О системах с переменным числом частиц

Добавления озаглавлены так О нечувствительности формулы Больцмана это добавление естественно относится к 6, 10 12, имеющим то же название, но имеет значение для лекций первой, второй и начала третьей в целом О каноническом собрании Гиббса всецело покоится на предыдущем и относится к началу лекции третьей О системах с переменным числом частиц — дополнение по вопросу, не затронутому в книге о системах, в которых происходят химические превращения дается обоснование метода больших собраний Гиббс а О флуктуациях числа частиц относится к 26, 27 и примечанию III К примечанию V содержит просто разъяснение О броуновском движении относится к 32-35. [c.15]

О системах с переменным числом частиц. Системы с переменным числом частиц (например, систему, состоящую из частиц А, частиц В и частиц АВ причем возможна реакция А + В АВ) можно рассматривать элементарно, развивая для них комбинаторную теорию, которая от обычной теории для постоянного числа частиц будет отличаться только добавочными условиями вместо задания числа частиц будем иметь теперь задание числа атомов А и атомов В (см., например, книжку Райс, Статистическая механика книжка эта, однако, не свободна от ошибок). [c.165]

Различные пути, о которых мы говорим, являются путями развития системы или ее предысториями . Для одной частицы их можно отождествить с пространственными траекториями, но для систем со многими частицами или переменным числом частиц проблема носит значительно более сложный характер. Важно подчеркнуть, что величины, которые могут интерферировать в квантовой механике, представляют собой амплитуды, связанные с частными предысториями . Использование обычной терминологии иногда приводит к недоразумениям по этому поводу. [c.46]

Чтобы предсказать эволюцию системы с заданным гамильтонианом Я и заданным начальным состоянием (q ( o),p( o)), необходимо проинтегрировать уравнения движения (1.1.1) и найти фазовую траекторию q t),p t)). Для решения этой задачи важное значение имеет наличие интегралов движения i q p). Каждая траектория характеризуется некоторыми фиксированными значениями i динамических переменных i q p) которые определяют в фазовом пространстве системы подпространство r q,p i ), доступное для фазовых траекторий. Для системы из N частиц, описываемой гамильтонианом (1.1.2) с Ф (г, ) = О, важными интегралами движения являются энергия Я, число частиц полный импульс Р и полный момент импульса L. [c.13]

В заключение этого параграфа обсудим кратко вопрос о выборе термодинамических переменных. До сих пор в качестве независимой переменной мы пользовались полным числом частиц в системе. Это было связано с тем обстоятельством, что при построении теории возмущений нам пришлось исходить из характеристик идеального бозе-газа, в котором при конечном химическом потенциале бозе-конденса-ция отсутствует как известно, химический потенциал идеального бозе-газа тождественно равен нулю на всем интервале температур от нуля до температуры конденсации Т . Для системы взаимодействующих частиц химический потенциал х не равен нулю и поэтому является такой же равноправной термодинамической переменной, как и полное число частиц. Как обычно, значение ц может быть найдено из условия, чтобы среднее число частиц в системе равнялось данному действительному числу частиц. По существу, именно это условие и выражает соотношение (23.19). Переход к химическому потенциалу х в качестве независимой переменной представляет то формальное удобство, что позволяет избавиться от дополнительных временных зависимостей в формулах (23.18), возникающих в матричных элементах от вершин с 1о(0 и t). [c.274]

Г-пространство большого канонического ансамбля заполняется представляющими точками со всеми каноническими импульсами и координатами систем с числом частиц, равным О, 1,2,,.. Плотность, описывающая распределение представляющих точек в Г-пространстве. обозначается символом р(р, q, N) это плотность представляющих точек для системы с N частицами и с импульсами и координатами (р, q). Чтобы найти р(р, q, N), рассмотрим канонический ансамбль для системы, состоящей из N частиц, заполняющей объем V и обладающей температурой Т, но фиксируем внимание на малой подсистеме объема являющейся частью нашей системы. Плотность p(pi> q. Л/,) пропорциональна вероятности того, что в малом объеме содержится частиц с каноническими переменными р , q . [c.182]

