Принцип наименьшего действия Якоб

Отметим, что в интеграле (3) полностью исключено время, и принцип (4) содержит только геометрические элементы. В такой форме принцип Мопертюи-Лагранжа впервые был представлен Якоби. Поэтому приведенную выше формулировку принципа Мопертюи-Лагранжа часто называют принципом наименьшего действия Якоби. [c.484]

Действие Мопертюи. Двухточечная характеристическая функция для изоэнергетической системы. Однородный лагранжиан. Принцип наименьшего действия Якоби. Определим действие Мопертюи ) в изоэнергетической динамике в пространстве Q следующим [c.275]

Это уравнение известно как принцип наименьшего действия Якоби ). [c.278]

Формулировка принципа. — Принцип наименьшего действия, впервые точно сформулированный Якоби, аналогичен принципу Гамильтона, но менее общ и более труден для доказательства. Этот принцип применим только к тому случаю, когда связи и силовая функция не зависят от времени и когда, следовательно, существует интеграл живой силы. [c.225]

Таков принцип наименьшего действия в той форме, которую ему дал Лагранж. Якоби значительно уточнил этот принцип, показав, что он приводит к дифференциальным уравнениям траекторий и позволяет определить их независимо от времени, в течение которого они описываются (п°431 и 432). [c.322]

Углубленный курс классической механики долгое время считался обязательной частью учебных планов по физике. Однако в настоящее время целесообразность такого курса может показаться сомнительной, так как студентам старших курсов или аспирантам он не дает новых физических понятий, не вводит их непосредственно в современные физические исследования и не оказывает им заметной помощи при решении тех практических задач механики, с которыми им приходится встречаться в лабораторной практике. Но, несмотря на это, классическая механика все же остается неотъемлемой частью физического образования. При подготовке студентов, изучающих современную физику, она играет двоякую роль. Во-первых, в углубленном изложении она может быть использована при переходе к различным областям современной физики. Примером могут служить переменные действие— угол, нужные при построении старой квантовой механики, а также уравнение Гамильтона — Якоби и принцип наименьшего действия, обеспечивающие переход к волновой механике, или скобки Пуассона и канонические преобразования, которые весьма ценны при переходе к новейшей квантовой механике. Во-вторых, классическая механика позволяет студенту, не выходя за пределы понятий классической физики, изучить многие математические методы, необходимые в квантовой механике. [c.7]

Полученное равенство имеет такую же форму, как равенство (7.40), относящееся к одной материальной точке. Принцип, выражаемый уравнением (7.44), часто называют принципом наименьшего действия в форме Якоби. [c.258]

Число подобных вариационных принципов классической механики весьма велико. Так, например, из принципа наименьшего действия непосредственно вытекает принцип Герца наименьшей кривизны. Согласно этому принципу точка, на которую не действуют активные силы, движется вдоль траектории наименьшей кривизны, что можно получить непосредственно из принципа Якоби, так как согласно этому принципу траекторией такой точки должна быть геодезическая линия, являющаяся, как известно, линией наименьшей кривизны. [c.260]

В своих знаменитых Лекциях по динамике , читанных в 1842 г. в Кенигсберге , Якоби обосновал необходимость полного исключения времени t из выражения принципа наименьшего действия. Это возможно потому, что [c.276]

Несмотря на то, что имеется целый ряд вариационных принципов, связанных с именами Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона, все эти принципы взаимосвязаны, и к ним ко всем подходит название принцип наименьшего действия , если понимать этот термин в широком смысле слова. [c.136]

Время как циклическая переменная принцип Якоби принцип наименьшего действия. Рассмотрим склерономную или консервативную систему с функцией Лагранжа, не зависящей явно от времени. Представим себе, что мы не используем время t как независимую переменную и что все п + 1 переменных q , и заданы как функции некото- [c.159]

Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия , указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [c.163]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

