Геометрические величины, или векторы

Прежде чем приступить к механике, мы изложим теорию геометрических величин или векторов, а после этого дадим элементарные сведения из кинематики. [c.15]

Геометрические величины, или векторы. Геометрической величиной, или вектором, называется отрезок прямой (рис. 1), имеющий начало в точке Л, и конец в точке В . [c.16]

Такие величины, которые, подобно перемещениям, характеризуются не только значением величины, но и определенным направлением в пространстве (в отличие от скалярных величин, не связанных с определенным направлением в пространстве) и складываются геометрически, называются векторными величинами или векторами. Перемещение точки есть вектор. Векторные величины мы будем обозначать либо двумя буквами (соответствующими началу и концу отрезка) со стрелкой наверху, либо одной жирной буквой. Мы будем, например, писать (рис. 3) [c.38]

Итак, относя какую-либо физическую или геометрическую величину к векторным величинам, следует убедиться, что эта величина имеет все, без исключения, основные свойства векторов определенное численное значение (модуль), определенное направление в пространстве и подчиняется правилу сложения. [c.37]

Количеством движения, или импульсом точки называют вектор, равный произведению массы точки на ее геометрическую скорость величина этого вектора (алгебраическая) равна поэтому mv. Предшествующие уравнения выражают, таким образом, следующие теоремы [c.138]

Аппарат векторного исчисления представляет пример прямого геометрического исчисления, так как всякое вычисление, основанное на представлении величин при помощи измеряемых и определенным образом ориентированных в пространстве отрезков или векторов, может быть истолковано как геометрическое [95]. [c.62]

Решетка лопаток (или профилей) рабочего колеса показана на рис. 5.7. Геометрические величины, характеризуюш,ие решетку профилей рабочего колеса, во многом аналогичны таким же для сопловой решетки. Поэтому их рассматривают шаг решетки t — как расстояние между соседними лопатками (при этом для круговой решетки различают шаг решетки на входе и выходе t ) ширину решетки В — как размер ее в направлении оси [под осью понимается прямая, перпендикулярная линии, соединяюш,ей соответственно точки лопаток на входе (передний фронт решетки) или на выходе (задний фронт решетки)] хорду профиля Ь — как расстояние между концами средней линии лопатки входной и выходной установочные углы 2л — как углы между соответствующим фронтом решетки и касательной к оси лопатки (средней линии) на входной и выходной кромках установочный угол ауст — как угол между хордой профиля и фронтом профиля углы входа и выхода потока и рз — как углы между соответствующим фронтом решетки и направлением скорости Б относительном движении на входе и выходе угол изгиба профиля — как 0 = 180 — (Pi + Ргл) угол поворота потока в решетке — как В = 180 — (Pi + Ра) угол атаки i — как угол между вектором скорости на входе в решетку в относительном движении Wj и касательной к средней линии (оси) профиля на входной кромке (i = р1л — Pi)i угол отставания потока — как б = Ра — Ргл относительный шаг решетки — как t = t/b высоту решетки /р — как расстояние между ограничивающими поток поверхностями в направлении, ортогональном направлению течения и фронту решетки. [c.96]

Как уже отмечалось, для решения системы сингулярных ИУ (И 1.9) граница тела представляется набором сегментов (в двумерном случае это могут быть отрезки прямых, дуги окружности и т. д.), на каждом из которых перемещения и усилия аппроксимируются каким-либо образом, например полиномиально. Для полиномов первой степени аппроксимация производится между величинами граничных перемещений и граничных усилий, расположенных в точках дискретизации. Вследствие этого вектор напряжений может быть не определен для случаев, когда существует разрыв в геометрических характеристиках или граничных условиях (разрывность внешней нормали, сосредоточенная сила, трещина и т. д.). [c.72]

Очевидно, здесь не важна величина или алгебраическое выражение этого множителя, а имеет значение только одинаковость его для всех частиц. Так же несущественно то, что здесь идет речь о силах, а не о каких-либо других векторах. Статическое выражение момента и условия равновесия моментов представляют чисто геометрические теоремы, в которых сила фигурирует как геометрический линейный отрезок, т. е. как вектор, и сущность понятия о силе здесь не при чем. Поэтому все, чю только что было сказано о касательных силах инерции, можно приложить и к любому другому вектору, обладающему теми же свойствами, т. е. перпендикулярному к радиусу и пропорциональному произведению массы на радиус. [c.206]