Вместе с этим будем считать, что линейные размеры Vk малы по сравнению с длиной волны падающего излучения. Тогда каждый из участков системы У будет представлять собой диэлектрик, помещенный в переменное электрическое поле о os oi, и связанный с флуктуацией плотности числа частиц дополнительный дипольный момент каждой из таких совершающих вынужденные колебания областей будет равен [c.733]

При учете взаимодействия тоЛ№о первых соседей энергии связи всех плотных упаковок одинаковы. Чередование слоев будет случайным, и возникнет предельный тип упаковки с бесконечным периодом, т. е. со статистическим чередованием слоев (переменная структура). Учет энергии взаимодействия более далеких соседей при данном законе сил позволит выбрать периодическую упаковку с наименьшей потенциальной энергией. Анализ модельной системы сферических частиц показывает, что наименьшей потенциальной энергией обладает конфигурация с упорядоченной структурой и наибольшим координационным числом. [c.73]

Теперь рассмотрим преимущества и недостатки использования описания, основанного на одной функции С (х , 1 , ) от + 1 переменных вместо функций х ( ), t) одной переменной. Как мы видели, оба описания системы эквивалентны. Далее, использование одной независимой переменной и зависимых переменных в принципе не связано с большими или меньшими "трудностями по сравнению с рассмотрением одной зависимой переменной и + 1 независимых переменных. С интуитивной точки зрения ясно, что можно легко вообразить облако частиц с заданными положениями в любой момент согласно основанному на (4.1) описанию вместе с тем несомненно, что не так-то просто представить себе в любой заданный момент времени точку в 67 -мерном пространстве с координатами Х/ , (А = 1,. . ., М). Тем не менее введение этого бТУ -мерного пространства, называемого фазовым пространством системы, обладает тем преимуществом, что данное состояние системы (определяемое положениями и скоростями всех частиц) изображается одной точкой фазового пространства поэтому если забыть о трудности визуализации пространства с таким большим числом измерений, состояние системы во втором представлении является гораздо более простым понятием, чем в первом. [c.23]

Важно четко понимать, какой смысл для данного состояния имеют векторы и Раут- Мы ожидаем, что в экспериментах по рассеянию вектор Рин (О будет описывать так или иначе коллимированный пучок. Конечно, по математическим соображениям этот пучок не должен браться монохроматическим. В противном случае возникли бы трудности в вопросах сходимости. Весьма желательно, чтобы пучок представлял собой волновой пакет. Вместе с тем этот волновой пакет содержит всю информацию о том, каким образом был создан волновой пакет в далеком прошлом, т. е. о том, были ли частицы посланы в сторону мишени вдоль заданного направления, скажем с (приблизительно) заданным импульсом р и спином вдоль оси х, или же была создана схо-дяш,аяся сферическая волна с угловым моментом и т. п. Все эти характеристики должны содержаться в наборе квантовых чисел, или собственных значений динамических переменных, которые коммутируют с гамильтонианом //о и, таким образом, могут быть точно определены в состоянии системы свободных частиц о- Соответствующее состояние полной системы взаимодействующих частиц обозначают посредством 4 + (а, 1) и снабжают теми же квантовыми числами, что и ин- Другими словами (а, /) представляет собой состояние полной системы взаимодействующих частиц, которое в далеком прошлом совпадало с состоянием системы свободных частиц ин (а, t), причем а — полный набор собственных значений динамических переменных, которые коммутируют с Яо (но не обязательно с Я). Вектор состояния (а, 1) является решением уравнения [c.150]

Переход от переменной N к переменной ji. Прежде чем заняться вычислением гриновской функции, мы перейдем к новым переменным. До сих пор мы рассматривали систему с заданным числом частиц. В дальнейшем нам будет удобно считать это число переменным и задавать химический потенциал. По сути дела, такие переменные уже применялись нами выше для фононов, где было х = О и число частиц в системе не было задано. Однако в случае ферми-системы у нас было задано именно число чйстиц, а химический потенциал х, входящий в формулу, следовало рассматривать как некоторую функцию этого числа. При практических расчетах более удобно считать х независимой переменной, а затем уже в окончательном результате переходить к заданному числу частиц. [c.93]

