Аппроксимация кусочно-полиномиальными функциями

Аппроксимация кусочно-полиномиальными функциями [c.9]

Л. Аппроксимация кусочно полиномиальными функциями 11 [c.11]

Аппроксимация кусочно полиномиальными функциями 13 [c.13]

МКЭ во всех его различных формулировках предусматривает следующие основные этапы расчета разбиение рассматриваемой области (тела) на конечные элементы аппроксимацию зависимых переменных кусочно-полиномиальными функциями с неизвестными параметрами для каждого конечного элемента подстановку аппроксимирующих функций в определяющие уравнения и их решение, дающее значения параметров, которые полностью определяют искомые функции внутри элемента через их значения в узловых точках. [c.8]

Эта идея очень стара. Новым является лишь выбор пробных функций в методе конечных элементов они кусочно полиномиальны. Именно этим выбором определяется успех метода. Каждая функция ф - равна нулю на большей Части области и отлична от нуля только в окрестности одного узла. В этой окрестности ф составлена из полиномов небольшой степени, и все вычисления становятся максимально простыми. Интересно, что преимущества кусочно полиномиальных функций одновременно и совершенно независимо были замечены в математической тео рии аппроксимации. Идея их применения оказалась весьма плодотворной, и она появилась как раз в нужное время. [c.7]

В этом разделе описываются наиболее важные конечные элементы на плоскости. История их построения насчитывает примерно 30 лет, если вспомнить раннюю работу Куранта о кусочно линейных элементах это одна из излюбленных тем в прикладной математике. Она требует знания алгебры лишь в рамках средней школы, а результаты ее очень важны —редкая и счастливая комбинация. Цель состоит в выборе кусочно полиномиальных функций, определяемых небольшим и удобным набором узловых значений, и достижении нужной степени непрерывности и аппроксимации. [c.93]

Разумно ожидать, что пространство кусочно полиномиальных функций даст ту же степень аппроксимации на Г, что и в [c.161]

Очевидно, что, разбив тело на конечные элементы соответствующей размерности и задавшись на конечных элементах кусочно-полиномиальными векторными функциями для аппроксимации вектора и, можно провести те же выкладки, что и в уже рассмотренном ранее случае дифференциального уравнения (13.1), и получить для и аппроксимацию в виде [c.632]

Отсюда следует, что для установления факта сходимости приближенного решения к точному достаточно решить вопрос об аппроксимации функций с помощью кусочно-полиномиальных сплайнов. [c.285]

Ясно, что одной из основных концепций МКЭ является идея аппроксимации непрерывной функции (перемещение, температура и т. д.) дискретной моделью кусочно-непрерывных функций, каждая из которых определена на конечном элементе. Для аппроксимации обычно используются полные или неполные полиномиальные функции различного порядка. Количество коэффициентов аппроксимирующего полинома определяется числом независимых [c.22]

Замечание. Кусочно-гиперболические дуги можно использовать для аппроксимации криволинейных границ или поверхностей раздела и получить все еще полиномиальные базисные функции., [c.103]

Метод конечных элементов можно трактовать как метод аппроксимации непрерывной функции дискретной моделью, представляющей собой множество значений- заданной функции в некотором конечном числе точек области ее оп-редел,ения в совокупности с кусочными аппроксимациями этой функции на некотором конечном числе подобластей. Эти подобласти называются конечными элементами. К основным этапам решения задачи с применением МКЭ относятся 1) дискретизация области 2) локальная аппроксимация на отдельном элементе 3) глобальная аппроксимация кусочно-полиномиальной функцией, определенной на всей области 4) составление системы линейных алгебраических уравнений с применением метода Ритца или метода Галеркина 5) решение указанной системы относительно узловых значений 6) вычисление искомых величин в элементе. . [c.237]

Таким образом, предложенный в предыдущей главе метод конечных элементов совпадает, по существу, с методом Ритца. Из общих результатов 2 приложения II следует, что для доказательства сходимости метода при /i = max/г , О достаточно проверить полноту системы функций (4.3) в F последняя проблема сводится к исследованию возможности аппроксимации функции из V кусочно-полиномиальными функциями. [c.158]

Указанные требования автоматически выполняются при интерполяции экспериментальных данных кусочно-полиномиальными функциями, так называемыми SPLINE-функциями или сплайнами [1, 2, 7, 9]. Кусочно-полиномиальные функции по сравнению с обычными алгебраическими полиномами п-й степени (п -j 1— число узлов интерполяции) обладают двумя преимуществами. Во-первых, для сходамостг процесса аппроксимация не требуется [c.91]

