Состояние равновесия и периодические движения

На границе таких областей происходит либо исчезновение одного из этих движений, либо нарушение устойчивости. Поэтому задача выделения областей существования и устойчивости простейших установившихся движений (состояний равновесия и периодических движений) является частью более обш,ей задачи изучения бифуркаций особых точек и замкнутых фазовых кривых. Однако значимость теории бифуркации состоит не только в этом, но и в том, что она открывает путь к более полному изучению динамических систем и оказывается полезной даже при изучении конкретной динамической системы, которая ни от каких параметров не зависит. Последнее означает, что в ряде случаев изучение конкретной динамической системы существенно облегчается путем искусственного введения параметров и последующего использования теории бифуркаций. [c.251]

Перейдем к рассмотрению бифуркаций состояний равновесия и периодических движений. Пусть правая часть уравнения (7.1) гладко зависит от параметров Состояние равновесия является корнем уравнения [c.251]

Как и всегда, особый интерес представляет случай бифуркаций с участием устойчивых состояний равновесия и периодических движений. В этом случае р = п — 1. Далее, как [c.265]

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка почти не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их [c.268]

И всеми остальными движениями, асимптотически приближающиеся к ним, как при возрастании, так и убывании времени. Этот класс систем был выделен Смейлом [50—52] и получил название систем Морса—Смейла [271. Важность и распространенность таких систем позволяют рассмотреть их несколько подробнее. Кроме сформулированных условий, предполагается, что все состояния равновесия и периодические движения общего типа и что их интегральные многообразия пересекаются только oбa им образом. Фазовое пространство будем предполагать компактным. [c.274]

Пусть Oi °,. .., Г —устойчивые состояния равновесия и периодические движения. О ",. .., Тт" —неустойчивые и ..., — седловые. Окружим каждое из них малыми окрестностями с кусочно-гладкими граничными поверхностями, составленными либо из поверхностей без контакта, либо кусков интегральных поверхностей. Возможные виды таких поверхностей в трехмерном случае изображены на рис. 7.26,а, б, в. Обозначим границы этих окрестностей для устойчивых и неустойчивых состояний равновесия и периодических движений соответственно через Oi,. ..,а и а,,. .., От. У седлового состояния равновесия [c.274]

Если отвлечься от движений, асимптотически приближающихся к седловым состояниям равновесия и периодическим движениям, то точки каждой из поверхностей al [c.278]

Вернемся к доказательству утверждения, на котором основаны изложенные выше общие соображения. Прежде всего введем некоторые определения. Совокупность состояний равновесия и периодических движений и их интегральных многообразий назовем скелетом динамической системы. Замкнутый контур, составленный из фазовых траекторий, конец каждой из которых соединен с началом следующей, назовем циклом. На рис. 7,27 приведен пример цикла, составленного из трех фазовых траекторий. [c.279]

Теорема 7.1 [40J. Динамическая система с простейшими установившимися движениями, имеющая конечное число простых состояний равновесия и периодических движений и пересечения интегральных многообразий только общего типа, не имеет циклов. [c.279]

Теорема 7.2. Исследование фазовых траекторий динамической системы, о которой шла речь в теореме 7.1, сводится к рассмотрению кусочно-гладкого точечного отображения поверхностей без контакта а, неустойчивых состояний равновесия и периодических движений в поверхности без контакта а]" устойчивых состояний равновесия и периодических движений (рис. 7.28). [c.280]

Пусть бь bi,. .., б — окрестности седловых состояний равновесия и периодических движений описанного вида, убывающие с ростом номера г. Если требуемое утверждение [c.280]

Все это не совсем так, стохастичность может возникнуть и в динамических системах с небольшим числом степеней свободы. Достаточно, чтобы фазовое пространство было более чем двумерное. Соответствующие примеры были известны давно. Казались они чем-то исключительным, плодом тонких математических измышлений. Однако это совсем не так и стохастические движения столь же рядовое явление в системах с более чем одной степенью свободы, как и состояния равновесия и периодические движения. [c.326]

Шильников Л. П., Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости состояний равновесия и периодических движений ( опасные и безопасные границы). В кн. [173] (русский перевод), стр. 294-316 [c.211]

Таким образом в настоящее время с помощью теории нелинейных колебаний помимо состояний равновесия и периодических движений исследуют стохастические колебания, турбулентность и случайные волны. [c.96]

Единственно возможными установившимися движениями в двумерных системах являются устойчивые состояния равновесия и периодические движения. Но при периодических силовых или параметрических воздействиях на осциллятор или ротатор появляются хаотические движения. Они возникают и при автономных инерционных изменениях параметров осциллятора или ротатора. [c.22]

Тенденции к порядку и хаосу обусловлены устойчивостью и неустойчивостью. Еще совсем недавно устойчивость рассматривалась как неотъемлемое требование физической реализуемости. Казалось, что неустойчивые состояния равновесия и периодические движения физически нереализуемы на протяжении продолжительных интервалов времени и имеют значение лишь в математических исследованиях, поскольку играют важную роль в формировании границ областей притяжения устойчивых состояний равновесия и периодических движений. [c.43]

