Уравнения закона Гука (см. закон Гука)

Физические уравнения. Уравнения закона Гука (см. 4.2) остаются без изменения, меняются лишь индексы у напряжений и деформаций. Например, вместо (4.8) имеем [c.112]

Ошибка именно такого порядка возникает при выводе уравнений закона Гука для оболочки переменной толщины (см. уравнения (11.2) в книге [195], содержащие в себе такую погрешность в случае переменной толщины и служащие основой для уравнений (11.4), совпадающих с точностью до обозначений с приведенными уравнениями (5.2)). В этом можем убедиться [c.260]

Гармонические плоские волны в однородной линейно упругой среде не имеют дисперсии, так как многочлен, полученный в результате дифференцирования уравнения движения с учетом закона Гука, однородный (см., например, уравнение (2.12.1)). [c.141]

В итоге из уравнений (10.14) следуют линейные зависимости, которые в сочетании с равенством (10.13) дают закон Гука для трехосного напряженного состояния [см. (2.37)]. [c.300]

Рассмотрим теперь перемещения (см. 86). Из закона Гука, используя уравнения (3) и (6), находим [c.289]

Обозначая константу для данного металла [Ахт т— —через модуль упругости Е, получим, что связь между напряжениями и деформациями для идеальных кристаллов нелинейная (см. табл. 2) и отклонение от упругого закона Гука а=Ег [первый член уравнения (8)] незначительно только для малых деформаций. [c.19]

Во многих задачах, особенно если на границе тела заданы перемещения, удобно в качестве основных уравнений брать уравнения теории упругости в перемещениях — уравнения Ламе (см. гл. IV т. 1). Уравнения Ламе получаются, как известно, из общих уравнений количества движения с использованием закона Гука и формул (1.1), выражающих компоненты тензора деформаций через перемещения (при условии, что относительные смещения малы, а входящие в закон Гука, могут быть выражены через перемещения). [c.342]

СЛОИСТОГО тела. Эти определяющие уравнения играют такую же роль, какую играет обобщенный закон Гука для однородных упругих тел. Считая слои однородными, можно показать (см. гл. 2), что эта процедура является точной в том случае, когда силы н моменты, отнесенные к единице длины, а также внешние нагрузки, действующие на плоскостях 2 = /г/2, постоянны. Это условие аналогично требованию однородности макроскопических напряжений при определении точных эффективных модулей слоя. [c.18]

На основании уравнений равновесия и совместности деформаций, а также закона Гука для двухосного напряженного состояния может быть получено дифференциальное уравнение круглой пластинки в области малых перемещений см. гл. 2 [4] [c.238]

Как и в разд. 4.3, рассмотрим общий случай, когда на поверхностях пластины приложены поверхностные усилия q , qf, (см. рис. 4.4). Граничные условия на.этих поверхностях будут иметь вид (4.12). Будем точно выполнять уравнения равновесия трехмерного тела (4.1), а закон распределения перемещений по толщине пластины определим путем интегрирования соотношений закона Гука (4.17). В теории Э. Рейсснера эти соотношения выполняются в интегральном по толщине пластины смысле. Как и в теории [c.192]

В главе последовательно выводятся все уравнения линейной теории упругих тонких оболочек на основе единого подхода, свя-ванного с пренебрежением слагаемыми порядка A/J o по сравнению с единицей, что соответствует (как было установлено в работах 1122,123]) погрешности исходных допущений — гипотез Кирхгофа (см. введение, допущения kw kk). При этом замечено, что геометрическое допущение (k) нуждается в некотором уточнении, а именно следует пренебрегать сдвигами е , не вообще (что в соответствии с законом Гука привело бы к пренебрежению перерезывающими силами Гщ, Tgn), а лишь при вычислении деформаций параллельной поверхности. [c.15]

В следующих двух разделах эти уравнения будут использованы для определения прогибов балок. Процедура определения включает в себя последовательное интегрирование уравнений, причем получающиеся при этом постоянные интегрирования находятся из граничных условий для балки. При выводе этих уравнений можно видеть, что они справедливы только в том случае, когда материал подчиняется закону Гука и когда углы наклонов линии прогибов балки очень малы. Кроме того, следует иметь в виду, что уравнения были выведены из рассмотрения только деформаций, обусловленных чистым изгибом, без учета деформаций сдвига. Эти ограничения вполне приемлемы для большинства практических случаев, хотя иногда оказывается необходимым рассмотреть дополнительные прогибы, обусловленные влиянием сдвига (см. разд. 6Л1 и 11.4). [c.212]