А это ие что иное, как принцип Якоби (см. гл. V, п. 6), который снова оказался эквивалентным принципу наименьшего действия. Параллелизм между механическими и оптическими явлениями можно усмотреть уже из сравнения принципа Якоби с принципом Ферма, Принцип Якоби допускает оптическую интерпретацию, если консервативной механической системе поставить в соответствие оптическую среду с коэффициентом преломления, меняющимся пропорционально Ye— V. Эта аналогия может быть использована обеими науками. С одной стороны, канонические уравнения Гамиль-тона становятся применимыми в оптических задачах. С другой стороны, из оптики в область механики могут быть перенесены методы построения волновых фронтов Гюйгенса, [c.311]

Якоби дал также новую формулировку принципа наименьшего действия для случая независимости от времени, который рассматривали Эйлер и Лагранж. Он критиковал их формулировку на том основании, что область интегрирования у них не удовлетворяет условию варьирования при фиксированных граничных значениях. Хотя в действительности Эйлер и Лагранж применяли свой принцип вполне корректно, исключение времени из вариационного интеграла, произведенное Якоби, привело к новому принципу, определяющему траекторию движущейся точки без всякого указания на то, как движение происходит во времени. Сходство этого принципа с принципом Ферма о наименьшем времени распространения света, из которого может быть определена траектория светового луча, непосредственно устанавливало аналогию между оптическими и механическими явлениями. [c.392]

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ В ФОРМЕ ЯКОБИ 547 [c.547]

Принцип наименьшего действия в форме Якоби. Трудности, связанные с ограничением, накладываемым на вариации в принципе наименьшего действия, иллюстрированные выше, заставили искать новую форму принципа, свободную от упомянутого ограничения. Оказалось, что такая форма принципа получается достаточно просто. [c.547]

Принцип наименьшего действия в форме Якоби показывает, что в случае натуральной системы функция [c.549]

Теорема Уиттекера ). Интересно попытаться дать элементарный вывод принципа наименьшего действия в форме Якоби для простого случая плоского движения частицы в поле консервативных сил. Рассмотрим в плоскости дугу С. Обозначим через s длину этой дуги между начальной точкой А и текущей точкой Р, а через 0 — наклон внешней нормали в точке Р к оси Ох. Будем предполагать, что вдоль кривой С угол 0 все время возрастает вместе с s и является дифференцируемой функцией от s. В частности, если кривая замкнута, то она выпуклая. [c.550]

Используем сначала эту формулу для вывода принципа наименьшего действия в форме Якоби в одном частном случае. Предположим, что дуга кривой С между точками А и В является частью траектории, и положим вариацию 8р = 8р (s) в точках А и В равной нулю. Обозначая скорость частицы через v, можем написать [c.551]

Пространство конфигураций. Как мы видели в 27.3, принцип наименьшего действия в форме Якоби позволяет свести задачу об определении траектории частицы, движущейся в силовом поле, к простой вариационной задаче. Действительная траектория частицы доставляет минимальное [c.553]

Принцип наименьшего действия в форме Якоби (27.3.2) для общего случая динамической системы принимает следующий вид [c.555]

Таким образом, оказывается возможным применить принцип наименьшего действия к динамике системы. Действительно, пользуясь принципом наименьшего действия, Лагранж в своем мемуаре аналитически решает ряд проблем динамики. Это дало повод Якоби заметить, что лагранжев принцип наименьшего действия есть мать всей нашей аналитической механики. [c.797]

Зато Якоби не только развил теорию интегрирования дифференциальных уравнений динамики, но и нашел такую форму выражения для принципа наименьшего действия, в которой его глубокая связь с геометрией обобщенного пространства делается особенно прозрачной. [c.825]

Якоби указывает, что случай, когда одновременно имеют место закон живых сил и принцип наименьшего действия, очень важен <(Гамильтон заметил, что в этом случае задача может быть сведена к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаются все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением, Гамильтон называет характеристической. [c.826]

В той форме, которую придал Якоби принципу наименьшего действия, связь его с законом живых сил видна еще более резко, чем у Лагранжа.. В оценке принципа в той форме, в которой время исключено, а именно [c.828]