Существует много физических и геометрических величин, которые при данном выборе осей координат также характеризуются тремя скалярными величинами, например скорость, сила (приложенная к данной точке) и пр. Но не всякую из них целесообразно представлять вектором, как это мы, например, делаем со скоростью или силой. Дело в следующем. Пусть 1, 21 3 — числа, характеризующие данную физическую величину при данном выборе осей координат. Мы, конечно, всегда можем [c.635]

Величины, которые характеризуются одним положительным или отрицательным числом, называются скалярными или скалярами (длина, температура, масса, работа и т. д.). Величины, для определения которых необходимо знать размеры и их направление в пространстве, называются векторными или векторами (сила, скорость, ускорение и т. д.). Геометрически векторная величина изображается направленным отрезком АВ к обозначается АВ = а (фиг. 272>1 Точка А называется началом (точкой приложения), а В—концом вектора. Длина вектора а обозначается через а или а. Она называется также его модулем. Прямая, по которой направлен вектор, называется линией действия или носителем вектора. [c.207]

Из формулировки принципа перенесения видно, что он заключается в а) использовании взаимно однозначного соответствия пространства моторов (комплексных векторов), отнесенных к некоторой точке, и пространства винтов и б) переходе от пространства векторов с общим началом к пространству моторов, отнесенных к этому началу. Взаимно однозначное соответствие между двумя пространствами есть геометрический факт, остающийся в силе при любых аффинных ортогональных преобразованиях, т. е. при любых движениях, сохраняющих длину вектора и угол между двумя произвольными векторами, а следовательно, это соответствие имеет силу для любых движений твердого тела. Что же касается перехода от векторов к моторам, то он осуществляется с помощью комплексных величин и действий над ними, причем необходимо, чтобы то или иное уравнение, связывающее механические величины изображаемые векторами, при замене вещественных величин комплексными становилось уравнением между величинами, изображаемыми винтами. Но это возможно только при выполнении того условия, чтобы соответствующие функциональные выражения имели вид соответственно (5.94), (5.98), (5.104) и (5.105), т. е. чтобы они удовлетворяли условию аналитичности . [c.143]

Если радиус-векторы плоской кривой относительно некоторой точки увеличить (или уменьшить) на одну и ту же величину, то геометрическое место концов полученных радиус-векторов представит конхоиду данной кривой относительно выбранной точки. [c.232]

Для наглядной геометрической интерпретации нормальной компоненты вектора напряжений (к той или иной площадке) отложим на каждом направлении нормали отрезок величины [c.200]

Эти уравнения могут служить для взаимной проверки точности найденных величин. Зная их и имея заданным закон движения толкателя в виде графика р (<р) (рис. 4.22, а) или соответствующей аналитической зависимости, можно решить задачу синтеза профиля кулачка, отыскав зависимость радиуса-вектора кулачка г от второй полярной координаты угла а. Если профиль кулачка задан, т. е. известна зависимость г (а), то может быть решена задача анализа и найден закон движения толкателя з (<р). Математические зависимости, связывающие геометрические и кинематические параметры, имеют следующий вид [c.139]

Прежде всего может случиться, что два геометрически равных вектора изображают одну и ту же физическую или механическую величину. Как мы увидим дальше, это будет, например, справедливо для так называемых векторов моментов пары. Такого рода векторы, не имеющие ни определенной линии действия, ни определенной точки приложения, называются свободными. [c.17]

Простые решетки. С геометрической точки зрения правильное периодически повторяющееся размещение частиц в кристалле можно описать с помощью операции параллельного перемещения, или трансляции. На рис. 1.6, а показана решетка, полученная трансляцией частицы О вдоль трех осей оси х на отрезки а, 2а,. .., оси у на отрезки Ь, 2Ь.....оси г на отрезки с, 2с,. .. Векторы а, Ь, с называются векторами трансляции, абсолютная величина их — периодами трансляции. Параллелепипед, построенный на векторах а, Ь, с, называется элементарной ячейкой кристалла (рис. 1.6, б). Все элементарные ячейки кристалла имеют одинаковые форму н объем во всех вершинах ячеек располагаются одинаковые атомы. Поэтому все вершины ячеек эквивалентны друг другу. Их называют узлами решетки. [c.12]