На языке предыдущих параграфов содержание определений (11.6) и (11.7) можно изложить так. Рассматривается изотропная и однородная (по отношению к упругим свойствам) среда с постоянными Ламе А, и ы. Плотность масс этой среды, обозначаемая через р, предполагается постоянной. Предполагается также положительная определенность удельной энергии деформации (см. (6.19)). Компоненты напряжений считаются непрерывно дифференцируемыми как по декартовым координатам точки среды, так и по времени, а компоненты смещений — дважды непрерывно дифференцируемыми по тем же переменным (предположение I из 11.7). Предполагаются также применимыми уравнения движения (4.3) (предположение II из 11.7) и закон Гука (5.15) (предположение III из 11.7). [c.43]

Некоторые вопросы моментной теории упругости уже были рассмотрены в предыдущих главах. В первой главе выведены основные уравнения движения в компонентах напряжения (см. (I, 4.3), (I, 4.6)), закон Гука (см. (I, 7.16), (I. 7.16 ) или (I, 7.21), (1, 7.21 )), выражения для энергии деформации (см. (I, 7.19)) и вытекающие из положительности этих выражений условия для упругих коэффициентов (I, 7.20). [c.346]

В случае простой двухатомной молекулы А — В имеет место единственный вид колебаний — периодическое растяжение и сжатие по связи А— В. Эти валентные колебания напоминают осцилляцию двух тел, связанных пружиной, и совершенно аналогично выражаются математически при помощи закона Гука, который в первом приближении вполне приемлем. Для валентного колебания по связи А — В колебательная частота V см. ) находится из уравнения (1) [c.13]

Применяя закон Гука [см. уравнение (11)], выражаем усилия в стержнях через удлинения [c.43]

Механический фильтр (см. п. 3.4). Весьма чувствительный прибор находится на полу, совершающем вертикальные колебания с частотой около 20 гц. Вы хотите ослабить эти колебания в 100 раз и поэтому кладете прибор на подушку . Как низко опустится вершина подушки , когда вы положите на нее прибор (Указание. См. пример, следующий за уравнением (58), п. 3.4. Подушку можно аппроксимировать идеальной, т. е. подчиняющейся закону Гука, пружиной.) [c.144]

Направляя ось z нормально к плоскостям слоев, которые в первом приближении рассматриваются как плоскости изотропии, имеем для этого материала уравнения обобщенного закона Гука (4.9). Экспериментальным путем найдены следующие значения модулей Юнга и сдвига и коэффициентов Пуассона (см. [65]) [c.57]

Считая процесс распространения волн адиабатическим, что для большинства твердых тел справедливо до частот 10 —Ю Гц, добавим к (2.1) линеаризованное уравнение состояния (закон Гука, см. (1.11)). После подстановки (1.11) в (2.1) нетрудно получить следующее уравнение [c.194]

Принимается, что закон Гука в форме (2.1.1) представляет собой не линеаризованное, а точное соотношение, причем используемые при его формулировке переменные - напряжения, перемещения и координаты - можно полагать либо лагранжевыми, либо эйлеровыми (см. 3.1). Тем самым вводятся две различные механические системы, отличия между которыми проявляются в области, где существенна геометрическая нелинейность. В том же параграфе показано, что решения задач из гл. 2 для трещин, берега которых свободны от внешних нагрузок, отвечают лагранжевой интерпретации и соответствуют определяемой ею модели упругого тела. Модель эта характеризуется взаимно однозначной связью между напряжениями - тензором Пиолы-Кирхгофа и градиентом перемещения. Последний определяет потенциальную энергию системы. Однако данная модель не отвечает никакому реальному уравнению состояния. Достаточно сказать, что напряжения (ограниченные) возникают здесь и при повороте тела в целом. Для модели, соответствующей эйлеровой интерпретации, кроме того, энергия деформации непотенциальна. [c.68]

