Действие по Мопертюи

В рассматриваемом случае функция Я не зависит явно от времени. Поэтому справедлив принцип Якоби (следствие 8.12.3). Вычислим действие по Мопертюи для фазовой кривой, соответствующей постоянной энергии О- [c.690]

Вариация функции ( координаты, интеграла, кинетической энергии, переменной, гамильтонова действия, действия по Мопертюи...). [c.11]

Полная вариация и дифференцирование свойством коммутативности не обладают. 2. Для действительного движения консервативной системы вариация действия по Мопертюи равна нулю. [c.11]

Действие по Мопертюи тогда будет [c.500]

Действие по Мопертюи тогда примет вид [c.500]

Посмотрим, что произойдет с действием по Мопертюи. [c.501]

Пусть Л есть постоянная живых сил действие по Мопертюи примет вид [c.501]

Кинетический потенциал частицы и её собственного поля. На основе аналога действия по Мопертюи и аналога действия по Гамильтону получено элементарное действие для релятивистской частицы. Построено элементарное действие системы частица — собственное поле ( внешняя субстанция , эфир , физический вакуум ). [c.259]

А. Аналог действия по Мопертюи для частицы. [c.259]

В ньютоновской динамике элементарное действие по Мопертюи представляет собой произведение импульса материальной точки на элементарное перемещение (см. (3.1)). [c.259]

С учётом (12), (13) составляем аналог действия по Мопертюи для релятивистской частицы [c.260]

Завершается мемуар выдержкой из работы Эйлера, проясняющей разницу между действием по Лейбницу и действием по Мопертюи, а значит, и между их принципами. Эйлер показывает, что принцип [c.233]

В этом случае строгое решение задачи, основанное на волновой теории, практически не отличается от решения, найденного методом геометрической (лучевой) оптики. Установив, как зависит показатель преломления от свойств среды, т. е. от силовых полей, в которых движется электрон, мы можем рассчитать его движение по правилам геометрической оптики. С другой стороны, можно рассчитать движение электрона по обычным законам механики, зная силы, действующие на электрон. На возможность рассмотрения механической задачи с оптической точки зрения указывалось уже давно. Более 100 лет назад Гамильтон (около 1830 г.) показал, что уравнениям механики можно придать вид, вполне аналогичный уравнениям геометрической оптики. Первые можно представить в виде соотношения, выражающего принцип наименьшего действия (принцип Мопертюи, из которого можно получить уравнения ньютоновой механики), а вторые — в виде соотношения, выражающего принцип наименьшего оптического пути (принцип Ферма, из которого следуют законы геометрической оптики, см. 69). Оба эти принципа имеют вполне тождественное выражение, если подходящим образом ввести понятие показателя преломления. Блестящим результатом современной теории является то обстоятельство, что устанавливаемый ею показатель преломления связан с параметрами, характеризующими силовые поля, в которых движется частица, именно так, как требуется для отождествления принципа [c.358]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

Равенство (4) выражает принцип Мопертюи-Лагранжа, заключающийся в том, что среди всех кинематически возможных путей, удовлетворяющих условиям, описанным в предыдущем пункте, прямой путь выделяется тем, что для него действие по Лагранжу имеет стационарное значение. [c.484]

И, словно отвечая Эйлеру, Лагранж в своей Аналитической механике говорит, что он называет этот принцип принципом наименьшего действия, по аналогии с принципом, который Мопертюи дал под этим названием . [c.798]

Мопертюи считал свой принцип наиболее общим из всех законов природы. В настоящее время мы скорее склонны признать эту всеобщность за принципом наименьшего действия Гамильтона. Мы уже упоминали на стр. 246 о том, что Гельмгольц положил этот принцип в основу своих исследований по электродинамике. С тех пор интегральные принципы в форме Гамильтона нашли применение в самых различных областях физики. [c.277]