Для оправдания этого названия заметим следующее. При произвольном выборе начальных значений проекций угловой скорости р, q, г или, что одно и то же, при произвольном начальном значении Вектора ш, эти величины изменяются с течением времени в согласии с уравнением 18 ) или с уравнениями (5 ), а также в согласии с условиями качения эллипсоида инерции по плоскости t. Если же начальное мгновенное вращение происходит (при какой угодно величине и стороне) вокруг одной из главных осей инерции, то в силу гех же уравнений (18 ), или уравнений (5 ), или на основании геометрического представления Пуансо угловая скорость ю будет сохраняться неизменной также и в последующие моменты. В конце концов, здесь речь идет о таких же статических решениях, уравне ний (б ), о которых говорилось ранее (гл. VI, п. 17). [c.89]

Ускорение тела представляет собой величину векторную с дова-тельно, мы можем рассматривать это ускорение как (геометрическую) сумму двух или более векторов и в этом смысле условно можем говорить, что тело данной массы имеет, вместо одного, одновременно два три или более ускорений ( 81). Распространим то же условие и на силы, т. е. примем, что на тело может одновременно действовать несколько сил, причём ускорения, сообщаемые телу Э Тими силами, должны в сумме давать наблюдаемое ускорение тела. [c.134]

Геометрически такое движение представляется как сумма трех векторов постоянной длины (фиг. 3. 2), из которых два вращаются в противоположные стороны с угловой скоростью X, а третий — с угловой скоростью и, являющейся угловой скоростью вращения диска (вала). Если одна из постоянных величин U или V равна нулю, то движение будет слагаться из кругового движения центра вала и кругового движения вектора неуравновешенности. [c.113]

Распределение по кривой Максвелла встречается главным образом у существенна положительных величин в частности, когда случайная величина является радиусом-вектором при двухмерном или трёхмерном гауссовом рассеивании, т. е. она является геометрической суммой двух или [c.298]

Примечания. 1. В пункте (а) вектор был определен как экстенсивная величина или сумма произведений вида (7.1.1). Эта сумма може. т быть интерпретирована геометрически как сумма векторов, но ей можно придавать и чисто формальный смысл. С другой стороны можно было не прибегать к такого рода представлению, определив вектор как тройку чисел, отнесенных к данному базису и преобразующихся при изменении базиса по формулам (7.1.3). Аналогично тензором можно называть не совокупность скалярных величин а экстенсив или символическое произ- [c.209]

Величина, которая вполне определяется одним численным заданием, называется с к а-л я р н о й величине й, или скаляром (она измеряется по одной шкале) если и е для определения величины необходимо еще указать ее направление, то такая величина называется вектором (напр, перемещение, скорость, сила). Геометрически вектор изображается при помощи направленного отрезка и.ли стрелки PiP.j (фиг. 1). Точк а Pj называется начало м, точка Р , — концом [c.209]

Гидродинамическая модель часто оказывается полезной при описании распространения света, в частности в геометрической оптике или при рассмотрении скалярных дифракционных полей, так как она дает картину распространения энерпн 1 в простой графической форме. В оптике наибольший интерес представляет усредиеннып вектор Пойнтинга. Величина его служит мерой инген-сивности света, а направление указывает направление распространения света. [c.32]

Геометрическим переменным присваиваются имена в соответствие с правилами языка ФОРТРАН. Значения геометрических переменных определяются их внутренним представлением в ЭВМ. Так, значением геометрической переменной точки является пара чисел, равных координатам этой точки. Геометрические операторы (их более 200) — это либо операторы присваивания, либо операторы обращения к подпрограммам. В левой части оператора присваивания указывается наименование геометрической переменной, а в правой части — геометрическое выражение (оператор-функция или подпрограмма-функция) и список фактических параметров. Наименование функции определяет тип геометрической переменной, способ ее параметризации и последовательность перечисления фактических параметров. Как правило, начальные буквы в паимеповашш функций отражают тип геометрических элементов Т — точка, Р — прямая, К — окружность, V — вектор, О — дуга окружности, 5 — плоскость, А — угловая величина. В некоторых случаях название оператора связывается с названием операции. [c.167]

Силу R можно определить непосредственно геометрическим суммированием слагающих ее векторов по уравнению (XIII—I) или пользуясь методом проекций на координатные оси. В зависи.мости от величины и ориентации слагающих векторов суммарное воздействие потока и внешнего давления на стенки может сводиться к силе, моменту или дина.ме. [c.377]