Линейные уравнения равновесия (2.1.2) можно сохранить как точные соотношения, если полагать переменные лагранжевыми и в качестве компонентов напряжений включая заданные в граничных условиях, принять компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа (см. 3.1). Кроме уравнений равновесия, в линейную теорию входит закон Гука (2.1.1), (1.13), который теперь устанавливает линейную связь между указанными компонентами и градиентом перемещений (в лагранжевых переменных). При этом напряжения возникают не только вследствие деформации, но и при повороте тела в целом, однако в остальном соответствующая механическая система внутренне непротиворечива и обладает потенциальной энергией, выражающейся при произвольных значениях компонент градиента перемещений формулой (1.12). [c.79]

Энергия деформации, накопленная в элементе, испытывающем чистый сдвиг (рис. 268), может быть вычислена по методу, примененному в случае простого растяжения. Если нижнюю грань аЛ элемента принять закрепленной, то необходимо рассмотреть лишь работу, произведенную силой Р при деформации верхней грани Ьс. Полагая, что материал следует закону Гука, находим, что относительный сдвиг пропорционален касательному напряжению и диаграмма, изображающая эту зависимость, аналогична диаграмме, показанной на рис. 262. Тогда работа, произведенная силой Р и накопленная в фюрме энергии упругой деформации, будет равняться (см. уравнение 170, стр. 255) [c.264]

Иедостающее уравнение получим из геометрических соображений, выражая отрезок DD (см. рисунок) из треугольников DD D и DD D Ядо/sin 2а = = Лдо/sina после замены удлинений по закону Гука /V o/ o/( f) 4д sin 2а = = V/ o 8D/( f)flD sin а. Решение системы уравнений дает [c.257]

Наиболее очевидный путь заключается в линеаризации исходных уравнений, которая в настоящее время идет по двум направлениям. Первое является физической линеаризацией, лежащей в основе обобщенного закона Гука, что приводит к физически линейным и геометрически нелинейным задачам, подробно рассмотренным в монографии В. В. Новожилова 103]. Второе направление заключается в геометрической линеаризации, обоснование которой дано в книге Г. Каудерера [43] (см. также [198]). [c.11]

Соотношения обобщенного закона Гука (4.23), (4.24) и (4.29) будут те же, что и в варианте Э. Рейсснера, если учесть поверхно- -стные усилия дР и д и, следовательно, мембранные усилия Т , Ту, Тху. Обычно приводятся уравнения варианта теории Э. Рейсснера, в которых не учитываются мембранные усилия (см., например, С. П. Тимошенко [30]), и, следовательно, отсутствуют соотношения (4.23), а. в соотношениях типа (4.24) и (4.29) отсутствуют слагаемые с гпх и гПу. Смысл усредненных перемещений w и углов поворота фж. Фи остается тем же. [c.197]

Пусть состоянию максимального нагружения, за которым последовала разгрузка, соответствуют внещние силы (X, У, Z), (Х , Z ), компоненты напряжения о ,. .., и компоненты деформации Ё.о > Ухг- При разгрузке тело подчиняется закону Гука ( 12) пусть разгрузка заканчивается обращением в нуль всех внешних сил, при этом тело получает остаточные напряжения о",. .., и остаточные деформации s ,. .., Считая деформации малыми, представим себе разгрузку, как приложение сил (— X, — V, —Z), (—Х , —К , —Z ). Мы можем, не обращая внимания на исходное распределение напряжений и деформаций ёл . . Тлгг> найти согласно уравнениям теории упругости напряжения oj,. .., и деформации е, . .., у г> отвечающие этим мысленно приложенным силам. В самом деле, напряжения 5 ,... и деформации s ,. .., можно рассматривать как некоторые начальные.напряжения и деформации тела известно, что при упругом деформировании наличие начальных напряжений и деформаций не отражается на величинах напряжений и деформаций, вызываемых внешними силами (см., например, [ ], 95). Благодаря возможности наложения остаточные напряжения и деформации равны [c.62]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

Проверим справедливость этого утверждения. Прежде всего подчеркнем, что согласно изложенному выше соотношение (6.7) должно быть следствием — см. (6.8)—(6.9) — линеаризованного уравнения неразрывности твердой фазы и обобщенного закона Гука (5.VII). Действительно, характер изменений пористости в рассматриваемой модели является следствием, а не исходным предположением в этом ее кардинальное отличие от упрощенных теорий мехаЕШКи грунтов и упругого режима фильтрации. Поэтому обсуждаемое здесь утверждение по существу сводится к следующему соотношение (6.10) заменяет обобщенный закон Гука (5.VIII) только в этом сл> чае соотношение (6.7) будет эквивалентно недостающему в системе Я. И. Френкеля уравнению (5.III) или (6.11). [c.54]

