Периодическое решение уравнения вынужденных колебаний

Периодическое решение уравнения вынужденных колебаний [c.538]

Это — уравнение того же типа, что и уравнение вынужденных колебаний, причем наличие в правой части члена Ц os 0 с частотой, равной частоте собственных колебаний, приведет, как это было показано в 96, к появлению в общем решении выражений, содержащих время 0 множителем при тригонометрической функции. Как уже ранее было указано, функция 2(0) является периодической функцией с периодом 2я следовательно, множитель х, должен быть равным нулю. Воспользовавшись этим, проинтегрируем последнее уравнение и получим периодическое выражение для г [c.507]

Приближенное решение уравнений вынужденных установившихся колебаний при действии произвольных периодических сил (или моментов), удовлетворяющих условиям [c.136]

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы, в случае малого сопротивления и периодической возмущающей силы, имеет следующий вид [c.50]

Общее решение дифференциального уравнения (11.2), т. е. дифференциального уравнения вынужденных колебаний без учета сопротивления (я = 0) в случае периодической возмущающей силы, получаем непосредственно из (13.4), и оно имеет вид [c.52]

S. Построение периодического решения системы дифференциальных уравнений вынужденных колебаний [c.185]

Линейное уравнение (157), представляющее собой грубое приближение к исходной нелинейной системе (156), далее используется для получения частного решения, соответствующего вынужденным колебаниям под действием периодической силы os(f+ v). [c.207]

Отыскание периодического решения дифференциального уравнения вынужденных колебаний осциллятора. [c.10]

Основной факт, устанавливаемый теоремой Пуанкаре, заключается в том, что возможные в квазилинейных системах при достаточно малом ц периодические движения располагаются вблизи периодических движений соответствующих линейных систем, в которые они обращаются при ц = 0. В связи с этим линейная система, получаемая из квазилинейной при ц = О, и ее периодические решения, вблизи которых возникают периодические решения квазилинейной, называются по отношению к последней порождающими. В применениях теоремы Пуанкаре приходится иметь дело с двумя видами порождающих систем и решений и соответственно с двумя методами построения периодических решений квазилинейных систем. Первый относится к случаю, когда порождающие уравнения являются уравнениями вынужденных колебаний с периодической правой частью, явно зависящей от времени, периодическое решение которых не содержит никаких произвольных параметров. Большей частью это порождающее решение будет единственным периодическим решением порождающей системы, вблизи которого расположится единственное периодическое решение квазилинейной системы, непрерывно переходящее в порождающее, когда ц 0. Так будет, например, в квазилинейной системе с уравнением [c.525]

Это уравнение при Р = 0 допускает только одно стационарное решение Х1 = 0, так как при этом исходная система должна находиться в покое. При РфО уравнение (3.6.3) можно рассматривать как уравнение, описывающее колебательную систему с вынужденными колебаниями и амплитудами порядка р и периодом 2л/р, взаимодействующими с собственными колебаниями вследствие нелинейности системы. Вопрос же о существовании стационарных собственных колебаний требует дополнительного исследования, так как в этом случае система, вообще говоря, претерпевает периодическое (с частотой, кратной р) изменение энергоемких параметров, что может при выполнении определенных частотных соот-нощений привести к эффектам параметрического вложения энергии. При этом предполагается, что амплитуда воздействующей силы Р не ограничена условием малости подобно силам сопротивления и силам, связанным с нелинейными свойствами системы, которые имеют порядок малости р. [c.120]

Рассмотрим сначала нерезонансный случай. Решение соответствую-ш его однородного уравнения (23.10.2) определяет свободные колебания. Однако они не представляют для нас интереса, поскольку в механической системе практически всегда имеется трение, и потому свободные колебания затухают. Частное решение, которое стремится к периодической функции с периодом 2п р, выражает вынужденное колебание. Вынужденное колебание малой амплитуды всегда суш ествует если же р п, то существуют два вынужденных колебания конечной амплитуды. [c.481]

Поскольку анализ вынужденных колебаний связан с отысканием периодического решения системы дифференциальных уравнений движения при заданном внешнем периодическом воздействии, необходимо перейти к такой новой системе переменных, для которой отыскание периодического решения имеет смысл. Можно предложить различные системы таких переменных, однако наиболее удобной для дальнейших построений является система, получаемая из (6.29) неособенным линейным преобразованием V [c.172]