XII. Мопертюи в своих рассуждениях по этому вопросу пошел еще дальше и высказал мнение, что количество действия сил, которые действуют на частицы поверхности жидкой массы, не только повсюду одно и то же, но что его значение является наименьшим из всех возможных. Это свойство, столь согласное с общими законами природы, которая стремится постоянно получить известный эффект наименьшей ценой, является также вполне естественным следствием из решения, которое я только что нашел. В самом деле, так как значение этого выражения [c.65]

XXX. Пользуясь этим принципом, мы найдем в действительности те же кривые для движения тел, находящихся под действием любых сил, к которым нас приводят обычные принципы механики. В самом деле, этот принцип вовсе не отличается от того, которым я пользовался для определения этих же кривых по методу максимумов и минимумов я там показал совсем как этого требует принцип Мопертюи, что, если обозначить через Мт = й [c.76]

Этот принцип совершенно отличен от принципа — природа действует всегда по самому простому пути , ибо этот последний принцип — неясный, из которого можно сделать сотню совершенно различных приложений, в зависимости от определения, которое пожелают дать тому, что подразумевают под наиболее простым путем природы, т. е. в зависимости от того, пожелают ли видеть простоту природы и кратчайший путь в прямолинейном направлении, т. е. в краткости направления, или же в краткости времени, или в минимуме количества движения, или в минимуме живой силы, или в минимуме действия и т. д. Следовательно, принцип г. Мопертюи отнюдь не является принципом простейшего пути, взятым неопределенно, но точным изложением того, что он считает за простейший путь природы. [c.111]

Этот принцип отличается от принципа равенства нулю живой силы по двум соображениям в принципе Мопертюи речь идет не о нуле, а о минимуме и, кроме того, в действие вводится время, которое вовсе не входит в живую силу. [c.112]

Мы не допускаем, что здесь в вычислении г. Мопертюи количество действия смешивается с количество.м живой силы действительно, если предположить время одинаковым, как это сделано в данном случае, то оба эти количества будут пропорциональны друг другу, и можно сказать, что количество действия никогда не следует смешивать с живой силой, потому что, согласно определению г. Мопертюи, время входит в количество действия. Кроме того, в случае твердых тел, поскольку изменение происходит в неделимый момент — время, равное нулю, — постольку не будет никакого действия. На это возражение можно ответить, что когда тело движется или стремится двигаться с некоторой скоростью, всегда имеется действительное или возможное количество действия, которое будет соответствовать его движению, если бы оно двигалось равномерно с этой скоростью в течение некоторого времени. Таким образом, вместо слов количество действия, необходимого для произведения этого изменения можно поставить слова количество движения, соответствующее этому изменению , и дать, таким образом, правило г. Мопертюи В производимом ударом изменении в скорости тел количество действия, которое будет отвечать этому изменению, есть наименьшее возможное, предполагая время постоянным . Мы говорим предполагая время постоянным эта модификация и, даже если угодно, ограничение необходима по двум соображениям [c.113]

Вот каковы (по крайней мере на сегодня — февраль 1754 г.) работы, действительно необходимые, ибо в них затронут рассматриваемый вопрос. Мы должны добавить, что г. Мопертюи никогда не отвечал на возводимые на него нападки по этому поводу, о которых мы скажем Да не произносятся они в вашей среде, ибо это не подобает философам . Этот спор о действии, если нам будет позволено сказать, несколько походит на некоторые религиозные споры по горечи, которая была в него вложена, и по количеству людей, принявших в нем участие, ничего в этом не смысля. [c.116]