При условии (4.52) компопенты наиряжеппо-деформированного состояния не зависят от координаты Ж2, а перемещение П2 = 0. Таким образом, мы имеем плоское деформированное состояние (см. 5.1). Замкнутая система уравнений включает в себя уравнения Ламе, соотногцения Коши и закон Гука. Краевую задачу здесь также замыкает условие ограниченности компонентов напряженно-деформированного состояния на бесконечности. [c.89]

Уравнения равновесия в зависимости от перемещений. До сих пор иы пользовались днффереициальнымн уравиеинями равновесия, выраженными в зависимости от напряжений. При помощи закона Гука (см. выражения [11], стр. 23), эти же уравнения можно выразить в функциях от перемещений. При плоской деформации имеем [c.183]

Отклонения от закона Гука определяются подчеркнутыми членами. Внесем эти соотношения в дифференциальные уравнения равновесия [см. (12) гл. 1] и граничные условия (32), причем слагаемые, возникающие из-за наличия подчеркнутых членов, перенесем в правые части уравнений и условимся считать их известными. Тогда мы как бы получим систему уравнений теории упругости относительно компЬнентов смещения, но с дополнительными объемными и поверхностными силами. В первом приближении полагаем эти дополнительные нагрузки равными нулю [c.74]

При использовании электрических цепей исследуемая область заменяется ступенчатым телом, состоящим из прямоугольных блоков (см. рис. 66). В методе конечных элементов осесимметричное цилиндрическое тело представляется системой кольцевых элементов, чаще всего с треугольным поперечным сечением (рис. 68, а). Считается, что все элементы связаны между собой шарнирно в их узловых точках и в пределах каждого элемента напряжения и температуры постоянны. Поверхностные и объемные силы, действующие на элементы и их стороны, заменяются силами, сосредоточенными в узлах. Под действием сил, приложенных к кольцейому элементу, узловые точки перемещаются (рис. 68, б) перемещения их изменяются линейно от нагрузок, т. е. по закону Гука, как для упругой задачи. Для каждого узла в отличие от электрических цепей составляются два алгебраических уравнения одно для перемещения узла по оси г, а другое— по оси г. [c.131]

Решение. В качестве указанного в условии элемента рассмотрим однородный упругий стержень с сечением I ем и длиной I. Абсолютную и относительную его деформации обозначим Д1 и и = Л1/1 (рис. 71). Экспериментальный закон Гука (R. Нооке, 1660) связывает прямой пропорционадьной зависимостью натяжение р (сила, растягивающая стержень сечения 1 см на величину Д1) и деформацию Д . В форме, приданной ему Юнгом (Т. Young, 1807), он записывается как р = Ей, где Е = Е(в) — модуль Юнга, и представляет собой термодинамическое уравнение состояния. Так как р — внешняя сила, то работа самого стержня при его удлинении на <й равна [c.156]

См задачу 1.5. Здесь 02 = О, а = - р и Ё1=0при неизвестных О], 2 и Е3. Используя уравнения обобщенного закона Гука, получаем О) = ЦО3 = -цр. Изменение размеров а и А определим через [c.8]

Перемещение dld наз. абсолютным С. грани d относительно грани ad, угол у наз. углом С., а — относительным С. Ввиду малости у можно считать tgY=Y. Если по граням параллелепипеда действуют только касат. напряжения т, С. наз. чистым. В пределах упругости для изотропного материала относит. С. связан с т Гука законом х=6у, где С — модуль С. для данного материала (см. Модули упругости). На практике С. часто сопутствует растяжению и сжатию, когда одновременно с нормальными возникают и касат. напряжения. СДВИГ Уровней, небольшое отклонение тонкой структуры уровней энергии атома водорода и водородоподобных атомов от предсказаний релятив. квант, механики, основанных на Дирака уравнении. Согласно точному решению этого ур-ния, ат. уровни энергии двукратно вырождены энергии состояний с одинаковым гл. квант, числом и=1, 2, 3,. .. и одинаковым числом полного момента /= = /г> /г должны совпадать независимо от двух возмояшых значений орбит, квант, числа г= 1/2-Однако в 1947 амер. учёные У. Лэмб [c.673]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...