Исследование систем первого приближения

Перейдем теперь к исследованию устойчивости стационарных решений (3) цепочки (4) для произвольного а. Линеаризуя уравнения относительно (3) (м, = + ), получаем систему первого приближения [c.190]

Тогда для исследования устойчивости по первому приближению составляют систему, получаемую из (И ) отбрасыванием нелинейных слагаемых (уравнения в вариациях) [c.652]

Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы (2.92) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных колебаний, при построении приближенных решений нелинейных гамильтоновых систе.м, где в качестве первого приближения берется обы шо решение линейной задачи. Поэтому целесообразно выбирать такие координаты, в которых решение линейной задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещественной формой уравнений (2.92) и будет нормальная форма. [c.125]

Ссылка автора на теорему Ляпунова ошибочна, а его точка зрения на значение метода малых колебаний при рассмотрении частных практических вопросов может ввести читателя в заблуждение. Метод малых колебаний приводит к исчерпывающему ответу, если все корпи характеристического уравнения имеют действительные отрицательные части или в том случае, когда хотя бы один из них имеет положительную вещественную часть. Если же имеются корни, действительные части которых равны нулю, то нельзя судить об устойчивости и неустойчивости по первому приближению, так как все будет зависеть от членов более высокого порядка в уравнениях возмущенного движения. Если псе корпи чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование. Обычно это встречается при исследовании устойчивости консервативных систем, по в этих случаях можно вывести необходимое заключение из анализа интеграла энергии. Если в рассмотрение входят диссипативные силы, что обычно и бывает при решении технических проблем, то можно потребовать, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. В тех случаях, когда все же нельзя удовлетворить этому условию и когда входит, например, один нулевой корень, следует обратиться к исследованиям особых случаев" Ляпунова или изменить постановку задачи, что иногда бывает возможно. [c.425]

В настоящее время для исследования устойчивости имеется ряд методов, в частности, два метода Ляпунова, в которых используется так называемая функция Ляпунова ), отыскиваемая применительно к исследуемой системе. Общих методов отыскания функций Ляпунова для нелинейных систем не существует. На этом самостоятельном вопросе останавливаться не будем. Обсудим лишь исследование устойчивости по первому приближению, используя при этом теоремы Ляпунова. [c.72]

Исследование устойчивости по первому приближению для неавтономных систем значительно сложнее, чем для автономных, и на нем не останавливаемся. [c.75]

Для исследования колебания суппорта в пространстве проанализируем систему упругих связей — пружин, определяющих его положение в пространстве. Для упрощения будем рассматривать суппорт как твердое тело (рис. 1 — три проекции). Суппорт опирается на направляющие станки в точках В , В , В , В . Соответствующие значения жесткостей в точках опоры обозначены l, Сз, Сд, С, по оси Z и С , i, С , С — по оси у колебания по оси X в первом приближении не рассматриваем. Таким образом, исследуемая динамическая система суппорта имеет пять степеней свободы — повороты суппорта вокруг трех осей координат и перемещения вдоль осей г/ и z. [c.53]

В заключение исследования систем шестого и более высоких порядков необходимо было бы обосновать при переходе к каждой следующей системе возможность выделения первой составляющей процессов. Тем самым была бы обоснована возможность приближенного разложения процессов на простейшие составляющие, так как возможность выделения остальных составляющих доказывать не нужно, если она доказана дл систем меньших порядков. [c.109]

Для неавтономных систем (р. и Xf явно зависят от t) задача исследования устойчивости по первому приближению существенно усложняется. О свойствах решения системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в этом случае судят по характеристичным числам. [c.39]

В принципе возможен и другой подход, полностью эквивалентный уже рассмотренному с точки зрения теории линейных пространственно инвариантных систем, — это изучение реакции кристалла на запись точки (б-функции), т. е. изучение импульсного отклика. В рамках теории линейных систем первое и второе описания формально эквивалентны, так как связаны между собой фурье-преобразованием. Однако фактически, с экспериментальной точки зрения, удобнее изучать дифракцию света на решетке показателя преломления, чем анализировать детали профиля импульсного отклика. Поэтому в дальнейшем почти всегда анализ будет производиться в терминах элементарных решеток . Причем слово решетка употребляется для описания синусоидального распределения заряда, электрического поля, показателя преломления и т. п. Заметим, что, хотя линейное приближение является очень мощным способом исследования, реально в ФРК оно не всегда справедливо, и на это будет указано в дальнейшем в соответствующих разделах. [c.8]

