Интерполяция конечными элементами

Интерполяция конечными элементами [c.86]

Интерполяция Лагранжа и конечные элементы для операторов II порядка [c.160]

Смысл последнего определения состоит в том, что конечные элементы класса С обеспечивают непрерывность интерполяций при переходе через границы областей Т. [c.169]

Интерполяция Эрмита и конечные элементы для операторов порядка выше двух [c.172]

Наличие двух типов сумм в разложении (4.80) сильно осложняет программирование алгоритма, использующего с самого начала это разложение, поэтому в отличие от случая интерполяции Лагранжа на практике чаще используют варианты метода конечных элементов, аналогичные описанным в 3.3. [c.173]

Использование конечных элементов класса С позволяет, очевидно, обеспечить непрерывность интерполяций и их первых производных при переходе через границы областей Т как будет показано позже, это условие является одним из достаточных условий, обеспечивающих сходимость метода в задачах для самосопряженных операторов четвертого порядка. [c.175]

Отметим, что полученный основной результат представляет собой оценку погрешности интерполяции полиномиальными функциями на отдельном конечном элементе этот результат можно привести к виду [c.191]

Приведем таблицу, иллюстрирующую точность различных конечных элементов (см. табл. 4.1), заимствованную из работы [43]. Верхняя строка таблицы указывает порядок погрешности интерполяции на элементе, во второй строке указана предполагаемая гладкость интерполируемой функции (принимается p q = 2). [c.192]

Во всех предыдущих вариантах метода конечных элементов предполагалось, что приближенное решение принадлежит некоторому подпространству исходного функционального пространства например, при построении конечных элементов Лагранжа для решения задач теории упругости требовалось, чтобы объединения Я-интерполяций были непрерывны при переходе через границы конечных элементов. [c.208]

Оказывается, что чем выше степень аппроксимирующего полинома функции формы, тем труднее становится физическая интерпретация. Например, при использовании элементов с интерполирующими функциями высоких порядков (функциями формы) ошибкой будет попытка локализации распределенных нагрузок только из интуитивных соображений. Если мы пользуемся конечным элементом с линейным законом для функции формы, то распределенная нагрузка на элемент локализуется в виде четырех равных узловых усилий (рис. 9, а), что не вызывает никаких сомнений. Использование в работе конечных элементов с квадратичным (рис. 9, б) и кубическим (рис. 9, в) законами интерполяции перемещений и координат приводит к таким законам задания распределенных [c.52]

Так как каждый элемент вектора Ur есть функция от координат X, у, Z для точек области г, конечного элемента, то и элементы вектора г и lOr, т. е. виды деформаций и напряжений Ех, еу,Хху,Ох и т. д., также будут функциями координат х, у, z. Подставив конкретное значение х, у, z для рассматриваемой точки, получим величины всех компонентов напряженно-деформированного состояния в этой точке. Это не должно создавать иллюзии, что решение задачи по МКЭ получается в аналитическом виде основным результатом решения задачи являются дискретные значения узловых перемещений q. Значения же перемещений, деформаций и напряжений в произвольной точке Qr в данном случае нужно рассматривать как своеобразные интерполяционные выражения. Причем закон интерполяции обусловлен системой аппроксимирующих функций фг, т. е. принят на самых ранних этапах расчета. Следует отметить, что метод перемещений обусловливает разрывы напряжений и деформаций на границах конечных элементов.. [c.105]

Так называемый метод граничных элементов стремится к удовлетворению приведенного выше интегрального уравнения в смысле взвешенных невязок. Сначала отметим, что хотя объемный интеграл и входит в (4.13), он тем не менее не содержит искомое решение Для вычисления объемного интеграла внутреннюю область необходимо подвергнуть дискретизации, однако при этом отпадает необходимость во внутренних элементах в том смысле, в каком используются конечные элементы. В пределах каждого граничного элемента и могут быть подвергнуты интерполяции. Заметим, что некоторые узловые значения заданы на St, в то время как узловые значения заданы на Su- Можно показать [57, 58], что метод граничных элементов в случае линейной упругости приводит к уравнениям типа [c.206]

