Локальная аппроксимация. Конечные элементы

ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ [c.203]

Метод конечных разностей базируется на возможности аппроксимации дифференциальных операторов, входящих в дифференциальное уравнение, более простыми локальными алгебраическими операторами, которые действуют в системе узлов, заранее выбранных в области. МКЭ основывается на представлении самой области набором элементов среды (конечных элементов), совокупность которых составляет дискретный аналог исследуемой области, т. е. аппроксимирует реальную систему. МГЭ в отличие от МКР и МКЭ, по сути, не рассматривает дифференциальные уравнения непосредственно в той форме, в которой они получены, а своим первым и основным шагом решения содержит преобразование исходных дифференциальных уравнений в эквивалентную систему интегральных уравнений. [c.48]

Та же самая конструкция распространяется на полиномы степени к—1 нескольких переменных хи. .., Хп при условии, что основные области разбиения — симплексы интервалы при /г=1, треугольники при п = 2, тетраэдры при п—3. Можно получить дискретные аналоги произвольно высокой степени точности в л-мерном пространстве. К сожалению, с точки зрения практических приложений существует фатальное обстоятельство размерность пространства 8 , равная общему числу внутренних узлов, растет чрезвычайно быстро при росте кип. Главная проблема в методе конечных элементов — наложить дополнительные ограничения на пробные функции (тем самым уменьшая размерность пространства 5 ) без нарушения свойств аппроксимации и простоты локального базиса. [c.99]

Предыдущая теорема распространяется на любой конечный элемент на п-мерной равномерной сетке и даже на любой пример абстрактного метода конечных элементов. Для п переменных существует несколько производных порядка = р , возможно, связанных с разными постоянными в ошибках аппроксимации. В самом деле, если л Р оказывается в 8 , то соответствующая постоянная равна нулю. Локально можно считать функцию и разложенной в ряд Тейлора вплоть до члена степени к. Члены степени к—1 точно воспроизводятся пробным подпространством, и аппроксимация асимптотически зависит лишь от производных О и порядка к. Это обобщение теоремы 3.4 можно сформулировать, употребляя матрицы Кв вместо числовых постоянных Са. [c.179]

Метод конечных элементов можно трактовать как систематический способ аппроксимации непрерывной функции дискретной моделью, представляющей собой множество значений заданной функции в некотором конечном числе точек области ее определения в совокупности с кусочными аппроксимациями этой функции на некотором конечном числе подобластей. Эти подобласти называются конечными элементами, и локальная аппроксимация функции на каждом конечном элементе единственным образом определяется значениями этой функции в конечном числе предварительно выбранных точек области ее определения. Таким образом, при построении конечноэлементной модели заданной функции поступают следующим образом [c.30]

Важной особенностью метода конечных элементов является то, что первоначально при локальной аппроксимации функции на конечных элементах их можно рассматривать независимо друг от друга. Это значит, что каждый элемент можно считать совершенно изолированным от всей совокупности и аппроксимировать функцию на этом элементе с помощью ее значений в узлах независимо [c.30]

Теперь рассмотрим совокупность Я несвязанных конечных элементов г g. Каждый конечный элемент считается областью определения некоторой локальной функции, обозначаемой через того же типа, что и F. Локальная функция и значения функции (х) определены только для X Ге- Хотя в конечном счете после связывания между собой конечных элементов, дающего М, эти локализованные функции будут соединены для получения аппроксимации заданной функции F, пока они рассматриваются порознь, совершенно независимо от F (X) и друг от друга. Функция [c.48]

В каждом конечном элементе строим аппроксимации локальных полей [c.53]

Мы решаем задачу аппроксимации кусочно-непрерывного поля Ф (х), которое локально для каждого конечного элемента является двумерным. Другими словами, если ф( ) (х) — локальное поле, соответствующее элементу г , то ф(е, (х) — функция только локальных координат х ), в плоскости элемента е [c.55]