В формулировках принципа наименьшего действия, обсуждавшихся до сих пор, не уделялось внимания условиям движений, предположенных возможными, и все-таки эти условия имеют такое же значение, как и сама величина действия, так как в зависимости от характера наложенных условий содержание принципа принимает совершенно различное значение. Дело идет не только о признаке, по которому сделан выбор, но и о природе движений, которые подлежат отбору. Однако, пока это обстоятельство, недооценка которого привела ко многим роковым ошибкам, было ясно понято и принцип наименьшего действия получил первую правильную формулировку, прошло длительное время. Если открытие принципа наименьшего действия приурочить именно к этому моменту, то только Лагранжу можно приписать эту заслугу. Между тем такая оценка была бы несправедлива в отношении тех людей, которые подготовили почву и начали работу, впоследствии удачно завершенную Лагранжем. К числу этих людей относятся прежде всего Лейбниц, судя главным образом по его письму 1707 г., оригинал которого утерян, затем Мопертюи и Эйлер. [c.583]

По принципу наименьшего действия в форме Мопертюи динамическая траектория определяется уравнением [c.635]

Таким образом, этот вектор тождествен количеству движения, и интеграл действия Мопертюи представляется в простой форме, предложенной самим Мопертюи, с той только разницей, что масса изменяется теперь с изменением скорости по закону Лоренца. [c.656]

Рассматривая во второй главе этот вопрос в более общем случае тела, имеющего электрический заряд и перемещающегося с переменной скоростью в электромагнитном поле, мы показали, что по нашим представлениям принцип наименьшего действия в форме Мопертюи и принцип согласования фаз Ферма весьма вероятно могут быть двумя аспектами одного и того же закона это привело нас к пониманию истолкования квантового соотношения, определяющего скорость фазовой волны в электромагнитном поле. Конечно, идея, что за движением материальной точки всегда скрывается распространение волны, должна быть изучена и дополнена, но если удастся найти для нее совершенно удовлетворительную форму, то она представит собой синтез большой рациональной красоты. [c.666]

Кинетические фокусы несколько различны в зависимости от того, рассматриваем ли мы действие Гамильтона или действие по Мопертюи. Чтобы лучше уяснить себе это, рассмотрим случай двух степеней срОбоды, и пусть X и у — две переменные, определяющие положение системы, которые мы можем рассматривать как координаты в плоскости. [c.508]

Эта формула устанавливает зависимость между действием по Лагранжу W и действием по Гамильтону S Сопоставим теперь принцип Мопертюи— Лагранжа с принципом Гаммльтона — Остроградского. В принципе Мопертюи — Лагранжа сравниваются движения консервативной системы, oeepuiaejWM с одной и той же энергией, тогда как в принципе Гамильтона —Остроградского сравниваются движения, совершаемые за один и тот же промежуток времени. [c.411]

XXIV. Очевидно, Мии и Mvv выражают здесь живые силы каждого из двух тел, так что сумма живых сил равна onst — Ф или просто равна Ф, если включить в нее постоянную и следовательно, сумма живых сил и сумма усилий в каждый момент времени выражаются одной и той же формулой. Следовательно, если во время движения формула Ф dt является максимумом или минимумом, как требует принцип равновесия Мопертюи, то это абсолютно то же самое, что Мии dt Mvv dt или Ми Мт -f + J iVw Мп является максимумом или минимумом. Но Ми Мт, по Мопертюи, обозначает количество действия тела М и iVv-N —количество действия тела М за время dt. Следовательно, оба принципа Мопертюи вполне согласуются также и в более широком смысле. [c.84]

Наиболее известной, хотя и не наиболее простой теоремой рассматриваемого типа является теорема о наименьшем действии", обязанная своим происхождением Мопертюи (Moupeituis) ), но впервые приведенная в определенную форму Лагранжем и Якоби. Действие" одной материальной точки при переходе по данной траектории от одного положения к другому можно определить, как интеграл по пути от количества движения. В соответствии с этим действие динамической системы, т. е. сумма действий отдельных точек ее, выражается формулой [c.268]