В тех случаях, когда уравнения (1) интегрируются, решение поставленной задачи сравнительно просто. Суть дела состоит здесь в том, чтобы ответить на вопрос, устойчива или неустойчива механическая система независимо от выполнимости интеграции системы (1). До работ А. М. Ляпунова решение задачи об устойчивости механических систем, движение которых определено уравнениями (1), заменялось исследованием системы уравнений первого приближения, т. е. таких уравнений, когда в разложениях функций Xg,. .., в окрестности х = О, лгз = О,. .., = О отбрасываются [c.68]

Исследования 227—234 касаются частного типа волн, когда профиль просто гармонический и волны простираются в бесконечность по обоим направлениям. Но так как все наши уравнения (до тех пор, пока мы ограничиваемся первым приближением) являются линейными, то мы можем, согласно теореме Фурье, наложением получить решение, обусловленное произвольными начальными условиями. Так как результирующее движение, вообще говоря, будет составлено из систем волн всех возможных длин, распространяющихся в том и в другом направлении, причем всякая отдельная волна распространяется со скоростью, свойственной ее длине, то форма свободной поверхности будет постоянно меняться. Единственное исключение представляет случай, когда длина волны каждой системы заметной амплитуды велика сравнительно с глубиной жидкости. Скорость распространения, именно / gh, не зависит тогда от длины волны, так что в случае волн, которые распространяются только в одном направлении, профиль волны во время своего движения вперед остается неизменным ( 170). [c.475]

Рассмотрим нелинейную систему, жидкая масса которой изменяется во времени. Так же, как и при исследовании линейной системы, предполагаем, что переменность жидкой массы несущественно сказывается на величинах и v , которые в первом приближении можно считать постоянными. Рассмотрим только [c.182]

Далее в работах [4] показывается, что уравнения первого приближения получаются из точных путем усреднения за период правых частей этих уравнений. Используя эту идею в последующих исследованиях, ученые производили таким образом приближенное исследование не только нелинейных систем, содержащих малый параметр е, но и различных существенно нелинейных автоматических систем. [c.44]

Какая же система осей координат должна быть принята за абсолютную Так как абсолютно неподвижных тел в природе не существует, то мы можем выбрать основную систему только приближенно. В большинстве задач кинетики, имеющих приложение к техническим проблемам, основную систему координат можно связывать с Землей, считая ее неподвижной. Весьма большое число экспериментов, поставленных для проверки результатов, вытекающих из второго закона Ньютона (5), показывает, что принятие земной абсолютной системы не противоречит закономерностям наблюдаемых движений. Однако для астрономических задач и задач космических полетов принятие такой инерциальной системы будет уже неверным, так как Земля вращается вокруг своей оси и движется вокруг Солнца. В пределах ошибок наблюдений над движением планет и космических кораблей в качестве основной системы можно принять систему, связанную с неподвижными звездами. С усовершенствованием методов теоретических и экспериментальных исследований система координат, связанная с неподвижными звездами, также оказалась недостаточной для согласования опытных фактов с результатами вычислений. Это было выяснено Эйнштейном, который показал, что законы Ньютона не вполне точны и при больших скоростях движения, сравнимых со скоростью света, являются только первым приближением для описания наблюдаемых движений. При скоростях же, значительно меньших скорости света, все расчеты, вытекающие из законов Ньютона, в предположении, что основная система координат [c.162]

Исходя из Теоремы 1, можно предложить следующий метод исследования устойчивости по первому приближению невырожденного периодического движения с ударами Линеаризуем систему (7) [c.246]