Равновесные значения термодинамич. характеристик системы соответствуют экстремальным значениям потенциалов термодинамических для адиабатически изолированной системы, характеризуемой параметрами и (внутр. энергия), N (число частиц), V и X (объем и др. внешние параметры), равновесное состояние, согласно 2-му началу термодинамики, соответствует макс. значению энтропии (максимум по отношению к изменению др. параметров, напр. Т, р, концентраций в отдельных частях системы и т. д.) для системы, находящейся в термостате (переменные Т, V, X, N), — минимуму свободной эпергии (по отпошению к изменению У, р, концентраций в отдельных частях системы и т. д.) для систем, характеризуемых параметрами Т, р, X, IV, — минимуму термодинамич. потенциала Гиббса С и т. д. Условия экстремума определяют равновесные значения величин, сопряженных к выбранным независимым переменным, а условия максимума (или минимума) определяют условия устойчивости данного равновесного состояния. Напр., равновесное состояние однофазной системы осуществляется при равных значепиях Т, р и т. д. во всех точках системы, а условия устойчивости этого однородного состояния имеют вид (дp дV)J < О, Ср > О и являются критериями устойчивости по отношению к механическому и тепловому воздействиям на систему. [c.263]

Статистический подход заключается в том, что мы отказываемся пользоваться полной информацией о движении системы, содержащейся в уравнениях (1.1) или (1.3), и хотим упростить эти уравнения ценой потери части информации о системе. Соответствующую процедуру обычно называют сокращением описания. Можно указать два способа сокращения описапия и огрубления функции распределения. Первый из них связан с уменьшением числа переменных, относящихся к каждой частице. Например, вместо функции /(/>i, qi . .. рц, qn) вводится описание системы с помощью функции [c.104]

Только в том случае, когда производная дН/др / ( i) зависит лишь от первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению dH/dpi = / (qi). Преобразование к переменным действие — угол удовлетворяет даже более жесткому условию dHidpi == onst. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы, и симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость (N изолирующих интегралов) для системы с N степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов. [c.47]

Уравнение (3.39) можно рассматривать как уравнение движения только тогда, когда известно, как именно зависит сила Р от переменных физической системы, вызывающих изменение импульса част]]цы. Когда скорость частицы мала по сравнению с с, релятивистские уравнения должны совпадать со вторым законом Ньютона, Поэтому в инерциальной системе 5°, относительно которой част ца в рассматриваемый момент имеет нулевую скорость, си лу Р можно считать тождественной ньютоновой силе. Тогда с помощью (3.40) люжио вы-числ 1ть силу Р в произвольной 1нерциальной системе 5, Пусть скорость частицы относительно 5 равна и если 5 в (3.40) — система покоя 5 , то V = и и и = О, и для силы Р в системе 5 получим выражение [c.58]

Остановимся, наконец, на введении еще одного, третьего из основных статистических формализмов, связанного с выделением рассматриваемой системы с помошью воображаемых стенок, т.е. с выбором в качестве независимых термодинамических переменных величин 9, х, ц (х = У, о). Несмотря на то что такой выбор в термодинамическом смысле соверщенно эквивалентен сделанному в 3 или 4, все же фиксация химического потенциала fl как независимой макроскопической переменной на первый взгляд не представляется удачной, так как практически не существует приборов типа / -метров , непосредственно измеряющих этот параметр. Однако такой выбор означает отказ от точной (в микроскопическом смыСле) фиксации числа частиц, а именно это в целом ряде задач (особенно при рассмотрении квантовых систем из одинаковых частиц, см. гл. 2 данного тома) существенно упрощает рассмотрение, так что дополнительная проблема пересчета уже готовых результатов от переменных 9, х, (1 к переменным , х, N представляется в идейном отнощении просто элементарной (такой пересчет осуществляется исключительно методами одной термодинамики). [c.53]