При использовании метода с подвижной сеткой на каждом временном шаге, когда имеет место рост трещины, осуществляется сдвиг сингулярного элемента, как показано на рис. 4. В результате вершина трещины всегда остается в центре сингулярного элемента на протяжении всего расчета. Обычные элементы (элементы В на рис. 4), окружающие подвижный сингулярный элемент, подвергаются непрерывному деформированию. Для моделирования больших приростов трещины схема сетки, окружающей подвижный элемент, периодически обновляется, как показано на рис. 4. Заметим, что конечно-разностная схема решения конечно-элементных уравнений типа (4.13) использует векторы узловых перемещений, скоростей и т. п. в два момента времени, скажем в и 2 = 1 +А/. Хотя число конечно-элемент-ных узлов в момент /2 может оказаться таким же, как и в следует отметить, что пространственное положение узлов в момент 2 отличается от положения в момент (см. рис. 4). На основании известных данных о расположении узлов в момент U, пользуясь простой интерполяцией, определяют перемещения, скорости и т. п., соответствующие моменту h (подробности можно найти в [9, 10]). [c.288]

Сложность интегрирования выражения (13) при вычислении составляющей Jk W) проистекает нз того, что оно содержит вторые производные перемещений. Поскольку в 20-узловых конечных элементах перемещения аппроксимируются квадратичными функциями N , то для интерполяции пли экстраполяции деформаций и значений энергии следует применять линейные функции формы т1, S). Функция, заданная в восьми точках [c.373]

Для того чтобы численно решить уравнения (18,52) и (18.55), в расчетах пространственных полей используется МКЭ, а для определения временных зависимостей — МКР. Для начала вся граница С условно разбивается на отрезки конечной длины — конечные элементы (рис. 18.5). В каждом элементе функции ф, т , В и D приближаются комбинацией значений этих величин в узловых точках и интерполяцией. Базисная функция линейна по S, причем S измеряется вдоль элемента. Далее, для выбора значений в контрольных точках, которыми считаются узловые точки, к уравнению (18.52) применяется метод коллокации. Таким образом, при дискретизации уравнение (18.52) заменяется системой алгебраических уравнений относительно Ф , т] и Л , причем индекс i означает, что величина относится к узловой точке i, а точка означает дифференцирование по времени. С другой стороны, при дискретизации уравнения (18.55), принимая во внимание произвольность величин получаем другую систему уравнений относительно фг, ф , T)i, т и bi ). Поскольку эти системы уравнений нелинейны относительно неизвестных величин, для численного решения используется метод возмущений. Пусть [c.437]

Пусть, например, дана произвольная триангуляция в Кг- Пусть h — наибольшая сторона треугольника как конечного элемента, 9 — наименьший угол в треугольнике, интерполяция производится с помощью полиномов Лагранжа, at/ Е С . Тогда [c.285]

Оценки погрешности различных интерполяций, в том числе и конечно-элементных, достаточно хорошо изучены. Если в качестве базисных функций для конечных элементов выбраны полные полиномы степени т и область интерполяции имеет равномерную разбивку с характерным размером конечного элемента h, то можно показать, что максимальную асимптотическую (при Л->0) погрешность по энергетической норме (1.33). можно оценить как [c.13]

Идея сплайновой интерполяции во многом близка идеям метода конечных элементов, Область определения функции разбивается на ко- [c.13]

Численная реализация метода конечного элемента выполнялась с помощью стандартной программы, а погрешность оценивалась на основании теорем об интерполяции функций степенными рядами [61]. При таком подходе для прямоугольного конечного элемента расчетной схемы постоянно проверялось [c.312]

Результаты для этого одномерного случая также обнаруживают тенденцию к увеличению точности метода конечных элементов при переходе к элементам более высокого порядка. Хорошие результаты при небольшом дополнительном объеме вычислений дают элементы с квадратичной интерполяцией. При этом отсутствуют усложнения, характерные для использования элементов высокого порядка и связанные с громоздкими вычислениями их матриц. Принимая во внимание эти и другие тесты, в частности, проведенные для задач расчета напряжений в конструкциях [21, для практического использования можно рекомендовать квадратичную модель. [c.111]