Момент пары является векторной величиной, а потому сумМиро-вание надо производить геометрически, т. е. по правилу параллелограмма. В частном, но очень важном случае (имеющем большое применение в технике), когда пары расположены в одной плоскости, сложение моментов производят алгебраически. В самом деле, будем поворачивать плоскости / и // на рис. 86 до их совпадения. Тогда угол 6 станет равным нулю или 180°, параллелограммы выродятся в отрезки прямой и геометрические суммы сил н сумма моментов превратятся в сложение векторов, направленных по прямой, т. е. в алгебраическое сложение. [c.84]

Теперь рассмотрим некоторые свойства реакций связей. Введем в пространстве з многомерные реакции геометрических и неголономных связей Rj и Rs. Можно утверждать, что в фиксированный момент времени, т. е. при остановленных нестационарных связях, векторы реакций связей направлены так, что они образуют с многомерными возможными перемещениями острые или прямые углы в пространстве зп. Следовательно, углы, образованные реакциями односторонних связей с векторами grad fj и Ns в пространстве з , по абсолютной величине не больше, чем л/2. В случае двусторонних связей угол между реакциями и векторами grad fj и N,, не ограничен какими-либо условиями. [c.25]

Геометрически вектор изображается ирямолиненным отрезком со стрелкой на ко1 це. Длина этого отрезка называется модулем вектора, или абсолеэтной величиной вектора. [c.14]

Понятие сплошной среды не так просто, как может показаться на первый взгляд и как это казалось подавляющему большинству ученых в XIX и первой половине XX столетий. Оказывается, что можно строить разные модели сплошной среды, наделяя их разными свойствами. Простейшая модель, которую мы будем называть классической моделью, вводится следующим образом. Примем за основное первичное понятие материальную точку. В кинематике это понятие тождественно с понятием геометрической точкп. Можно представить себе точку как сферу бесконечно малого радиуса. При стремлении радиуса к нулю единственной величиной, индивидуализирующей точку, остается радиус-вектор центра сферы или три числа — координаты точки. Представляя себе некоторую замкнутую область пространства непрерывно заполненной точками, мы получим модель сплошной среды. Пусть Xio — координаты некоторой точки в момент времени to. При движении среды координаты данной точки меняются, в момент t они принимают значения Xi t). Движение среды полностью задано, если функции Xi(t) для каждой индивидуальной точки известны. Именно так определяется кинематика классической модели сплошной среды. До недавнего времени эта модель была единственной, на основе ее строились все механические теории. Но можно представить себе и иные сплошные среды, наделенные некоторой внутренней структурой. Будем рассматривать, например, материальную точку как бесконечно малый эллипсоид. Устремляя его размеры к нулю и сохраняя при этом нанравления главных осей, мы получим среду, с каж- [c.22]

Осью называют бесконечную прямую, для которой одно из двух направлений вдоль прямой выбрано как основное (положительное). Ввиду особой важности для теории и для решения задач напомним известное из математики определение проекции на ось всякого вектора, в нашем случае - вектора силы. Проекцией вектора Р = АВ на ось I (рис. 7) называют отрезок A Bi оси I, заключенный между двумя плоскостями, перпендикулярными оси I и проходящими через начало (точка А) и через конец (точка В) вектора Р. Точка Ai определяет начало проекции, а точка Bi - конец проекции. Таким образом, проекция силы на ось является геометрической фигурой — прямолинейным отрезком. Следует отличать проекцию от величины проекции. Если в выбранном масштабе сил измерить длину проекции и приписать полученному числу знак (плюс или минус), то полученное алгебраическое число называют величиной проекции. Если направление от начала проекции Ai к концу проекции Bi совпадает с положительным направлением оси, то величину проекции берут со знаком плюс, а в противоположном случае — со знаком минус. В дальнейшем, подразумевая величину, проекции, будем для кратности говорить просто - про-ек1щя. Так как плоскости I и II перпендикулярны оси I, то и прямые AAi и BBi перпендикулярны этой же оси. Поэтому проекцию P, = AiBi вектора силы Р = АЁ можно получить, опустив перпендикуляры из начала и конца вектора на ось I. [c.17]

Эти линейные относительно х, у, г уравнения указывают, что геометрическое место точек О есть пряц)ая D D, параллельная направлению главного вектора. Эта прямая называется центральной осью (рис. 13). Для какой-нибудь точки О этой оси главный вектор и главный момент будут лежать на этой оси и будут иметь одинаковые или противоположные направления в зависимости от того, будет ли величина LX- -MY -NZ положительной или отрицательной. При этом главный момент g будет минимальным, так как он совпадает со своей проекцией на главный вектор. [c.30]

