Численные решения уравнений равновесия стержня

Рассмотрим пример численного решения уравнения равновесия стержня, находящегося в жестком криволинейном канале и нагруженного крутящими моментами, приложенными к торцовым сечениям. [c.226]

Входящий в полученные выражения для проекций аэродинамической силы qi, коэффициент Сь(аа) зависит от угла атаки и формы сечения стержня. Как уже указывалось выше, зависимость от угла Ga можно получить только экспериментально. Экспериментально полученные графики, устанавливающие зависимость аэродинамических коэффициентов с ,, l и Ст для ряда сечений, приведены в 6.3. При численном решении уравнений равновесия стержней, нагруженных аэродинамическими силами, достаточно иметь числовые значения в зависимости от аа, что и получают при обработке экспериментальных данных. Для стержня, который под действием аэродинамических сил и моментов деформируется, угол атаки аа=аао+ааь где аао — начальный (известный) угол атаки о.а — дополнительный угол атаки, вызванный деформацией стержня, который определяется из решения уравнений равновесия стержня в потоке. Выражение для угла Oai при малых перемещениях точек осевой линии стержня и малых углах поворота связанных осей выводится дальше [см. соотношение (6.85)]. [c.251]

По форме записи системы уравнений (1.57) — (1.61) и (6.115) — (6.119) тождественны, поэтому методы численного решения уравнений равновесия стержня без потока жидкости, изложенные в гл. 2, могут быть полностью использованы и для решения задач статики стержней, заполненных потоком жидкости [с учетом того, что краевым условиям должна удовлетворять компонента Qi, а не Qi< > (Qi( )-Qi-(Po+ i o ))]. [c.265]

ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ СТЕРЖНЯ [c.52]

При потере устойчивости относительно деформированного состояния (например, потеря плоской формы изгиба спиральной пружины см. рис. 3.4) необходимо предварительно определить критическую равновесную форму стержня [уравнения (3.10) — (3.14)], от параметров которой (и, Q, М ) зависят линейные уравнения равновесия стержня [уравнения (3.24) — (3.27) или уравнение (3.28)] после потери устойчивости. Так как критическая форма стержня заранее не известна, то требует проверки устойчивость всех состояний равновесия при непрерывном увеличении нагрузки. При решении нелинейных уравнений равновесия, рассмотренных в гл. 2, нагрузки, приложенные к стержню, были известны, поэтому, воспользовавшись одним из возможных методов численного решения уравнений равновесия (например, методом, использующим поэтапное нагружение), можно получить векторы, характеризующие напряженно-деформированное состояние стержня, соответствующее заданным нагрузкам. [c.123]

Считая перемещения точек осевой линии малыми, определить напряженно-деформированное состояние стержня (рис. 4.14) численным решением уравнений равновесия. (Ограничиться уравнениями нулевого приближения, положив I Pol =0,5.) [c.183]

Получить численное решение уравнений равновесия нулевого приближения для стержня, показанного на рис, 4.15, при 9о=1- [c.183]

В обш,их векторных уравнениях равновесия и движения характер поведения внешней нагрузки при выводе уравнений роли не играет. Поведение внешней нагрузки играет суш,ественную роль при записи уравнений, связанных с конкретными базисами, например с базисами е,- или ij- , и особенно при записи уравнений в скалярной форме, которая используется при численных методах решения. Если внешняя нагрузка мертвая и уравнения равновесия стержня записываются в проекциях на неподвижные (декартовы) оси в базисе iy , то проекции сил <7 , [1 не зависят от деформированного состоя- [c.24]

Решение нелинейных уравнений равновесия стержня для более сложных случаев нагружения представляет значительные трудности и в аналитической форме записи, как правило, его получить нельзя. В таких случаях используют методы численного решения. [c.39]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Мертвые силы. При нагружении стержня мертвыми силами наиболее удобными для численного решения являются уравнения равновесия в декартовых осях, в которых проекции сил при любых перемещениях стержня остаются постоянными. Уравнения равновесия стержня нулевого приближения в декартовых осях [уравнения (1.130) — (1.133)] для мертвых сил принимают следующий вид dQ ( ) [c.65]

При исследовании устойчивости стержня нагрузки неизвестны и требуется найти такие нагрузки, которые удовлетворяют нелинейным уравнениям равновесия (3.10) —(3.14) и линейным уравнениям (3.24) — (3.27) при однородных краевых условиях. Численное решение уравнений (3.10) — (3.14) для каждого шага нагружения изложено в 2.3. Возможны различные варианты нагружения стержня а) пропорциональное увеличение нагрузок б) последовательное нагружение, например вначале стержень нагружается силами, при которых нет потери устойчивости, а затем дополнительно нагружается или распределенной нагрузкой, или сосредоточенной силой или моментом. Возможны, конечно, и более сложные варианты нагружения, когда стержень дополнительно нагружается несколькими силами или моментами (распределенными или сосредоточенными). Во всех перечисленных случаях можно выделить одиу нагрузку и, увеличивая ее, довести стержень до критического состояния. Это существенно при численном счете, когда надо определять собственные значения (критические силы) краевой задачи. [c.123]

Многие задачи механики стерл<ней, с которыми приходится сталкиваться инженеру-расчетчику, не поддаются точному решению. К таким задачам, например, относятся задачи статики и динамики стержней с переменным сечением и нелинейные задачи. Для решения подобных задач приходится использовать приближенные методы, как численные, так и аналитические. Часто оказывается, что полученные точные решения из-за чрезвычайной сложности записи являются практически бесполезными для математической и физической интерпретации или численных расчетов, т. е. приходится для получения нужной информации все равно прибегать к упрощениям или к аппроксимациям полученных решений. Среди приближенных методов решения уравнений равновесия наибольшее распространение получили методы, использующие вариационные принципы механики. [c.128]