Якоби также во многом очень близок Лагранжу. Он говорит, что трудно найти метафизическую причину для принципа наименьшего действия, когда он, как это необходимо, выражен в этой истинной форме (46) ). [c.828]

Значение принципа наименьшего действия, по мнению Якоби, состоит, во-первых, в той форме, которую он придает дифференциальным уравнениям движения, во-вторых, в том, что он дает функцию, которая обращается в минимум, когда удовлетворяются эти дифференциальные уравнения. Хотя такой минимум существует во всех задачах, но, как правило, неизвестно, где его искать. Поэтому в то время, как самое интересное в этом принципе то, что вообще можно получить минимум, раньше придавали преувеличенное значение тому, что такой минимум существует ). [c.828]

Якоби указывает далее, что принципу наименьшего действия должно быть поставлено еще одно важное ограничение. Оно состоит в том, что минимум имеет место не между двумя любыми положениями системы, но только в тех случаях, когда конечное и начальное положения достаточно близки друг другу. [c.828]

Что же касается механического значения принципа наименьшего действия, то оно, по мнению Якоби, состоит в том, что в нем заключаются основные уравнения динамики в том случае, когда имеет место принцип живой силы. [c.828]

Переходя к принципу Гамильтона, Якоби отмечает, что из него можно получить уравнения движения более простым способом, чем из принципа наименьшего действия. Кроме того, этот принцип более общий, чем принцип наименьшего действия, поскольку входящая в него силовая функция может содержать в явном виде также и время t. В формулировке же, данной Якоби принципу наименьшего действия, время исключено с помощью [c.828]

Форма, которую придал Якоби принципу наименьшего действия, выражает собою тот факт, что траектория консервативной, склерономной, голо-номной системы является геодезической линией в многообразии конфигураций с линейным элементом действия. Уравнения движения будут иметь, следовательно, вид [c.841]

Внутренний синтез аналитических аспектов динамики и геометризации в л-мерных пространствах, отражая глубокое родство выражения количественных связей материального мира в анализе и геометрии, привел к такой геометризации механики , которая в какой-то степени подготовила аналогичные, но гораздо более фундаментальные идеи теории относительности. Геометризация принципа наименьшего действия в форме Якоби д ]/2(U + h) 2. Щ ds] = О, определяющего траектории с одной и той же [c.841]

Приложить принцип наименьшего действия к движению планет и разрешить для этого движения вопросы, аналогичные предыдущим (4, 5 и 6). (См. Якоби, Vorlesungen uber Dynamik ), лекция 6.) [c.464]

Следует подчеркнуть, что в принципе наименьшего действия в форме Якоби рассматривается траектория изображающей точки, а не закон ее движения по этой траектории. Это видно из того, что уравнение (7.44) содержит элемент траектории dp и не содержит времени /, так как Н = onst, а V зависит только от Qi. Поэтому из принципа наименьшего действия в форме Якоби можно получить дифференциальные уравнения траектории изображающей точки. Это лучше всего сделать посредством введения какого-либо параметра, например расстояния вдоль траектории. Тогда уравнение (7.44) можно будет записать в виде [c.259]

Резюме. Механические траектории консервативных систем могут быть получены из частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби с помощью построения ортогональных траекторий к поверхностям S = onst. Это построение аналогично построению волнового фронта и световых лучей в геометрической оптике. Поверхности равного времени в оптике соответствуют поверхностям равного действия в механике, а принцип наименьшего времени Ферма — принципу наименьшего действия или принципу Якоби. И оптические и механические явления могут быть описаны как с помощью волн, так и с помощью частиц. При описании с помощью волн мы оперируем с бесконечным семейством поверхностей, которое определяется уравнением в частных производных Гамильтона. При описании же с помощью частиц мы оперируем с ортогональными траекториями к этим поверхностям, и они определяются принципами. Ферма и Якоби. Аналогия распространяется только на траектории механических частиц, не касаясь того, как движение происходит во времени. Кроме того, ири этой аналогии среди всех возможных механических траекторий выделяются те, по которым движение начинается перпендикулярно к заданной поверхности. [c.314]