Случай Л =0. В этом случае диск представляет собою консервативную систему. Корни характеристического уравнения (3.26), не считая двух нулевых корней, оказываются либо действительными (и тогда движение диска неустойчиво), либо чисто мнимыми сопряженными. В последнем случае обычно считают, что система обладает консервативной устойчивостью. Однако с точки зрения теории устойчивости по первому приближению (см. 1) последний случай является так называемым сомнительным случаем Ляпунова и поэтому требует дальнейшего исследования. Это исследование было проведено в 2 гл. II. [c.310]

Продолжительность действия внешних моментов не превышает 10 % времени кинематического цикла. Размах колебаний низших частот и соответствующих нормированных частот нестационарных систем не превышает 9 % их средних значений, и внешние нагрузки имеют импульсный характер. Принимая положения коленчатого вала автомата, соответствующие серединам импульсов и М 7(0 за расчетные, можно в первом приближении ограничиться исследованием упомянутых систем с постоянными характеристиками. [c.347]

Уравнения первого приближения (уравнения в вариациях) для исследования окрестности точек либрации L и б ограниченной эллиптической задачи трех тел составляют линейную систему с 2л-периодическими (относительно истинной аномалии возмущающих тел) функциями, поэтому даже в первом приближении вопрос об их устойчивости представляется весьма сложным. Для близкого к единице эксцентриситета орбит возмущающих масс точки либрации L и Ц неустойчивы в смысле Ляпунова [85]. Здесь же сформулирована теорема об устойчивости, которая оказывается верной лишь с точностью до первой степени эксцентриситета орбит возмущающих масс. Этот результат согласуется с результатами исследования Ляпунова [64]. В дальнейшем многие исследователи [86], [129], [130], [131] и др., пользуясь аналитическими или численными методами, строили области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров 1, е (ц — малая возмущающая масса, е — эксцентриситет ее орбиты) для линеаризованной системы уравнений (уравнений первого приближения). В нелинейной постановке при малых е [c.846]

Обоснованный Ляпуновым метод исследования устойчивости сводится к следующему. Отбросим в уравнениях (5.34) нелинейные члены. Мы получим тогда систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами, так называемую систему уравнений первого приближения [c.309]

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. К линейным уравнениям с периодическими коэффициентами приводят прежде всего задачи об устойчивости периодических решений нелинейных систем, рассматриваемые в первом приближении. Так, например, для исследования устойчивости известного периодического решения [c.559]

Основными подходами к исследованию устойчивости являются 1) второй, или прямой, метод Ляпунова 2) теория устойчивости по первому приближению 3) частотная теория абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем. Первые два подхода, наиболее общие и распространенные в прикладных задачах, излагаются ниже применительно к автономным сосредоточенным системам. Частотные критерии абсолютной устойчивости подробно изложены в литературе по теории автоматического регулирования, в частности в монографиях [7,14]. [c.29]

Первое и второе начала термодинамики позволяют вычислить химическое сродство W только с точностью до некоторой неопределенной функции /(Г) (см. 48). Чтобы определить эту функцию, нужны в дополнение к обоим началам термодинамики новые опытные данные о свойствах тел. Поэтому Нернстом были предприняты широкие экспериментальные исследования поведения веществ при низкой температуре. В результате этих исследований и было сформулировано третье начало термодинамики, по мере приближения температуры к- О К энтропия всякой равновесной системы при изотермических процессах перестает зависеть от каких-либо термодинамических параметров состояния и в пределе (Г= О К) принимает одну и ту же для всех систем универсальную постоянную величину, которую можно принять равной нулю. [c.91]

Следует иметь в виду, что системы с одной степенью свободы представляют собой объект, наиболее доступный для исследования возможных колебательных движений при самых разных их нелинейных свойствах. Нелинейные же системы с двумя и большим числом степеней свободы и распределенные системы поддаются последовательному анализу лишь в отдельных частных случаях. Их рассмотрение даже в линейном приближении значительно более сложно, громоздко и не допускает ряда качественных и наглядных приемов, которые возможны для систем с одной степенью свободы. Поэтому изложение материала в гл. 6—12 имеет несколько другой характер, чем в первых главах оно несколько более конспективно, в целях выделения основных физических результатов опускается ряд промежуточных выкладок, особенно при применении изложенных ранее методов анализа. Однако эти различия в изложении отдельных разделов, по нашему мнению, вполне оправдываются спецификой рассматриваемых вопросов, тем более, что значительная часть материала, приведенного в книге, ранее не излагалась в учебных пособиях по теории колебаний. [c.13]