В статистических системах величина корреляции существенно определяется двумя факторами динамическим — видом взаимодействия частиц Ф( г - г ) и статистическим — функция F, через wjf отражает структуру смешанного состояния термодинамически равновесной системы, поэтому через wn величина Fg будет зависеть от температуры в, а после интефирования по r,+ i,...,rjv и от других неаддитивных характеристик системы, таких, как плотность числа частиц n = l/v, и т.д. Именно последнее обстоятельство, связанное с наличием теплового движения в равновесной статистической системе, как мы уже указывали ранее, объясняет тот факт, что после проведения статистической предельной процедуры N оо, V/N = onst, какие-либо конкретные сведения о фани-цах системы или свойствах ее прифаничного слоя полностью выпадают из рассмотрения. Конечно, корреляционная функция — это уже не макроскопическая величина, и принцип термодинамической аддитивности отражается на ней лишь косвенно, однако нельзя не заметить, что в величину JFi(r ,..., г,) = F, q,) (мы обозначили фуппу из фиксированных s координатных аргументов как q,), определяемую заданным взаимным расположением фуппы координат q , при сворачивании функции VUN по переменным r,+i,...,rjv существенный вклад дацут только те их значения, которые при интефировании попадут в область, непосредственно окружающую фуппу q, (этим и объясняется появление зависимости F, от плотности числа частиц), причем интервал, на который фаница этой зоны отстоит от группы qs (рис. 131), называемый радиусом корреляции, не зависит от макроскопических размеров всей статистической системы, а определяется теми же неаддитивными термодинамическими параметрами, что и корреляционная функция Fs (мы полагаем, естественно, что фуппа q, лежит внутри системы и не соприкасается с приграничным слоем). Если равновесную систему разделить на макроскопические части, например, разрезать ее по линии АА (см. рис. 131), так что вся группа , целиком останется в одной из них и при этом не сомкнется с пограничным слоем перегородки, то величина F, этого совершенно не почувствует, так как подобная операция эквивалентна просто изменению формы сосуда (см. том 1, гл. 1, 1), не являющейся термодинамическим параметром системы. [c.299]

Из вышеизложенного следует, что математическая модель движения элементов гидродинамической муфты, в том числе и находящейся в ее полости жидкости, определяется системой интегродиф-ференциальных уравнений в частных производных, в которых содержатся подлеишщие определению двенадцать компонентов векторов скорости движения частиц жидкости во всех подобластях полости муфты функции давления Р скорости фх и фл вращения полумуфт, вектор-функция Гд и длина (переменной поверхности С). При этомт о входит в пределы интегралов граничных условий, что усложняет решение системы уравнений. Эта система может быть решена числовыми методами. Определение перечисленных неизвестных величин даст возможность определить все параметры движения муфты, в том числе угловое скольжение полумуфт, коэффициент полезного действия гидромуфты, изменение активного момента движущих сил, передаваемого жидкостью ведомой полу-муфте и др. [c.93]

Заканчивая обсуждение аналитических моделей микроструктуры аэрозоля, можно согласиться с мнением автора монографии [20] о том, что причина, по которой логарифмические нормальные распределения наиболее адекватно описывают реальные спектры аэрозольных частиц, заключается в следствиях центральной предельной теоремы. Как показано Колмогоровым [16], если статистичес1Йя переменная есть результат процесса, в котором выход пропорционален уже достигнутой величине переменной, то ее статистическое распределение должно быть логарифмически нормальным. Поскольку процессы, определяющие трансформацию состояния частиц в атмосфере, действительно являются функцией приобретенного ею размера, то логнормальное распределение является, по-видимому, естественным свойством этой системы. По этой же причине реальную кривую распределения счетной или массовой концентрации любой конфигурации можно аппроксимировать суперпозицией логнормальных распределений, количество которых соответствует числу независимых конкурирующих источников [20]. [c.47]

Разумеется, без З-частицы ни у кого и мысли не могло бы возникнуть о допущении такой странной суперпозиции. Все дело именно в микрочастице, которая по определению должна описываться квантовой механикой. Эта частица вступает во взаимодействие с более сложной системой — счетчиком Гейгера, а через него и с ампулой, и в конце концов, с котом. Естественный подход к описанию всего процесса состоит в расширении системы от З-частицы к счетчику и т.д. При этом последовательно увеличивается число динамических переменных и расширяется гильбертово пространство, в котором определена волновая функция. Кажется, что на каждом шаге следует использовать уравнение Шрёдингера. И в результате мы приходим к возможности абсурдной суперпозиции двух необратимых процессов. [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...