Ж. Лагранж первый ясно сформулировал принцип наименьшего действия (1760 г.). Среди всех движений, которые приводят систему материальных точек при постоянной полной энергии из определенного исходного положения в определенное конечное положение, действительное движение производит минимальное действие. Следовательно, возможные движения должны удовлетворять принципу сохранения энергии, зато они могут происходить в любое время. В соответствии с этой формулировкой путь одной материальной точки без приложенной движущей силы таков, что она с постоянной скоростью и в кратчайщее время достигнет цели. В качестве кривой пути получается линия кратчайшей длины, т. е. для свободной точки — прямая линия. К. Якоби и У. Гамильтон показали впоследствии, что принцип допускает и совершенно иные формулировки. Особую важность для будущего представляла формулировка, которую предложил Гамильтон. В ней сравниваемые возможные движения не должны обладать постоянной полной энергией, а вместо этого все должны протекать в одно и то же время. Но в таком случае действие, которое для действительного движения принимает минимальное значение, надо выражать не интегралом по времени от кинетической энергии, данным Мопертюи, а интегралом по времени от разности между кинетической и потенциальной энергиями. В применении к указанному выше примеру материальной точки, движущейся без воздействия движущих сил, принцип из всех возможных кривых дает в качестве траектории ту, на которой точка в определенное время с наименьшей скоростью достигает своей цели, следовательно, опять-таки наикратчайшую линию. [c.585]

Д Аламбер, конечно, не мог остаться в стороне от этой дискуссии ни как механик, ни как философ. Действительно, в Энциклопедии, редактором которой он был вместе с Дидро, Д Аламбер в ряде статей, посвященных различным вопросам, с большей или меньшей подробностью рассматривает вопрос о принципе наименьшего действия. С плохо скрытой иронией он отводит претензии Мопертюи на открытие универсального закона, являющегося якобы непосредственным выражением могущества бога. Что же касается чисто механического значения принципа, то он указывает прежде всего, следуя Эйлеру, на его глубокую связь с принципом живых сил и на возможность его применения для решения отдельных частных задач механики. Д Аламбер вполне в духе своих взглядов на механику в целом отмечает, что можно найти различные математические выражения для одних и тех же явлений и что отыскивать в этих выражениях какой-либо иной смысл, кроме того, который заключен в их математической форме, — задача ненужная и даже вредная. По сравнению с принципом причинности, который отразился в механике Ньютона и самого Д Аламбера, говорит он, попытки телеологически обосновать науку на принципе наименьшего действия производят впечатление чахлого дерева. Все эти глубокие замечания Д Аламбера сопровождаются весьма вежливыми и явно внешними для сущестйЬ разбираемых вопросов упоминаниями о всемогущем творце и т. п. [c.786]

Лагранж в Аналитической Механике рассматривает именно эту узкую форму принципа наименьщего действия. Однако указание на более широкую форму принципа содержится в его ранней работе ), где в № 13 прямо указывается на то, что полученное Лагранжем в № 8 этой статьи соотношение, тождественное с уравнением (55), применимо в случае произвольных сил. Большинство ученых, разрабатывавших этот вопрос после Лагранжа, взяли у него как раз узкую форму принципа (в том числе Гамильтон и Якоби). Лишь Гельмгольц ) рассмотрел расширенную форму принципа. Однако Гельмгольц не счел нужным проводить отчетливое различие между принципом наименьшего действия в расширенной форме и принципом Гамильтона. Он основывался при этом на том безусловно верном положении, что оба эти принципа эквивалентны уравнению Д Аламбера и в силу этого являются следствиями один другого. Тем не менее, это не дает права отождествлять их, так как варьирование, применяемое в каждом из этих принципов, производится совершенно различным способом. Оба эти принципа [c.837]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...