Соотношение (9.155) весьма важно оно показывает, что локальные сопряженные базисные функции для элемента е являются линейными комбинациями базисных функций всех Е конечных элементов. Таким образом, функции (х) не обязаны иметь локальные носители, фактически для каждой локальной функции (х) носителем служит вся связанная область Ш. Это означает, что обычный прием вычисления локальных значений сопряженных аппроксимаций с помощью локальных узловых значений gЩ (например, вычисление напряжений элемента по аппроксимации пере- [c.88]

Для решения этой задачи рассмотрим типичный конечный элемент Ге аппроксимации области ограничениями полей Т (X) и S (X) на которой являются соответственно t(e> (х) и S(g) (х). Локально, положим [c.92]

Изопараметрические элементы. Построение криволинейных конечных элементов, описанное в предыдущем пункте, основано на предположении, что система локальных внутренних криволинейных координат известна заранее и что локальные поля могут быть аппроксимированы соответствующими полиномами относительно этих координат. Однако во многих задачах границы столь сложны, что практически невозможно подобрать систему координат, в которой они были бы координатными линиями. Границы элементов в лучшем случае могут служить только аппроксимацией действительных криволинейных границ. Наилучшая аппроксимация криволинейных границ достигается с помощью криволинейных изопараметрических конечных элементов ). Построение таких элементов основано на идее подбора полиномиальных кривых, проходящих через заданные точки на границе. Подбор осуществляется практически так же, как и аппроксимация локальной функции и (х) на каждом элементе. [c.157]

В практических приложениях координаты ж могут быть локальными координатами типичного конечного элемента, однако форма соотношений (10.127), требуемых для описания заданной границы, может быть очень сложной и к тому же меняться от элемента к элементу. Подберем аппроксимацию преобразования (10.127), которую можно было бы использовать для границ различной формы. Естественно обратиться к полиномиальным аппроксимациям вида [c.158]

Поступая таким же образом, как и при построении локальных аппроксимаций и (х), вычисляем (10.128) в конечном числе Ne узловых точек, расположенных, как правило, на границе элемента, и приходим к системе уравнений [c.158]

В свете конечноэлементных аппроксимаций ясно, что значения (О и (О — это просто узловые перемещения и температуры в узловой точке х конечного элемента / (хо, г). Аксиома локального действия позволяет утверждать, что если г достаточно мало, то поля и (х, и Г (х, ()ъ Г (хо, г) с достаточной степенью точности могут представляться лишь конечным числом членов рядов (14.3) и (14.4). Это означает, что для х 6 е/Г (хо, г) поля и (х, I) и Т (х, 1) единственным образом могут быть определены по их значениям в конечном числе точек окрестности (хо, г), и именно это и является основой использования конечноэлементных аппроксимаций в механике сплошных сред. Действительно, заметим, что (14.3) можно переписать в виде [c.226]

Ни в (16.50), ни в (16.51) ничего не предполагалось относительно характера изменений h (х) в конечном элементе. Возможна сделать несколько предположений. Простейшей локальной аппроксимацией для h (х, t), и зачастую приводяш ей к наименьшему числу дополнительных неизвестных, является аппроксимация нулевого порядка, т. е. предположение, что h постоянно в элементе [c.265]

Другой подход к решению задачи о двухосной полосе методом конечных элементов применил Беккер [1966], который пользовался билинейной аппроксимацией локального поля перемещений [c.341]

В методе конечных элементов расчетная область разбивается на элементы. Для удобства задания информации об этих элементах и обеспечения приемлемой гладкости функций используются достаточно простые области отрезки в одномерной модели, треугольники и прямоугольники в случае двухмерной области, тетраэдры и параллелепипеды - в трехмерном случае. В результате расчетная область представляется в виде объединения отдельных элементов, соседние из которых имеют общие точки, стороны или грани. Обычно дискретные аналоги получаются с помощью вариационного принципа, если он существует, или с помощью метода Галёр-кина. Метод конечных элементов не следует рассматривать как отличающийся в принципе от конечно-разностных методов. Его дополнительные возможности обусловлены только тем, что при этом методе можно использовать нерегулярную сетку. Например, треугольная сетка более удобна для аппроксимации нерегулярных областей и получения локального сгущения точек. [c.95]

