c.288]

Для неконсерватнвных систем в исходные уравнения входят уже два или несколько параметров. Один из них по-прежнему характеризует частоту X периодических движений, а другие (параметры устойчивости iJj) — внутренние силы и факторы, приводящие к потере устойчивости. Для таких систем ставится задача об отыскании границы (границ) устойчивости. Как и при определении собственных частот в этом случае составляется условие — уравнение [c.184]

Геометрическим местом точек фазового пространства, имеющих своими предельными точками при /->-00 предельный цикл, будет незамкнутая поверхность, проходящая через предельный цикл [3]. Она делит фазовое пространство на две части Содержащую начало координат (внутреннюю) и не содержаи1ую его (внешнюю). Внутренняя часть заполнена траекториями, имеющими предельную точку — состояние равновесия эта часть и является областью притяжения последнего Внешняя часть заполнена траекториями, имеющими предельные точки в бесконечности. Это означает, что если начальное отклонение от точки (О, 0) гаково, что изображающая точка не вышла из границ внутренней области, то в системе установится равновесный режим, если же начальное отклонение настолько велико, что изображающая точка перешла во внешнюю область, то отклонение с течением времени будет неограниченно возрастать. Если параметры системы связаны противоположным неравенству (31) соотношением, то в фазовом пространстве также существует неустойчивое периодическое движение. [c.183]

При отделении от состояния равновесия О" ° устойчивого периодического движенин или устойчивых состояний равповесия происходит мягкий переход от прежнего установившегося движения (состояния равновесия) к новым установившимся движениям (устойчивому периодическому движению или одному из устойчивых состояний равповесия). Напротив, при слиянии с состоянием равповесия О" неустойчивого периодического движепия, неустойчивого равповесия или равновесий переход к новому установившемуся движению носит жесткий характер. К какому именно новому установившемуся движению происходит жесткий переход, локальная теория бифуркаций не указывает. Это может быть равновесие, периодическое, хаотическое или стохастическое автоколебание. Это может быть и уход в бесконечность. Отметим, что общими являются только бифуркации 1 и 3, бифуркация 2 является общей только при часто встречающейся симметрии динамической системы. Подчеркнем, что все эти бифуркации были уже рассмотрены в гл. 5. Теперь они собраны вместе и представлены на дереве возможных бифуркаций, изображенном на рис. 7.1. Они соответствуют переходам через бифуркационные границы УУо н [c.164]

Участки бифуркационных границ, отвечающих мягкой смене установившегося движения, можпо называть безопасными, а отвечающие жесткой смене — опасными. Понятие мягкого и жесткого возникновения автоколебаний было введено А. А. Андроновым. Понятие опасных и безопасных границ было введено П. П. Баутиным [72, 73] для границ областей устойчивости состояпия равновесия. Дальнейшее обобщение этих понятий на периодические движения связано с работой [259], на основе которой можно дать общее определение и описать общую картину мягкой и жесткой смены установившегося движения. [c.166]

Бифуркации на двумерном торе могут быть вызваны изменением числа вращения Пуанкаре его обмотки. При рациональном числе вращения обмотка тора периодическая, точнее, на торе есть устойчивые периодические движепия, а остальные фазовые траектории к ним приближаются, за исключением такого же числа неустойчивых периодических движений, которые играют роль разделяющих границ локальных областей притяжения устойчивых периодических движений. При иррациональном числе вращения обмотка двумерного тора квазипериодическая. Число вращения Пуанкаре как функция параметра в общем случае ку-сочпо-постоянная, при всяком ее изменении происходят бифуркации обмотки тора — фазового портрета иа торе. Бифуркации отдельных периодических движений на торе ничем не отличаются от описанных уже бифуркаций периодических движений. [c.167]

Смена устойчивости состояний равновесия О, и Ог происходит при переходе через границу Л и и поэтому сопровождается либо влипанием в них неустойчивых седловых периодических движений, либо рождением устойчивых периодических движений. Что именно произойдет, зависит от знака ляпуновской величины. Ее подсчет дает, что имеет место влипание неустойчивого периодического движения. При Ъ = 8/3 и о = 10 потеря устойчивости состояниями равповесия и одновременное влипание в них неустойчивых седловых периодических движений и согласно (3.6) происходит при г = 24,74. [c.186]

Было установлено также, что вдали от всех твердых границ движение жидкости при ускорении из начального состояния покоя на протяжении примерно диаметра хорошо согласуется с теорией идеальной жидкости. Однако, после того как сфера подвинется на несколько диаметров, наблюдается отрыв потока (отделяется вихревой слой), и тогда стационарное значение d становится более важным ). Еще скорее это происходит при ускоренном движении диска перпендикулярно к его плоскости ) этого и следовало ожидать, так как острая кромка благоприятствует отрыву. Вообще говоря, тенденция к отрыву зависит от величины полного перемещения, выраженной в диаметрах так, при периодическом движении она заЬисит от i/max /rf, где % — период. [c.206]

В первых исследованиях нелинейной конвекции в слое ставилась цель отыскания стационарных движений определенного вида. В работе Л. П. Горькова рассматривались стационарные периодические движения гексагональной симметрии в слое со свободными границами. Малкус и Веронис изучали конвективные структуры различной формы — двумерные валы, прямоугольные и гексагональные ячейки — при разных условиях [c.146]

Теорема 3. Предположим, что граница дВ несвязна. Тогда для каждого разбиения границы на два непересекающих-ся гладких многообразия Е и Е2 дВ = ЕгиЕ2, Е1ПЕ2 = 0) существует либрационное периодическое движение с несамо-пересекающейся траекторией, концы которой лежат на Е1 и Е2. [c.141]

Рассмотрим сначала вопрос о существовании периодических движений тела в трехмерном пространстве. Пусть h = U1 — максимальное критическое значение интеграла энергии. При h > U1 область возможных движений совпадает со всей S0 3). На любом римаповом S0 3) существует по крайней мере три различных замкнутых геодезических [52]. Им соответствуют шесть различных периодических движений твердого тела (некоторые из них могут быть перманентными вращениями). При остальных некритических h область В имеет края. Если, например, тело вращается в ньютоновском поле сил (классическое приближение, см. 4 гл. III), то каждая связная компонента области возможных движений согласно [55, 56] диффеоморфна х [О, 1] (Т — двумерный тор) или X В" S — окружность, а В" — двумерный диск). В первом случае граница дВ состоит из двух связных многообразий, диффеоморфпых Т , и, следовательно, по теореме 3 существует, по крайней мере, одно либрационное периодическое [c.143]

Если у области возможных движений есть края, то периодические движения натуральной системы могут быть уже двух типов вращения и либрации. В этой ситуации результаты Уиттекера и Биркгофа не применимы из-за вырожденнос-ти метрики Якоби на границе. Легко указать примеры, когда вращения отсутствуют. Первый общий результат о либрационных периодических движениях натуральных механических систем принадлежит Г. Зейферту [90], доказавшему существование либраций в случае, когда область возможных движений диффеоморфна п-мерному диску. В работе автора [58] доказано существование либрационных решений для случая, когда область возможных движений диффеоморфна N х [О, 1], где N — гладкое компактное многообразие. Методы доказательства существования либраций в работах [58, 90] имеют некоторые общие моменты. Доказательство теоремы о либрациях, проведенное в этой главе, отличается от первоначального [58]. [c.147]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...