Из предыдущих материалов следует, что для стационарных систем порядки уравнений отдельных составляющих определяются по параметрам р/, которые зависят от значений коэффициентов характеристических уравнений. Такой же подход может использоваться в определенных случаях, о которых говорится ниже, и для нестационарных систем, поскольку при исследовании этих систем используется условие замораживания коэффициентов уравнений на каждом шаге интегрирования. Однако вследствие изменения значений коэффициентов характеристического уравнения будут изменяться значения параметров р/ и в общем случае порядки отдельных составляющих при переходе от шага к шагу интегрирования. При изменении же порядков отдельных составляющих изменяются обозначения координат для исходных и конечных замещающих систем уравнений и структурных схем и даже появляются в них принципиальные отличия. В связи с этим обстоятельством должны рассматриваться два случая распространения задачи приближенного разложения процессов на исследование нестационарных систем. Более простым является первый случай, при котором порядки отдельных составляющих не изменяются при изменении шагов интегрирования. [c.161]

Как указывалось в п. 40, помимо (IX. 1), имеются и другие приближенные представления функции запаздывания. Однако использование (IX. 1) оказалось более целесообразным. Это связано, во-первых, с тем обстоятельством, что в смысле запасов устойчивости, определяемых по методу эффективных полюсов и нулей, другие приближенные представления функции запаздывания, как показали предварительные исследования,- преимуществ не дают. Кроме того, при использовании некоторых из этих представлений получаются принципиальные ошибки в приближенных кривых, соответствующих функции запаздывания, по начальным условиям, что может привести к ошибкам в процессах для систем в целом. Поэтому в качестве приближенного представления функции запаздывания и было выбрано соотношение (IX. 1). [c.354]

Исследование систем первого приближения. Фазовая кривая у системы первого приближения называется приближающей, если она обладает следующим свсйстбом. Пусть / — семейство сжатий, обратных растяжениям, с помощью которых из быстро медленной системы получилась система первого приближения. Тогда существует такая окрестнссть нуля, пересечение которой с кривой при стремится к дуге регулярной фазовой кривей соответствующей вырожденной системы. [c.188]

Дастся изложение основ теории усхойчпвоети движения, базирующееся на общем курсе высшей математики для втузов. Основное внимание уделено наиболее эффективным методам иссл< дова-ния — прямому методу Ляпунова, исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения и частотным методам. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости движения но стру -туре действующих сил, устойчивости неавтономных систем, в тол числе систем с периодическими коэффициентами, и систем автоматическою регулирования. [c.2]

Основное внимание в кпиге уделено наиболее эффективным методам исследования устойчивости движения — прямому методу Ляпунова и исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости дви>кения по структуре действующих сил, устойчивости движения неавтономных систем, в том числе систем, возмущенное движение которых описывается линейными дифференциальными уравиениями с периодическими коэффициентами. [c.7]

Еще одно направление, в котором развивались исследования по аналитической механике,— применение понятия теоретически устойчивых двия№пий к исследованию действительных движений механики. Основные работы и здесь принадлежат Н. Г. Четаеву, который высказал и развил идею о возможности создании аналитической механики на основе отбора истинных состояний движения из всех возможных движений, обладающих устойчивостью того или иного характера. Эта идея была развита Чета-евым в работах 1931 — 1945 гг. Сформулировав задачу об устойчивости механических систем, Четаев дает строгое доказательство того, что для невозмущенных движений в случае их устойчивости в первом приближении уравнения Пуанкаре в вариациях будут иметь лишь нулевые характеристические числа. Если невозмущенное движение устойчиво, то соответствующие уравнения в вариациях [c.289]