Другим способом построения функций в многомерном пространстве является метод конечных элементов (МКЭ). Суть его состоит в том, что область исследования П разбивается на конечные элемогга , т.е. - на конечное количество подобластей Ц без разрывов и пресечений так, чтобы объединение подобластей Ц образовывало П. С этой точки зрения все рассмотренные ранее методы локальной аппроксимации относятся к МКЭ в одномерных областях. Для многомерных пространств в качестве подобластей используют симплексы (многогранники), в вершинах которых вид локальных аппроксимаций определяется связями, накладываемыми на искомую функцию. [c.309]

Метод сводится к следующему. Физическая область задачи делится на непересекающиеся подобласти или конечные элементы. Зависимая переменная (их может быть несколько) локально аппроксимируется функцией специального вида (например, полиномом невысокой,степени) на каждом конечном элементе и в дальнейшем глобально — во всей области. Параметры >тих аппроксимаций в дальнейшем становятся неизвестными параметрами задачи. Подстановка аппроксимаций в уравнения метода Галеркина или Ритца (или эквивалентные им, например, в уравнения начала виртуальных скоростей в механике сплошной среды) с последующей линеаризацией дает систему линейных алгебраических уравнений относительно указанных параметров, матрица которой обладает замечательным свойством—ова- является ленточной, очень удобной для решения системы-на ЭВМ. [c.13]

Метод отображений нашел широкое применение при построении криволинейных элементов, позволйющих получить аппроксимацию тела относительно сложной формы с применением небольшого числа конечных элементов. Наряду с локальным отображением отдельного элемента на каноническую область во многих случаях удается построить глобальное отображение всей физической области на такую область — прямолинейную полосу, единичный круг, круговой цилиндр или прямоугольный параллелепипед, т. е. на область значительно более простой геометрии. Решение краевой задачи для такой области существенно упрощается. [c.14]

По Г. И. Марчуку, изучение проекционно-сеточных методов целесообразно организовать по следующей схеме. Вначале рекомендуется- изучить основные алгоритмы проекционных методов, в частности метода Ритца и метода Галер-кина. Далее целесообразно ознакомиться с общей теорией аппроксимации с применением финитных функций — теорией сплайнов, локальной аппроксимацией в отдельных подобластях — конечных элементах. Это позволит перейти к изучению методов построения глобальных аппроксимаций — приближенных решений краевых задач. В таком пор ядке и расположен мatepиaл раздела. [c.153]

Таким образом, проблема глобальной аппроксимации искомого решения краевой задачи оказывается тесно связанной с другой проблемой — построением локальной ап-проксимацйи этого решения в пределах отдельной подобласти — конечного элемента. Отметим, что при локальной аппроксимации функции каждый элемент можно считать совершенно изолированным от всей совокупности- элемен- [c.203]

Метод конечных элементов можно трактовать как метод аппроксимации непрерывной функции дискретной моделью, представляющей собой множество значений- заданной функции в некотором конечном числе точек области ее оп-редел,ения в совокупности с кусочными аппроксимациями этой функции на некотором конечном числе подобластей. Эти подобласти называются конечными элементами. К основным этапам решения задачи с применением МКЭ относятся 1) дискретизация области 2) локальная аппроксимация на отдельном элементе 3) глобальная аппроксимация кусочно-полиномиальной функцией, определенной на всей области 4) составление системы линейных алгебраических уравнений с применением метода Ритца или метода Галеркина 5) решение указанной системы относительно узловых значений 6) вычисление искомых величин в элементе. . [c.237]

Оуу записать в локальных системах координат элементов / и / — 1 и приравнять два таких выражения. В окончательных формулах содержатся конечно-разностные аппроксимации, поскольку тангенциальные напряжения Oxx)i и (Oj x)i-i вычисляются через тангенциальные деформации (exx)i и (exx)i i с помощью процедуры, разъясненной в 5.10. Поскольку по предположению смещения между узлами изменяются линейно, тангенциальные деформации в пределах каждого элемента постоянны. Поэтому уравнение (7.2.14) нужно рассматривать как приближенный результат. Понятно тем не менее, что комбинацию (7.2.13) и (7.2.14) можно использовать на практике для преодоления вычислительных трудностей, связанных с краевыми задачами в смещениях [10, 54]. [c.143]