Пусть в вертикальной плоскости (Р) есть вертикаль, направленная вниз (фиг. 57), и ТН—горизонталь. Проведем вектор (оГ, геометрически равный вектору (о угловой скорости вращения Земли и составляющий угол а с его проекцией ДГ на плоскость (Р). Обозначим через р угол, составляе.мый прямой ГZ с вертикалью ГП. Пусть есть проекция фиктивной силы Р на плоскость (Р) вектор Р, составляет с направленной вниз вертикалью ГП (или с весом Р массы р) угол р или р- -7Г, в зависимости от направления вращения Гц, сообщенного тору ). Величина Р есть [c.193]

Приведение системы сил в пространстве трех измерений. Теорема Пуаисо. Последовательное применение тех положений, которые были указаны в начале 14, позволяет заменить данную систему сил другой эквивалентной ей системой самым различным образом. Но при таком приведении системы, при всех последовательных преобразованиях сохраняются неизменными как геометрическая сумма сил, так и геометрическая сумма моментов сил относительно какой-либо данной оси. Для дальнейшего будет полезно предположить, что при помощи многоугольника сил или иным путем нами уже построен свободный вектор R, представляющий по величине и направлению геометрическую сумму данных сил. Мы будем пока предполагать, что R отличен от нуля. [c.38]

Скалярное произведение вектора R на векторное произведение [PQ] имеет простой геометрический смысл. Если обозначим через Р, Q к абсолютные величины векторов Р, Q, R, изображенных соответственно отрезками ОА, ОВ и ОС, а через а угол (острый или тупой), обра-зз емый направлением ОС с нормалью к плоскости АОВ в направлемии [PQ], то будем иметь [c.55]

Рассмотрим способы, которыми можно установить присутствие света в некоторой точке пространства непосредственное восприятие рассеянного света, фотографические испытания, тепловой эффект и другие. Все эти способы в действительности могут быть, по-видимому, сведены к фотоэлектрическому эффекту и к рассеянию света. В самом деле, при встрече с л атериальным атомом световой квант обладает определенной, зависящей от внещних факторов вероятностью поглощения или рассеяния. Если, далее, теории удастся определить эти вероятности, пренебрегая действительными перемещениями энергии, то можно будет правильно определить в каждой точке средние значения сил взаимодействия между излучением и материей. Следуя электромагнитной теории (в согласии с этой точкой зрения находится также принцип соответствия Бора), я склонен предположить, что для материального атома вероятность поглощения или рассеяния светового кванта определяется геометрической суммой каких-либо из векторов, определяющих сталкивающиеся с этим атомом фазовые волны. Последнее предположение в действительности полностью аналогично гипотезе, принимаемой в электромагнитной теории, где интенсивность наблюдаемого света связывается с величиной равнодействующей электрического вектора. Так, в эксперименте Винера фотографическое действие происходит лишь на узловых плоскостях электрического вектора согласно электромагнитной теории магнитная энергия света не является наблюдаемой. [c.637]

Ускорение является результатом действия силы на массу и представляет собой, как было сказано, величину векторную поэтому мы принимаем, что сила также может быть изображена вектором, совпадающим по направле 1ию с ускорением и при этом, согласно формуле (Н.З), пропорциональным произведению массы на ускорение. Развивая высказанное нами раньше положение о совместном действии нескольких сил на данное тело, мы можем тепер сформулировать это положение так если тело движется с ускорением, то безразлично, сказать ли, что на него действует одна сила или совместно несколько сил, Приложенных к одной и ТОЙ же точке тела, если только (геометрическая) сумма последних равна предыдущей силе. Сумма нескольких сил, приложенных к одной и той же точке тела, носит название равнодействующей силы. [c.135]

Воздействие среды на тело сводится к силам, непрерывно расиределен1и>1м по поверхности этого тела. Аэродинамические поверхностные силы могут быть охарактеризованы величинами нормального р и касательного t напряжений в каждой точке поверхности тела. В обще.м случае при геометрическом сложении этих сил по всей поверхности получается главный вектор аэродинамических сил R и главный момент М. Векторы R и А1 можно разложить по скоростным осям ко-ординат или по связанным. В скоростной системе оординат одиа из осей (назовем ее осью Ох) всегда наирлвлена по вектору скорости полета. Остальные две оси Оу и Oz принимаются перпендикулярными к оси Ол и должны образовать все вместе правую систему координат. Скоростная система координат х, у, z) не зависит от ориентировки движущегося тела. [c.518]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...