Ф/Однако для программ метода конечных элементов этот вывод неестествен. Вместо того, чтобы один раз вычислить интеграл на [/А, (/+ 1)А], надо пройти по каждому интервалу дважды сначала использовать квадратичную интерполяцию по узлам Х -1, х , Ху+1 и вычислить а затем — по узлам Х], х +и х +2 и вычислить Р]+1. Это типичная ситуация наиболее эффективная формула в определенном классе не обнаруживается при применении метода конечных элементов если в каждом специальном случае предоставить полную свободу выбора-наилучшей формулы, то могут оказаться предпочтительнее конечные разности. Важно, что при решении сложных задач формула метода конечных элементов почти оптимальна и просто и дешево реализуется на ЭВМ. [c.45]

В терминах конечных элементов нера венство (12) допускает следующую интерпретацию. Предположим, что р, q и f заменены их интерполянтами в пространстве метода конечных элементов. Это возмущение — величина порядка /г . Если результирующую задачу решить точно методом конечных элементов (в интегралах по элементарным областям появятся произведения трех полиномов), то на основании следствия ы — i = О (/г ). Таким образом, интерполяция представляет собой возможную альтернативу численного интегрирования и ей уделяется львиная доля внимания в литературе по численному анализу Дуглас и Дюпон [Д10] успешно исследовали даже нелинейные параболические задачи. В технических расчетах, однако, всегда предпочиталось непосредственное численное интегрирование для изопараметрических элементов или элементов оболочек по существу вы- [c.220]

Описание и теория интерполяции для изопараметрических конечных элементов (4.3). [c.8]

Конечные элементы как тройки (К, Р, 2). Основные определения. Оператор Р-интерполяции [c.84]

Докажем теперь основное соотношение между оператором Р-интерполяции П и оператором Р-интерполяции П, ассоциируемыми с аффинно-эквивалентными конечными элементами. Само это соотношение —следствие того факта, что базисные функции также находятся в соответствии (2.3.17). [c.91]

Построение пространств конечных элементов X. Основные определения. Оператор X -интерполяции [c.94]

На практике часто рассматривают регулярное семейство конечных элементов в том смысле, что диаметры йд могут быть как угодно близки к нулю и существует такая не зависящая от К постоянная а, что h op - Для такого регулярного семейства записанная выше оценка ошибки интерполяции принимает вид (теорема 3.1.6) [c.115]

Оценки ошибок интерполяции It) —л для аффинных семейств конечных элементов [c.126]

Применяя полученный выше результат к конечным элементам, получаем оценки ошибок интерполяции о —[ш.л (Другой подход см. в упр. 3.1.2 более точный анализ зависимости от геометрии см. в упр. 3.1.4). [c.126]

В этом параграфе мы сначала рассмотрим точность интерполяции конечными элементами, обеспечиваемую для достаточно гладкой функции на одной ячейке. Здесь существенная роль отводится полным многочленам. В сущности, показано, что порядок локальной аппроксимации ограничен сверху степенью к полных многочленов при условии С Р, назьтаемом далее условием полноты. Второе условие, влияющее на точность аппроксимации, носит геометрический характер и связьтает точность с формой ячейки. Оно ношт название условия регулярности и исключает такие случаи вырождения как слишком узкие (в одном из направлений) ячейки, слишком искривленные грани и т.п. [c.86]

На основании результатов 11.2 доказательство сходимости метода конечных элементов сводится к оценке погрешности интерполяции функций из пространства V, в котором отыскивается решение базисными функциями метода конечных элементов. В настоящем параграфе будет приведено очень краткое описание схемы получения оценок погрешности для отдельного конечного элемента. В следующих ниже формулировках используется поня- [c.186]

Хотя предложенный метод является приближенным для N < оо, в принципе погрешность можно сделать сколь угоднО малой при достаточно большом числе N и достаточно близких друг к другу значениях Хг. Это следует из свойства полноты системы интегрируемых с квадратом функций, в рядах Дирихле [87]. На практике, однако, точность обращения ограничивается гладкостью изображений по Лапласу. Ошибки за счет округления, неизбежные при любых численных представлениях, и погрешности при интерполяции, например при 1юлучении ассоциированного упругого решения методами конечных разностей или конечных элементов, определяют нижнюю границу погрешности для квадратичного отклонения [19, 84, 87]. Оказывается, что для принятых численных значений изображений Лапласа при сближении Хг квадратичная ошибка сначала уменьшается, а затем увеличивается. Этот рост отражает перемену знака возрастающих членов в функции Д/с(0- [c.146]