Применим к функциям процедуру локальной аппроксимации, основанную, например, на методе конечных элементов или методе конечных разностей. В результате функционал 3 нриближенно заменяется функцией относительно узловых скоростей перемещений. Расположим теперь точки дискретной модели в узлах интерполяции и отождествим перемещения узлов континуальной среды с перемещениями точек дискретной среды. Под квадратичной формой П будем понимать функцию, полученную при дискретизации первого, квадратичного, слагаемого в функционале (3) под линейной формой А — линейную функцию, полученую при дискретизации остальных слагаемых. [c.190]

Важной особенностью этих методов является то, что первоначально при локальной аппроксимации функции на конечных элементах их можно расбматривать независимо друг от друга. Это значит, что можно аппроксимировать функцию на конечном элементе с помощью ее значений в узлах независимо от того, какое место займет рассматриваемый элемент в связанной модели и какое поведение функции на других конечных элементах. Следовательно, имеется возможнее ь создания каталога различных конечных (граничных) элементов с [c.143]

Для абстрактного метода конечных элементов справедлива аналогичная теорема об аппроксимации. Мы потратим время на доказательство этой второй теоремы, несмотря на то что они частично совпадают в случае обычного узлового метода на равномерной сетке. Сплайны не охватываются предыдущей теоремой, потому что им нехватает локального интерполирующего базиса, однако их аппроксимирующие свойства чрезвычайно важны. В самом деле, специальная регулярность математической структуры допускает более изящный результат. Аппроксимация на равномерной сетке зависит от наличия пробной функции г з со следующим замечательным свойством-, для любого полинома Р степени, меньшей к, [c.168]

Производные от отображения равны 0(h) около границы. Внутри они фактически равны нулю из-за множителя Заметим, что площади -обоих кругов одинаковы если бы один из них был вписан в другой, то появился бы дополнительный член гН , производные от которого не исчезают, но всюду в области 1меют меньший порядок Н . В терминах принципа Сен-Венана усреднение по локальным осцилляциям отлично от нуля и распространяется далее. Более того, если вместо волн os Q/h у круга были бы зубцы os0/i , то конформное отображение обладало бы слабыми особенностями в местах стыка. Однако при аппроксимации методом конечных элементов эти особенности смазываются и средняя ошибка в производных имеет порядок h у границы и внутри. [c.231]

Поэтому особенности могут появляться, только когда граница или некоторые из исходных данных не будут гладкими. К сожалению, эти случаи встречаются часто, например в задачах механики разрушения, и при наличии особенностей продолжение исследований методом конечных элементов на равномерной сетке даст совершенно неудовлетворительные результаты. Как и в разностных аппроксимациях, эффективным приемом работы с. особенностями оказалось локальное сгущение сетки (в том смысле, который обсуждался в предыдущих главах). Однако о природе особенностей, возникающих в эллиптических задачах, известно много и специальная форма вариационного метода стимулирует нас к использованию этой информации в приближении Ритца-Галёркина. Данная глава и посвящается этой задаче. Мы начнем с выявления аналитической формы особенностей, которые могут возникнуть. [c.298]

Разложения, приведенные в разд. 8.1, предлагают модификацию пространств метода конечных элементов, позволяющую улучшить аппроксимацию сингулярных решений. Предположим, что мы можем построить такие независимые функции Ji,. .., ifs, что при подходящих (но неизвестных) коэффициентах Сь. .., Сз функция u — Yj будет гладкой, скажем будет принадлежать пространству Тогда почему бы не добавить грь. .., к пространству метода конечных элементов 5 Идея очевидна и заключается в том, чтобы около особенности аппроксимировать и сингулярными функциями xjji,. .., xjjs при обычных конечных элементах в других частях области. В результате необходимо определить сингулярные функции только в локальной подобласти около каждой особенности. Поэтому как для углов, так и для поверхностей раздела возьмем [c.304]