Полученные ранее на основе принципа возможных перемещений формулировки задач статики, устойчивости и динамики позволяют построить эффективные приближенные методы решения. Рассмотрим основные этапы решения указанных задач с помощью метода конечных элементов (МКЭ) [22, 40, 43, 59, 61 ]. Одна из трактовок МКЭ связана с методом Рэлея—Ритца. Характерной особенностью для МКЭ явилось то, что аппроксимация искомых решений стала выполняться не во всей области, а в пределах отдельных простых элементов, на которые разбивается тело. Отдельные элементы стыкуются между собой по вершинам (узлам) и граням. Координатные функции, как правило, выбираются в виде кусочно-полиномиальных функций. Каждая функция равна нулю на большей части об- [c.100]

Базисные функции в выражениях (1.2) и (1.6) появляются при рассмотрении частных случаев кусочной эрмитовой интерполяции (или аппроксимации) для заданного разбиения интервала. Пусть теперь в общем случае П a—xaразбиение интервала R— = [а, Ъ] на оси х. Для целого положительного т и разбиения интервала П обозначим через Я = Я( ">(П, R) множество всех действительных кусочно-полиномиальных функций w (х), определенных на R, так, что w(x) е "-- ( ) и w x) есть полином степени 2т—1 на каждом подынтервале [xi,xi+i] интервала R. Для любой заданной действительной функции (х) е е - ( ) кусочная эрмитова интерполяция однозначно определяется как такой элемент р2т- (х) е Я, для которого [c.12]

Основная задача состоит в исследовании точности, с которой кусочно полиномиальные функции могут аппроксимировать неизвестное решение и. Другими словами, надо определить, насколько хороши конечные элементы, построенные на основе вычислительной простоты, и дадут ли они хорошую аппроксимацию. Интуитивно ясно, что всякую достаточно хорошую функцию и можно с произвольной точностью приблизить кусочно линейными функциями. Математическая задача состоит в получении максимально точной оценки ошибки и определении скорости убывания ошибки при возрастании количества элементов )азбиения (или степени полинома внутри каждого элемента). Разумеется, метод конечных элементов можно применять, не доказывая математические теоремы так делали в течение более десяти лет. Однако мы считаем, что полезно, особенно для дальнейшего развития метода, понять и обобщить все, что уже сделано. [c.12]

Приближение сплайнами. Приближение сплайнами есть кусочно-полиномиальное приближение функции /(х) по ее значениям f(xo), f(xi),...,f(x ) в узлах Хо, Xi,...,Xn. Степень полинома на каждом участке [х, 1, х,], i = l,..., п, одинакова и называется порядко.м сплайна. Наиболее употребительны сплайны третьего и второго порядков. Аппроксимация f(x) сплай-на.ми третьего порядка (кубически.ми) изложена например, в [32]. Рассмотрим аппроксимацию f(x) сплайнами второго порядка (параболическими). [c.121]

Стандартное условие согласованности хорошо известно пробная функция и ее первые т—1 производных должны непрерывно продолжаться за границы элемента. Это условие, очевидно, достаточно для допустимости, так как т-е производные могут в худшем случае иметь скачок между элементами, а их энергия конечна. С другой стороны, пример loglog(l/г) показывает, что вряд ли это необходимое условие согласованности существуют функции, не обладающие т— 1 непрерывными производными, но принадлежащие и являющиеся допустимыми. К счастью, такие нехорошие функции не могут быть кусочно полиномиальными. Если о — полином. (или отношение полиномов) на каждой стороне границы элемента, то о принадлежит Ж тогда и только тогда, когда производные порядка, меньшего т, непрерывно продолжены за границу элемента. Залог успеха метода конечных элементов состоит в построении таких элементов, чтобы обеспечить удобный базис и одновременно высокую степень- аппроксимации. [c.93]

Одновременно с приближением допустимых функций из Же кусочно полиномиальными в методе конечных элементов производятся и другие приближения, совершенно отличные от первых. Прежде всего можно менять саму область й заменяется на близкий многоугольник 2 или, в изопараметрическом методе, на область с кусочно полиномиальной границей. Любое другое приближение произвольной области вызвало бы большие труд- ности. Далее, сами краевые условия служат объектом аппроксимации. Если в задаче указано, что и — д х,у) на Г или и + а = Ь х, у), то эти функции и 6 почти неизбежно интерполируются в узлах на границе Г (или на ее приближении). Мы хотим оценить ошибку этих приближений. [c.226]

Исследуем пример кусочно полиномиальной аппроксимации более высокой степени, а именно возьмем кубическое эрмитово пространство 5 на равномерной сетке. Здесь базисные функции соответствуют значениям функции, а и,-— значениям ее производйой, так что ) [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...