Роль неустойчивых состояний равновесия и периодических движений как границ областей притяжения отражена на фазовом портрете динамической системы (рис. 2.1), которую можно назвать триггером. Точки ж О г — устойчивые состояния равновесия (одно — типа фокуса, другое — типа узла). Точка О — неустойчивое состояние равновесия типа седла. В него входят только две фазовых траектории и 2, и они разделяют устойчивые равновесия О1 и О1, определяя возле каждого из них области притяжения и П . Всякая фазовая точка области стремится к точке 0 , всякая точка области Яд — к точке О г. Таким образом, в зависимости от начальных условий система с таким фазовым портретом оказывается в одном из состояний равновесия (либо О,, либо Ог). Перейти из одного из этих состояний равновесия в другое она [c.43]

В настоящей главе рассказывается о простейших установившихся движениях — состояниях равновесия и периодических движениях. Излагается классификация состояний равновесия и периодических движений, устанавливаются и исследуются основные типы их бифуркации. Рассматриваются не только устойчивые состояния равновесия и периодические движения, но и неустойчивые седловые состояний равновесия и периодические движения. Если первые играют роль основных простейших установившихся движений, то вторые играют определяющую роль в формировании границ их областей притяжения и в формировании хаотических и стохастических движений, а также всего фазового портрета динамической системы. [c.93]

Нетрудно видеть, что множество предельных точек Z . ограниченной фазовой траектории x(i) не пусто и состоит из фазовых траекторий. Однако физически, т. е. с учетом неизбежных малых возмущений, приближение фазовой траектории к предельному множеству Ха будет наблюдаться лишь в том случае, когда — предельное множество не только для фазовой траектории x(i), но и для всех других фазовых траекторий, близких к Х . Если множество Ха обладает этим свойством асимптотической устойчивости, то оно является аттрактором. Простейшие аттракторы — это асимптотически устойчивые состояния равновесия и периодические движения. [c.124]

Для теории нелинейных колебаний теория бифуркаций состояний равновесия и периодических движений представляет интерес не только тем, что облегчает исследование конкретных систем, но и в первую очередь тем, что решает вопрос о характере смены установившегося режима при медленном изменении параметров. Можно напомнить, что именно теория бифуркаций дала математическое описание мягкого и жесткого способов возникновения колебаний в ламповом генераторе и сделала эти понятия одними из основных в теории нелинейных колебаний, а метод точечных отображений позволил решить вопрос о мягком и жестком возбуждении в многомерном случае. Методом точечных отображений была решена и аналогичная задача о возбуждении квазипериодических колебаний в автономной системе и обнаружен случай мягкого удвоения периода автоколебаний (Ю, И. Неймарк, 1958—1959). [c.156]

Стационарное движение, грубо говоря, есть то предельное движение, к которому стремится система. Говоря о стационарных движениях, мы понимаем под ними также и состояния покоя, т. е. рассматриваем состояния покоя как частный случай стационарного движения. Можно дать точное математическое определение стационарных движений, отождествив их с так называемыми рекуррентными движениями Биркгофа [34, 139, 96]. Для систем с одной степенью свободы рекуррентными движениями могут быть только состояния равновесия и периодические движения. Для более общих систем рекуррентными движениями могут быть более сложные движения, например квази-периодические. [c.29]

Состояние равновесия и периодические движения. Сделаем теперь обратные выводы по отношению к тем, которые мы делали в начале этого параграфа, когда, зная движение, зная зависимость X от 1, искали вид фазовой плоскости. Посмотрим, что можно сказать о характере движения, зная характер интегральных кривых на фазовой плоскости и зная выражение для фазовой скорости. [c.43]

С точки зрения теории колебаний нас в консервативных системах с одной степенью свободы интересуют в первую очередь стационарные состояния — именно состояния равновесия и периодические движения. Все остальные движения, как мы убедились при рассмотрении про- [c.148]

Отметим еще, что эти исследования точечного отображения TL обнаружили не только случаи превращения фазовой траектории, двоякоасимптотической к состоянию равновесия, в периодическое движение, но и более сложные бифуркации, изучение которых примыкает к рассмотрению гомоклинических структур, о чем будет довольно подробно в дальнейшем рассказано. [c.264]

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое [c.276]

Ниже будут описаны возможные общие механизмы возникновения стохастичности. Обычно в одной и той же системе в зависимости от значений ее параметров может быть, а может и не быть стохастизация. При каких-то значениях параметров ее нет и система имеет простейший установившийся режим — состояние равновесия или периодическое движение—при других значениях параметров имеют место стохастические колебания. При непрерывном переходе от первых значений параметров ко вторым происходят сложные изменения установившегося процесса. Эти изменения могут происходить постепенно или скачком. В первом случае возникновение стохастичности естественно назвать мягким, во втором — жестким — в полной аналогии с мягким и жестким возникновением автоколебаний при потере устойчивости равновесного состояния. [c.326]