XIV. Я пришел, таким образом, к тем же словам, которьши пользуется Мопертюи для определения своей идеи действия, когда он говорит, что действие есть произведение массы на скорость и пробегаемое пространство. Так, в случае предыдущего параграфа выражение Ми ds есть количество действия в какой-либо момент, если точно воспользоваться манерой выражения Мопертюи. Согласно тем же самым представлениям движение тел должно быть таким, чтобы сумма всех элементарных действий или j Ми ds была минимумом. В IV томе наших Memoires я показал также, что этот принцип приводит как раз к тем кривым, которые находят по обыкновенным принципам Механики. Очевидно, что этот принцип движения Мопертюи является необходимым следствием его общего принципа покоя или равновесия. [c.81]

Я не отношу сюда также мое наблюдение, которым я установил, что если в движении небесных тел, как и вообще во всяком движении тел, притягиваемых к центрам сил, в отдельные мельчайшие отрезки времени массу движущегося тела помножить на пройденное расстояние и скорость, то сумма всех этих произведений всегда будет наименьшая. Хотя это наблюдение идет далеко впереди упомянутых выше и произведение, которым я пользуюсь, выражает то самое действие, как оно определяется знам. де Мопертюи, однако прежде всего следует отметить, что мое наблюдение появилось лишь после того, как знаменитейший муж уже изложил свой принцип, так что оно не может нанести никакого ущерба его новизне. Далее, ведь я постиг это замечательное свойство, как говорят, не априорно, а апостериорно, ибо лишь после многочисленных опытов я вывел ту формулу, которая в такого рода движениях приобретает наименьшее значение. Поэтому я не решился приписывать ей большую силу, чем для тех случаев, которые я исследовал. И я, право, никогда не считал, что причастен к открытию такого рода принципа, простирающегося значительно шире, вполне удовлетворенный тем, что проследил эту тонкую особенность в движениях, совершаемых вокруг центров сил. К тому же сам Кёниг, кажется, придает мало значения этому моему наблюдению, ибо после моих доказательств, притом не метафизических, а математических, он все еще сомневается, приобретают ли формулы, которые я исследовал, наименьшее значение или наибольшее. Поэтому я бы очень хотел, чтобы столь великий учитель проверил мои доказательства, указал бы, по своему разумению, на скрытые в них ошибки ведь я очень охотно поучился бы у столь тонкого наставника. [c.105]

Пока мы допустим в качестве произвольного названия это понятие действия, и мы сперва заметим, что оно сводится к тому же, что и идея г. Мопертюи. Ибо произведение пространства на скорость — то же самое, что и произведение квадрата скорости на время. В работах, цитированных нами в слове A tion , г. Мопертюи вовсе не говорит о том, знаком ли он с определением г. Вольфа. По-видимому, — нет что касается нас, то мы не знали этого определения, когда писали статью Действие , и здесь мы хотим добросовестно воздать должное каждому. Впрочем, не имеет значения, взял ли Мопертюи эту идею у Вольфа, или лишь сошелся с ним во взглядах, ибо здесь речь идет единственно о сделанных им отсюда выводах, к которым г. Вольф не имеет никакого отношения. Г-н Мопертюи является первым, кто показал, что при преломлении количество действия есть минимум. Не менее твердо установлено [c.111]

У Мопертюи оспаривали приоритет в открытии этого принципа. Г-н Кёниг для доказательства этого сперва привел место из Лейбница, извлеченное из рукописного, письма этого философа это место, напечатанное в Лейпцигских актах , май, 1751 г., содержало грубую ошибку, которая, по уверениям г. Кёнига, является опечаткой, он ее исправил, и, действительно, это переделанное место частично представляет принцип наименьшего действия. Если бы даже письмо Лейбница было подлинным (чего мы отнюдь не предрешаем), оно, не будучи опубликовано, ни в какой мере не умаляет принадлежности этого принципа г. Мопертюи. Г-н Кёниг, видимо, признает это в своем Обращении к публике о решении Прусской академии наук, вынесенном против подлинности этого отрывка. [c.114]