В этом параграфе мы сначала рассмотрим точность интерполяции конечными элементами, обеспечиваемую для достаточно гладкой функции на одной ячейке. Здесь существенная роль отводится полным многочленам. В сущности, показано, что порядок локальной аппроксимации ограничен сверху степенью к полных многочленов при условии С Р, назьтаемом далее условием полноты. Второе условие, влияющее на точность аппроксимации, носит геометрический характер и связьтает точность с формой ячейки. Оно ношт название условия регулярности и исключает такие случаи вырождения как слишком узкие (в одном из направлений) ячейки, слишком искривленные грани и т.п. [c.86]

Широкие возможности использования метода конечных элементов обусловлены тем, что можно подробно исследовать аппроксимацию заданной функции Р (X) в пределах некоторой малой подобласти области ее определения независимо от поведения функции в других подобластях. Это, например, означает, что при использовании концепции конечного элемента для исследования поведения твердого тела можно выделить типичный конечный элемент тела, аппроксимировать различные поля локально на элементе и полностью описать поведение элемента с помощью этих аппроксимаций независимо от его положения в модели, характера связей с примыкающими к нему элементами и поведения других элементов модели. После получения локальных аппроксимацион-ных полей на типичных конечных элементах полная модель поля получается с помощью отображений (7.17) и (7.19). [c.51]

Пример 7.2. Преобразования локальных координат. Как видно из предыдущего примера, введение системы локальных координат часто является лишь формальностью, призванной подчеркнуть тот факт, что при построении локальных аппроксимаций / е) (х) отдельные конечные элементы рассматриваются независимо от других. Часто модели можно строить, используя одни и те же координаты и в глобальных и во всех локальных системах, и вся разница между ними — формальная разница в обозначении локальных и глобальных узловых точек. Однако в некоторых случаях использование систем локальных координат, отличных от глобальных, имеет существенное значение. Как правило, эти случаи характеризуются тем, что окончательная конечноэлементная модель представляет собой ансамбль конечных элементов некоторой размерности, вло)аднных в пространство более высокой размерности, скажем локальные поля/(е) (х) определены в пространстве размерности ге, а окончательная модель — в пространстве размерности А > ге. Одним из примеров такого типа является трехмерная ферма, состоящая из брусьев, локальное поведение которых может быть описано одномерными функциями. Локальные системы используются также в тех случаях, когда ориентация или расположение элемента в связанной модели либо его форма таковы, что введение локальных систем облегчает построение функций (х). [c.55]

Пример 8.2. Эрмитова интерполяция. Здесь мы коротко рассмотрим представление высшего порядка действительной функции F (X), определенной на интервале < X < S (см. рис. 6.1). После выбора глобальных узлов и конечных элементов построим локальную аппроксимацию /(g) (х) на типичном конечном элементе. На этот раз функции /(g> (ж) выберем такими, таобы в узмвых точках, являющихся концами конечного элемента, значения /( > (ж) и d/(g> x)/dx совпадали со значениями /<е) (х) и df(g (x)ldx. Локальные и глобальные координаты можно взять совпадающими. [c.65]

При изложении теории конечных элементов до сих пор в основном рассматривались элементы произвольной формы с произвольным числом узловых точек. Локальные аппроксимации на каждом элементе описывались с помощью интерполяционных функций 1135 (х), точная форма которых за редкими исключениями не указывалась. Однако в практических приложениях теории надо отказываться от этой общности и рассматривать конкретные типы элементов и соответствующих им интерполяционных функций. При построении различных конечноэлементных моделей, как правилОг требуют, чтобы отдельные элементы имели достаточно [c.107]

Конечноэлеменшные аппроксимации. Построим дискретную модель нашего тела вратцения, представив его в виде совокупности Е конечных элементов вращения (см. рис. 18.22). Следуя обычной процедуре, выделяем типичный конечный элемент е и аппроксимируем локальное поле перемещений ( , ) на этом элементе следующим образом ( , где 1 = г и = 2. Ковариантные компоненты метрического тензора в недеформированном теле имеют простой вид = 22 = 1, ёзз = и ёц = О (г ф у) символы Римана — Кристоффеля таковы = [c.358]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...