Выше была изложена созданная к настоящему времени локальная теория состояний равновесия и периодических движений, а также попутно и отчасти неподвижных точек преобразования. При этом полностью рассмотрены все основные типы равновесий и периодических движений и их основные бифуркации. Это рассмотрение носит в некотором смысле законченный и завершенный характер. Точнее, можно думать, что рассмотрение более сложных случаев не даст ничего принципиально нового для общего понимания и общего качественного изучения динамических систем. Это естественно в предположении, что речь идет об изучении классов динамических систем, в котором только этим бифуркациям соответствуют в пространстве параметров разделяющие его бифуркационные поверхности. Вместе с тем эта надежда уже ни в коей мере не оправдывается для специальных классов динамических систем и в первую очередь для так называемых консервативных систем, где понятие общности совсем друп е, Когсерва-тивные системы требуют своего, во многом специфического исследования. Эта специфичность проявляется не всегда, многие вопросы и, в частности те, которым в значительной мере будет посвящен дальнейший текст, в полной мере относятся и к консервативному случаю. [c.267]

Заметим еще, что выше были рассмотрены основные бифуркации состояний равновесия и периодических движений достаточно гладких систем дифк.1зеренциальных уравнений. На практике довольно часто приходится сталкиваться [c.267]

У рассматриваемой нами системы всякая фазовая точка может находиться вне выделенных нами окрестностей не дольше некоторого конечного времени т. Поэтому фазовые траектории, лежащие вне выделенных малых окрестностей, порождают на их граничных поверхностях некоторые точечные отображения. При этом каждая поверхность а,, oj-, или oi2 отображается в какие-то другие поверхности о], ш/, (0/1 или (0/2. Отображение, преобразующее, например, точки поверхности о/ в сод, будем обозначать через Т(а/- (О д). Таких различных отображений будет конечное число, причем каждое из этих отображений кусочно-гладкое. Это последнее утверждение следует из существования верхней границы т длительности движения фазовой точки от одной поверхности до другой и из компактности гладких кусков поверхностей без контакта, ограничивающих выделенные нами окрестности состояний равновесия и периодических движений. [c.276]

При этом точка принадлежит либо одной из поверхностей о[, либо одному из интегральных многообразий Sg. Аналогично точка х принадлежит либо одной из говерх-ностей at, либо одному из интегральных многообразий Оказывается, что при достаточно малых окрестностях, выделяющих состояния равновесия и периодические движения, ни одна фазовая траектория не пересекает одну и ту же поверхность ш дважды. Поэтому в любой последовательности (7.37) общее число точек s -f / + 1 не более некоторого конечного N. Это означает, что всевозможным фазовым траекториям рассматриваемой динамической системы соответствует конечное число различных конечных последовательностей точечных отображений Т (а" си ), Т (сй ш ) и 7 (со -> СТ+). Все эти последовательности могут быть в принципе найдены следующим образом. Точки каждой из поверхностей oj преобразуются в какие-то поверхности af и со. В свою очередь каждая из поверхностей i),i преобразуется в какие-то области wj П Os и й Г wf [c.277]

Вернемся к рассмотрению многомерных динамических систем, описываемых гладкими дифференциальными уравнениями. Ранее были рассмотрены малые окрестности состояний равновесия и периодических движений. Естественным дальнейшим шагом является рассмотрение малых окрестностей нескольких фазовых траекторий, составляю-ш,их нечто целое. Одним из таких комплексов, рассмотрение которого приводит к нетривиальным результатам, является гомоклнническая структура [401. [c.314]

Таковы возможные пути исчезновения устойчивых движений — необходимой предпосылки хаотизации и стохастизации движений динамической системы. Сами по себе они еще не приводят к хаотизации движений, но необходимы для ее возникновения. Более того, в областях, где нет устойчивых состояний равновесия и периодических движений, хаотизация может возникнуть и без этой предварительной подготовки , не в результате подмены простого аттрактора хаотическими движепиями. Хаотические движения могут жестко возникнуть в области притяжения состояния равновесия или периодического движения. [c.215]

Метод вспомогательных оторЗажений. Опнсанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а ииогд ) и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с т 1к называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [c.301]

В работах Бочека и др. [174, 177] эволюция ансамбля подвижных дислокаций описывается последовательностью неравновесных фазовых переходов стандартной динамической системы от движения одного типа к движениям другого типа (а именно переходов от состояния равновесия к периодическому движению от регулярного движения к хаотическому, от одних хаотических режимов к другим). При этом предполагается, что дислокации образуются и аннигилируют преимущественно в стенках дислокационных ячеек. Стабильность дислокационной субструктуры с общей плотностью дислокаций р контролируется соотношением баланса [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...