Приближенные методы исследования нелинейных систем в принципе совпадают с первым приближением асимптотического метода Н. И. Боголюбова и с методом Ван-дер-Поля, поскольку известные уравнения Реллея и Ван-дер-Поля имеют аналогичный вид. Они также аналогичны и с первым приближением методов малого параметра А. Пуанкаре и Б. В. Булгакова и с теорией возмущений для медленно затухающих процессов, изложенной в работе Н. Н. Боголюбова. Оценка первого приближения в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, А. Пуанкаре, Б. В. Булгакова, Я. 3. Цыпкина и других авторов производится путем учета последующих приближений, но связана с большими математическими вычислениями и практически обычно не применяется. [c.38]

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами как в области развития теории, так л в области ее практических приложений (см. А. М. Ляпунов. Библиография . Составила А, М. Лукомская, под редакцией В. И. Смирнова, М.—Л., 1953). Разработка идей Ляпунова ведется по многим направлениям. Здесь надо отметить развитие и применение первого и, особенно, второго методов Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих ж углубляющих эти методы анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действу-лопщх возмущениях исследования устойчивости не установившихся и периодических движений, а также уртойчивости на конечном интервале времени развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений распространение методов Ляпунова на механические системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (в особенности на сплошные среды), и многие другие. В последние годы выяснилось, что метод функций Ляпунова можно с успехом применять и в получении оценок приближенных интегрирований, и в теории оптимального управления (см. обзор Н. Н, Красовского в настоящем сборнике, стр. 179— 243), и в теории нелинейных колебаний и во многих других разделах науки. По теории устойчивости движения опубликован ряд прекрасных монографий. [c.11]

Однако, как известно, задачи об устойчивости оказываются фактически разрешимыми только в тех случаях, когда задача решается уже в первом приближении, т. е. исследованием линейной системы дифференциальных уравнений, да еще вдобавок с постоянными коэффициентами. В механике мы имеем такие случаи для неконсервативных систем, где благодаря диссипации энергии оказывается возможной асимптотическая устойчивость, легко обнаруживаемая в первом приближении. В задачах классической небесной механики мы имеем дело всегда с консервативными системами, в которых по первому приближению легко обнаруживается только неустойчивость, а представляющие интерес случаи относятся к категории особенных , для исследования которых о)1 ного первого приближения недостаточно, что чрезвычайно усложняет и затрудняет получение эффективного решения. [c.343]

Но ИЗ достаточных условий устойчивости в первом приближении никаких заключений об устойчивости в строгом (нелинейном) смысле все же сделать нельзя. Строгое решение требует рассмотрения нелинейной задачи. И здесь исследование становится очень сложным и трудным, так как приходится рассматривать нелицейную неавтономную систему дифференциальных уравнений в критическом случае. [c.149]

Данные таблицы 17.26 показывают сравнительно малое отличие значений частот первого спектра, найденных по приближенным формулам С. П. Тимошенко от точных значений. К тому же следует иметь в виду, что при определении этих частот по точным формулам возникают малые разности больших величин, в связи с чем приходится при вычислениях сохранять большое количество значащих цифр. Поэтому частоты первого спектра целесообразно находить по приближенным формулам. Что же касается частот второго спектра, то их можно находить, пользуясь лишь точными формулами. Практическая важность и этих частот (возникновение резонансов при совпадении с ними получившего практическую реализацию значения частоты вынуждающей силы) обнаружилась значительно позн е работы С. П. Тимошенко, в которой дано приближенное решение, вовсе не позволяющее находить частоты второго спектра. Обсужденный факт свидетельствует о необходимости весьма осторолгного подхода к упрощениям при исследовании динамического поведения систем. [c.216]

В настоящее время по теории сейсмостойкости сооружений наибольшее распространение получили два вида расчетных моделей сейсмического воздействия. Первая модель использует огибающие максимальных ординат спектров динамических реакций линейных осцилляторов. Вторая модель использует акселерограммы зарегистрированных землетрясений, осредненные спектральные характеристики которых приближенно отражают свойства инструментальных записей. Первая модель неприемлема в расчетах нелинейных, параметрических и нестационарных динамических систем. Вторую модель можно использовать при расчетах и исследованиях любых систем, но эта модель не отражает физически возможного разнообразия спектральных и других характеристик сейсмических колебаний грунта. [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...