ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщенные упругие потенциалы из "Методы математической теории упругости " Отметим ряд свойств потенциала V, которые просто аналогичны свойствам потенциала простого слоя. Потенциал (1.2) может быть определен непосредственно в точках поверхности (носителя слоя), причем его предельные (изнутри и извне) значения совпадают между собой и они равны прямому значению. Следовательно, обобщенный упругий потенциал простого слоя представляет собой вектор-функцию, непрерывную во всем пространстве. Отметим, что потенциал V(р) на бесконечности стремится к нулю как 1/Д. [c.547] Перестановки в (1.3) порядка дифференцирования и интегрирования законны во всех точках пространства, исключая поверхность 5, ввиду регулярности подынтегрального выражения. [c.548] Точка q есть точка поверхности S, в которой восстановленная нормаль попадает в точку р. [c.548] Отметим еще аналогию с гармоническим потенциалом простого СЛОЯ. Предельные значения оператора напряжений различны между собой и не совпадают с прямым значением. Соответствующие зависимости будут установлены далее. [c.549] Легко показать, что каждый из столбцов матрицы Г2(р, я) удовлетворяет уравнению Ламе по переменному р. Поэтому и произведение Гз р,д)(((д) (( д) — произвольный вектор) будет удовлетворять этим уравнениям во всем пространстве, исключая точку д. Построенный вектор можно трактовать как поле смещений, порождаемое во всем пространстве сосредоточенным моментом (р( ), приложенным в точке д в плоскости с нормалью V. Образуем теперь интеграл. [c.549] Поскольку формулы Бетти справедливы для случая областей, ограниченных несколькими поверхностями, то очевидно, что и полученные выше тождества также остаются справедливыми ). [c.551] Теперь вернемся к рассмотрению предельных свойств для смещений, порождаемых потенциалом двойного слоя, и напряжений, порождаемых потенциалом простого слоя. [c.551] Напомним, что именно через область Зе определялся двумерный сингулярный интеграл (см. 3 гл. I). [c.552] Здесь E —единичная матрица, О — нулевая матрица. [c.552] Пусть точка р стремится по какому-либо пути (изнутри или извне) к точке р. Первый интеграл в (1.20) является несобственным равномерно сходящимся интегралом, и поэтому очевидно, что он представляет собой непрерывную функцию (разумеется, при условии, что ф(р) принадлежит классу Г. — Л.). Поведение же второго интеграла уже изучено. [c.553] Установленные выше формулы, разумеется, и показывают, что существуют соответствующие предельные значения. [c.554] Покажем, что при определенных условиях на гладкость плотности этот потенциал удовлетворяет неоднородному уравнению Ламе при правой части, равной удвоенной плотности [234]. [c.554] Последний же интеграл в силу (6.32) гл. I равен удвоенной плотности ф(р) со знаком — . [c.555] Посредством этой матрицы строятся потенциалы простого слоя, двойного слоя и объемный потенциал. Эти потенциалы обладают практически теми же качественными свойствами, что и рассмотренные выше потенциалы в задачах статики. Условия же на бесконечности совпадают с условиями излучения (см. 1 ГЛ. III). [c.556] Остановимся на общих динамических задачах. Для их исследования можно построить обобщенные упругие потенциалы [192] (по типу запаздывающих потенциалов волнового уравнения ( 9 гл. I)) или же, воспользовавшись представлением смещений через четыре волновые функции (см. 5 гл. III), непосредственно исходить из самих волновых потенциалов [222]. [c.556] Принципиально иной подход осуществлен в работе [27]. Здесь выполняется преобразование Лапласа по времени и все построения осуществляются с трансформантами смещений. Получаемое для них дифференциальное уравнение можно трактовать как уравнение для амплитуд (см. 4 гл. II) с комплексной частотой. Поэтому построение решения для трансформанты оказывается возможным осуществлять посредством потенциалов, опирающихся на фундаментальное решение (1.33). [c.556] Вернуться к основной статье