Построение частного и периодического решений системы уравнений движения (12.30) осуществляется методами, разработанными в п. 8.1. Периодическое решение, характеризующее установившийся виброударный режим вынужденных колебаний, записывается аналогично (12.21) [c.313]

Во-первых, резонанс силового происхождения представляет собой вынужденные колебания устойчивой системы, которые, в частности, могут иметь место и при нулевых начальных условиях. Параметрический резонанс — это проявление неустойчивости равновесного состояния, в силу чего система при нулевых начальных условиях остается в положении равновесия и только неизбежные начальные возмущения приводят к раскачке. Так, для системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением второго порядка с периодическими коэффициентами, при параметрическом резонансе общее решение без учета диссипации имеет вид [c.245]

Может возникнуть вопрос, гарантирует ли соблюдение условия динамической устойчивости положения равновесия (5 > 8J устойчивость исследуемого режима вынужденных колебаний по отношению к малым возмущениям (устойчивость в малом ). На этот вопрос следует ответить положительно. Действительно, подставляя, например, в уравнение (6.50) сначала г/ = г/ +1 (О (где — периодическое решение, а g (i) — некоторое отклонение от него), а затем у° и вычитая второе уравнение из первого, получаем уравнение в вариациях [c.268]

Рассмотрим вкратце неосесимметричный однодисковый ротор (т. е. либо упругие свойства ротора неосесимметричны — некруглый вал, либо диск имеет два различных экваториальных массовых момента инерции). Исследование вынужденных колебаний такого ротора при вращении его на произвольных (т. е. неосесимметричных) упругих опорах, как уже отмечалось в гл. II, сводится к задаче исследования частного решения дифференциальных уравнений с переменными (периодическими) коэффициентами, и ввиду сложности этой задачи мы на ней не останавливаемся. [c.125]

В самом общем случае, когда нарушения осевой симметрии имеют место (точнее говоря, учитываются исследователем) как в конструкции самого ротора, так и в упругих свойствах его опор, изложенная выше элементарная теория о нахождении частного решения, соответствующего чисто вынужденным колебаниям от небаланса в виде суммы по собственным формам вообще неприменима, поскольку общая задача сводится к системе дифференциальных уравнений с переменными (периодическими) коэффициентами. [c.127]

Гидродинамические силы. При анализе динамики роторов, опирающихся на подшипники скольжения, необходимо решать совместную задачу теории колебаний и гидродинамики. Гидродинамическая сторона задачи сводится к решению ряда уравнений гидродинамической теории смазки при неустановившемся течении, окончательной целью решения которых, как правило, является определение так называемых статических и динамических характеристик. Статические характеристики определяют кривую стационарных положений цапфы, расход смазки, потери мощности на трение. Динамические характеристики (коэффициенты) определяют действующие на цапфу дополнительные силы, возникающие при малых перемещениях цапфы из стационарного положения. Знание этих коэффициентов позволяет решать задачи устойчивости и линейные задачи вынужденных колебаний при внешних периодических нагрузках, малых по сравнению со статической нагрузкой. [c.160]

Вынужденные колебания при действии произвольного периодического возбуждения. Применяют два способа получения частного решения уравнения (6.1.7) при обобщенной силе 0(/)=0(/+Тл), имеющей период изменения Т . [c.322]

Большое внимание автором уделено исследованию помпажа в распределенных системах, даны дифференциальные уравнения движения в системе и их решение. Рассмотрены устойчивость периодических движений, автоколебательные режимы, мягкий и жесткий режимы возбуждения, даны формулы для амплитуд и частот колебаний, сопоставлены результаты теоретических и экспериментальных исследований. Рассмотрены пути целенаправленного уменьшения интенсивности помпажа использованием автоматического регулирования выходного дросселя и направляющего аппарата, вынужденных колебаний, накладываемых на периодический перепуск воздуха, а также пассивные методы воздействия на помпаж. Приведена механическая модель системы, даны методы фазовой плоскости и аналитического исследования нелинейных систем. [c.4]

Автоколебания. Автоколебаниями называются изолированные, асимптотически устойчивые периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений. Отличие автоколебаний от вынужденных колебаний заключается в следующем. В системах с диссипативными силами поддержание периодических колебаний осуществляется посредством приложения периодических внешних сил. Это проявляется в том, что дифференциальные уравнения, описывающие такие системы, являются неавтономными, периодически зависящими от времени. [c.201]