Конкретные выражения для приведенных компонент матриц и векторов зависят от типа используемых конечных элементов, их функций, формы. На рис. 3.13 приведены конечные элементы так называемого изо-параметрического типа с тем же тюрадком интерполяции геометрии исследуемой конструкции, что и для искомого решения в разложении (3.51), т.е. [c.107]

Выбирая меньшие размеры конечных элементов, можно обеспечить высокую точность решения на участках детали, где меняются ее конструктивные параметры. При этом могут быть использованы более тбчные методы интерполяции, например с помощью криволинейных конечных элементов (106]. [c.143]

Подход, в некоторой степени сходный с методом работы [15], был независимо развит в [16] для задач с заданным распределением поверхностных нагрузок и будет распространен в настоящей статье на смешанные задачи ). Этот подход, так же как и метод работы [15], в большей степени основан на интуитивных физических соображениях, чем отмеченный вначале более формальный подход, и в действительности приводит к несколько отличной записи основных соотношений. Для всех типов задач в качестве неизвестного вектора выбирается вектор фиктивных нагрузок. Если его значения известны, то прля напряжений и перемеш ений внутри тела определяются рым образом и очень точно при помощи интегрирования 1спределения фиктивных нагрузок. Непосредственное и оди-гаково точное определение поля напряжений в произвольной внутренней точке (при этом не требуется интерполяция, необ- содимая при решении методами конечных элементов или конечных разностей) делает этот метод весьма привлекательным длй определения зарождения и последующего развития разрушения. [c.154]

Применим к функциям процедуру локальной аппроксимации, основанную, например, на методе конечных элементов или методе конечных разностей. В результате функционал 3 нриближенно заменяется функцией относительно узловых скоростей перемещений. Расположим теперь точки дискретной модели в узлах интерполяции и отождествим перемещения узлов континуальной среды с перемещениями точек дискретной среды. Под квадратичной формой П будем понимать функцию, полученную при дискретизации первого, квадратичного, слагаемого в функционале (3) под линейной формой А — линейную функцию, полученую при дискретизации остальных слагаемых. [c.190]

В главе IV полз чены оценки уклонения точного решения задачи обобш,енной интерполяции от дискретного решения в векторном пространстве конечных элементов. [c.7]

Узловые параметры будут включать значения Т в узлах и их производные, если в конечном элементе используются производные (капркмер, для интерполяции Эрмита). [c.98]

Метод конечных элементов получил в последнеё время широкое распространение как один из современных и самых эффективных методов решения краевых задач математической физики. В монография известных американских специалистов излагаются теоретические основы метода конечных элементов — интерполяция данных, выбор аппроксимирующих функций, модификация краевых условий, точность вычислений. Обсуждаются возможности применения в различных областях физики и техники, приводятся простые примеры для иллюстрации теоретических положений- [c.4]

В разд. 2.3 даны общие определения конечных элементов и пространств конечных элементов и приводится обсуждение их различных свойств. Особенно важны понятие аффинного сежйства конечных элементов (когда все конечные элементы семейства могут быть получены как образы при аффипном отображении одного и того же исходного конечного элемента) и понятие оператора Рк-интерполяции (основная зависимость между этими двумя понятиями устанавливается в теореме 2.3.1). Оператор Р --интерполяции и соответствующий ему общий оператор Х -интерполяции играют фундаментальную роль в развиваемой в следующей главе теории интерполяции в простряпствах Соболева. Будет также описана методика постановки краевых условий на функции из пространств конечных элементов. [c.47]

Для придания более конкретного смысла таким оценкам в вышеприведенной таблице (рис. 3.1.2) записаны некоторые оценки 01пнбки интерполяции в нормах - т, х (Р"=7 = 2) для различных конечных элементов, которые могут быть вложены в аффинные семейства. [c.129]

Цель этого упражнения изучить (для простоты в частном случае т = 1) уточнение Жаме [2 , касающееся зависимости оценок ошибки интерполяции от геометрии конечных элементов. [c.133]

В последние десять лет наблюдается значительный интерес к теории интерполяции и аппроксимации в случае нескольких переменных. Одна из причин этого явления в настоящее время состоит в необходимости такой теории для изучения свойств сходимости методов конечных элементов. Нужно, однако, отдельно упомянуть одни из первых в этом направлении работы Пойа [1] ц Синжа [1], следуя которым мы используем здесь соответственно термины прямоугольники типа (1) п треугольники типа (1). [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...