Решение уравнений равновесия для стержня постоянного сечения. При преобразованиях и численном решении, например при [c.159]

Решение уравнений равновесия для стержня переменного сечения. Рассмотрим уравнения равновесия (4.138) — (4.141) стержня переменного сечения, лежащего на упругом основании. Решить эти уравнения можно только численными методами, поэтому представим систему (4.138) — (4.141) в виде векторного уравнения [c.165]

Следует подчеркнуть, что классическое решение дифференциальных уравнений равновесия стержня или. нити (представление решения в квадратурах), как правило, практически мало полезно, так как все равно получение числовых результатов требует применения численных методов для выражений анализа решений. Это может быть гораздо сложнее, чем численное решение исходных уравнений. [c.47]

Была проведена численная проверка удовлетворения третьего из уравнений равновесия (4.53) для упругопластического стержня (рис. 4.29) кривая — правая часть уравнения, точки — левая часть. Тепловое воздействие здесь не учитывалось. Полученные результаты свидетельствуют об удовлетворительном выполнении основного из уравнений равновесия, чем подтверждают достаточную точность и достоверность представленных числовых решений. [c.177]

Решение. Рассмотрим равновесие блока. Отбросим связи. Реакции троса по обе стороны блока численно равны О. Предположив, что оба стержня растянуты, направим реакции 5 и от узла А (рис. 15 б). На блок действует уравновешенная система четырех сил О, 5 , С и 5 . Решение проведем аналитически. Направив ось х по стержню АС, а ось у перпендикулярно ей, составим уравнения равновесия [c.30]

Решение задач о форме тонкого гибкого стержня относится к числу весьма трудоемких и кропотливых. На современном уровне развития численных методов такие задачи удобнее и быстрее решать с помощью машины. Надо непосредственно интегрировать дифференциальное уравнение второго порядка (3), и надобность в табулированных функциях отпадает. Но вот на что следует обратить особое внимание— на неоднозначность форм равновесия. Если задача решается на машине, то программа должна составляться с учетом этого обстоятельства. [c.69]

I LLOfo - u I I Го I У В выражения (1.42) — (1.45) входит матрица L, элементы которой определяются при решении уравнений равновесия стержня (элементы матрицы L° считаются известными, так как они характеризуют естественное состояние стержня до нагружения). Элементы / матрицы L (см. in. 1.6 Приложения 1) зависят от углов поворота связанных осей Для сосредоточенных сил и моментов элементы Uj зависят от углов поворота осей, связанных с точкой приложения сил и моментов 0 /(ек). Для распределенных сил и моментов элементы матрицы L, а также и матрицы L° есть функции координаты е. Полученные выражения для приращения сил и моментов необходимы при численном решении нелинейных уравнений равновесия стержня, когда используется метод последовательных нагружений. [c.31]

Определение приращений векторов внешних нагрузок. Выражения для приращений векторов внешней нагрузки (q, )х, Р< > и-при непрерывном деформировании стержня необходимы при численном решении нелинейных уравнений равновесия стержня, когда требуется явное выражение для компонент нагрузки. Приращения векторов внешней нагрузки необходимы и при определении критических нагрузок при решении задач статической устойчивости стержней. В дальнейшем считается, что силы, приложенные к стержню, и геометрические параметры, входящие в выражения для приращений сил, приведены к безразмерной форме. Частные случаи определения прирашенин векторов изложены в Приложении 3. Там же приведен случай определения приращения вектора при малых углах поворота связанных осей [формула (П. 159)]. [c.29]

Рассмотрим пример численного решения нелинейных уравнений равновесия стержня. На рис. 2.10 показан криволинейный стержень, нагруженный следящими силами. В отличие от задачи, рассмотренной в 2.1, стержень нагружен силой Р< ) = Рзез, перпендикулярной плоскости ХхОхг. [c.90]

Получить уравнения равновесия стержня (рис. 4.14) при больших перемещениях точек осевой линии с. ержня. Воспользовавшись методом последовательного нагружения (при конечном значении Ро1, равном 2, и 8б = 0,5), получить численное решение нелинейных уравнений равновесия. [c.183]

Представленная форма записи уравнений равновесия стержня как системы нелинейных уравненир1 первого порядка удобна при численном решении. Возможна и несколько иная форма записи уравнений (5.8)—(5.13) через проекции вектора Q в связанной системе координат [c.187]

Среди приближенных методов наибольшее распространениё получили методы, использующие вариационные принципы, и. методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты. Полученные в предыдущих параграфах уравнения равновесия стержней и нитей, как правило, являются нелинейными и в общем случае не могут быть решены в аналитической форме за исключением частных случаев. При решении уравнений равновесия обычно используют или численные методы, или приближенные, использующие вариационные принципы механики. При численных методах решения задач усложняются тем, что все задачи механики стержней относятся к двухточечным краевым задачам. [c.47]

Получить уравнения равновесия нулевого и первого приближен11Я для стержня, показанного на рис. 4.14. Получить численное решение (при Ро =0,5 вс = 0,5) и установить максимальные погрешности, которые имеют место, если ограничиться только решением уравнений нулевого приближения. [c.183]

Как уже указывалось, векторная форма записи уравнений равновесия или движения стержня инвариантна по отношению к координатным системам, однако при численных методах решения уравнений всегда переходят к скалярной форме записи уравнений, которая зависит от выбранной конкретной системы координат. От удачного выбора координатной системы существенно зависит зфчфективность решения задачи. Основное отличие ортогональных прямолинейных координатных осей с базисом i, от ортогональных криволинейных с базисом е, (рис. П.4) заключается в том, что базисные векторы i не зависят [c.291]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...