Итак, каждое нз выражений для р н q содержит три периодических члена ) и не содержит постоянных членов. Периодические члены представляют собой вынужденные колебания, порождаемые членом с sin / в уравнениях (П1) п. 560, и два частных решения однородных уравнений. Эти выражения приближенно можно представить в следующей форме [c.426]

В общем виде точное интегрирование уравнения (3.93) представляет непреодолимые трудности. Однако нас будет интересовать построение приближенного периодического решения в ряде случаев в предположении периодичности возмущения. Предварительно заметим, что принцип суперпозиции. имеющий место в линейных системах, здесь теряет свою силу, так что отделять вынужденные колебания от собственных уже нельзя. Мы ограничимся изложением лишь небольшого числа методов решения, отсылая за подробностями к соответствующим монографиям (см., например, [ ). [c.162]

Для описания вынужденных колебаний параметров жидкости на участке тракта в гл. 2 использовалась матричная форма записи в виде уравнений четырехполюсников. Применительно к вынужденным колебаниям при неизотермическом движении газа также удобно использовать матричную форму записи. В частности, при простейших граничных условиях — открытых концах на входе и выходе линеаризованные уравнения гидромеханики (3.6.2) — (3.6.4) имеют следующие периодические решения [6, 7] [c.202]

Решение (2.42) при произвольных Жд и Vq не является периодическим. Однако в том случае, когда возмущающая сила f(t) — периодическая функция с известным периодом т, можно подобрать начальные значения ж(0) = лГд и (0) = == Uq так, что соответствующее этим начальным значениям решение уравнения (2.40) будет периодическим с тем же периодом т. Оно определит при таких условиях чисто вынужденные колебания системы. Пусть, например, [c.87]

В приложениях получение периодического частого решения уравнения (2.40), соответствующего чисто вынужденным колебаниям, является большей частью единственной целью расчета. Иногда такое решение легко построить с помощью условий периодичности, как в только что рассмотренном примере. В других случаях более удобным оказывается использование обратной теоремы об изображении периодических функций (с. 60), что дает возможность уже в изображении общего решения выделить изображение решения периодического и таким образом получить периодическое решение без предварительного составления общего решения. [c.88]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

Функция Ф("ав), как видно из уравнения (193), зависит от параметров системы синхронного привода с АРВ. По устойчивым периодическим решениям устанавливаем зависимости ав= = /i( o6nj) и ф=/2( общ), где йобщ = ТВУ fep —общий коэффици. ент усиления системы АРВ. По этим зависимостям определяем условия режима вынужденных колебаний в системе АРВ с требуемым фазовым сдвигом относительно периодически меняюще-гося противодействующего момента компрессора. Для получения требуемого фазового сдвига пульсирующего возбуждения двигателя в системе АРВ можно использовать дифференцирующие и интегрирующие корректирующие устройства. [c.93]

Здесь -кх - возвращающая сила, -кд - сила трения, ДО - внешняя сила. Естественным движением осциллятора являются колебания. Рассмотрим поэтому вынужденное движение при действии на осциллятор периодической силы /=/оС08а)г. Понятно, что вынужденные колебания должны происходить с частотой вынуждающей силы, которая в общем случае отлична от собственной частоты осциллятора сод, и решение уравнения движения (30) должно иметь вид [c.124]

Г Смещение при вынужденных колебаниях под дей-с ствием осесимметричной периодической силы F(r)expjai определяется решением уравнения [c.137]

Последующий анализ колебаний твердого тела, описываемых уравнениями (5), предполагает рассмотрение двух основных задач, каждая из которых может иметь самостоятельное значение. Первая задача состоит в определении условий возникновения так называемых пространственных нелинейных колебаний твердого тела [4]. Это такие связанные колебания изучаемой системы, которые возникают в условиях резонансов благодаря наличию нелинейных связей между обобщенными координатами данной системы В ряде случаев решение этой задачи сзоднтся к исследованию устойчивости некоторых резонансных вынужденных периодических или почти периодических режимов колебаний тел Вторая задача — это исследование релонансных характеристик пространственных колебаний твердого гела В математическом отношении вторая задача более трудна и сводится к построению указанных периодических или почти-пернодических решений, а также к изучению их устойчивости а областях неустойчивости равновесных состояний, или некоторых вынужденных режимов колебаний изучаемых систем. [c.267]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...