ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Периодическое решение уравнения вынужденных колебаний из "Курс теоретической механики. Т.2 " Полученное выражение определяет движение в интервале времени (О, х). Но, поскольку оно представляет собой периодическую функцию периода т, достаточно его знать только на протяжении этого периода имея график q t) для О т, можно повторить его в соседних интервалах (т, 2т), (2т, Зт) и т. д. [c.540] Для нахождения периодического решения дифференциального уравнения (3), имеющего период возмущающей силы Q 1), можно было бы, как указывалось в 97, разложить Q t) в трн-гонометрический ряд и получить решение q[t) также в форме тригонометрического ряда. Просуммировав этот ряд для интервала времени (О, т), мы пришли бы к решению (49). Способ построения периодического решения, излагаемый здесь, позволил избежать как нахождения разложения Q t), так и суммирования ряда для q(l). [c.540] Наличие в знаменателе выражения (57) множителя з1п(йт/2), обращающегося в нуль при kx == 2лз (s — целое число), указывает на возможность резонанса при равенстве частоты свободных колебаний целому кратному частоты возмущающей силы. Знаменатель выражения (58) обращается в нуль при кт — = (2s + 1)2л, т. е. при равенстве частоты свободных колебаний нечетному кратному частоты возмущающей силы это объясняется тем, что в разложении в тригонометрический ряд функции, меняющей знак через полупериод, гармоники четного порядка отсутствуют. [c.542] И имеющие период этой силы. Частота свободных колебаний системы равна А. Сопротивлением пренебрегаем. [c.542] Наличие множителя kt вне знака тригонометрической функции не служит признаком резонанса, так как полученное выражение имеет место лишь при т. е. множитель kt не превосходит я. [c.543] График q при со = й построен на рис. 444. Вычисления произведены для интервала (О, я/(о), и построенный график продолжен по свойству периодичности функции q t) в соседние интервалы. [c.543] Отметим, что q(l) и его производная являются непрерывными функциями t. [c.544] Пример 160. Математическому маятнику массы т н длиной I в моменты прохождения им равновесного положения сообщаются импульсы одинаковой величины /, направленные каждый раз в сторону движения маятника (схема часов со спусковым механизмом). Определить движение маятника в установившемся режиме. [c.544] Полученное решение соответствует периодическому, а отнюдь не затухающему движению, как это могло бы показаться по внешнему виду формул (62), так как эти формулы пригодны для нахождения движения только при Q t т/2 зная последнее, можно, как было указано выше, найти ф при любом значении t. [c.545] Если сообщить покоящемуся маятнику скорость и начальное отклонение, соответствующие точке, расположенной на замкнутой фазовой траектории, то при действии импульсов, прикладываемых при прохождении положения ф=0, сразу же возникает описанное автоколебательное движение. При всяких других начальных условиях фазовая траектория асимптотически приближается к построенной замкнутой траектории, навиваясь на нее изнутри или извне эта незамкнутая траектория состоит из бесчисленного множества отрезков спиралей, претерпевающих разрывы непрерывности (указанных выше величины и знака) при пересечении с осью ординат. [c.546] Вернуться к основной статье