Ж. Лагранж первый ясно сформулировал принцип наименьшего действия (1760 г.). Среди всех движений, которые приводят систему материальных точек при постоянной полной энергии из определенного исходного положения в определенное конечное положение, действительное движение производит минимальное действие. Следовательно, возможные движения должны удовлетворять принципу сохранения энергии, зато они могут происходить в любое время. В соответствии с этой формулировкой путь одной материальной точки без приложенной движущей силы таков, что она с постоянной скоростью и в кратчайщее время достигнет цели. В качестве кривой пути получается линия кратчайшей длины, т. е. для свободной точки — прямая линия. К. Якоби и У. Гамильтон показали впоследствии, что принцип допускает и совершенно иные формулировки. Особую важность для будущего представляла формулировка, которую предложил Гамильтон. В ней сравниваемые возможные движения не должны обладать постоянной полной энергией, а вместо этого все должны протекать в одно и то же время. Но в таком случае действие, которое для действительного движения принимает минимальное значение, надо выражать не интегралом по времени от кинетической энергии, данным Мопертюи, а интегралом по времени от разности между кинетической и потенциальной энергиями. В применении к указанному выше примеру материальной точки, движущейся без воздействия движущих сил, принцип из всех возможных кривых дает в качестве траектории ту, на которой точка в определенное время с наименьшей скоростью достигает своей цели, следовательно, опять-таки наикратчайшую линию. [c.585]

Однако блестящего успеха принцип наименьшего действия добился тогда, когда оказалось, что он не только сохранил значение, но и пригоден для того, чтобы занять первое место среди всех физических законов в современной теории относительности Эйнштейна, которая лишила универсальности такое множество физических теорем. Причина этого в основном заключается в том, что величина действия Гамильтона (а не Мопертюи) является инвариантом относительно преобразований Лоренца, т. е. что она независима от специальной системы отсчета наблюдателя, производящего измерения. В этом основном свойстве лежит также глубокое объяснение того, на первый взгляд неудачного обстоятельства, что величина действия относится к промежутку, а не к моменту времени. В теории относительности пространство и время играют одинаковую роль. Вычислить из данного состояния материальной системы в определенный момент времени состояния будущего и прошедшего является по теории относительности задачей такого же рода, какзадача — из процессов, разыгрывающихся в разное время в определенной плоскости, вычислить процессы, происходящие спереди и сзади плоскости. Если первая задача обычно характеризуется как собственно физическая проблема, то, строго говоря, в этом заключается произвольное и несущественное ограничение, которое имеет свое историческое объяснение только в том, что разрешение этой задачи для человечества в подавляющем числе случаев практически полезнее, чем второй. Поскольку вычисление величины действия материальной системы требует интегрирования по пространству, занимаемому телами, то, чтобы пространство не получило предпочтения перед временем, величина действия должна содержать также интеграл по времени. [c.587]

Впервые понятие действие сформулировано Лейбницем, на которого в этом отношении ссылается и Мопертюи. Оно изложено в труде по динамике,, над которым работал Лейбниц во время путешествия по Италии в 1669 г., но который остался незаконченным и только в 1860 г. был издан Г. И. Гер-гардтом по рукописи, сохранившейся в королевской библиотеке в Ганновере. Лейбниц ) называет эту величину a tio formalis . Смысл этого понятия [c.782]

Независимо от того, рассматривался ли тем или иным автором вопрос о приоритете или Мере движения, все-таки, в конечном счете, на авансцену выступал центральный вопрос мировоззрения о причинной обусловленности явлений материального мира или о телеологической их предначертанности мудростью творца. Именно поэтому дискуссия приняла столь острый характер, что Д Аламбер сравнивает этот спор, разгоревшийся вокруг принципа наименьшего действия, с религиозными спорами Этот спор о действии, если нам будет позволено сказать, несколько походит на некоторые религиозные споры по горечи, которая была в него вложена, и по количеству людей, принявших в нем участие, ничего в этом не смысля ). Таким образом, идейным источником работы Мопертюи было желание найти теологически или, хотя бы, телеологически обоснованный закон, который был бы последним основанием механики и из которого следовали бы все законы природы. [c.785]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...