Квазипериодические движения колебания)

Качественное исследование 49, 91, 112, 117 Качественные методы 26, 49, 112, 128, 146 Квазилинейные системы 146, 166, 263 Квазипериодические движения (колебания) 289, 297 [c.389]

Существуют три классических типа динамического движения равновесие периодическое движение, или предельный цикл квазипериодическое движение. Эти состояния называют аттракторами, поскольку в присутствии какого-либо затухания переходные отклонения подавляются и система притягивается к одному из трех перечисленных состояний Другой класс движений,характерных для нелинейных колебаний, который не сводится ни к одному из этих классических аттракторов,- непредсказуемые, если присутствует малая неопределенность начальных условий то этот класс движения часто связан с состоянием называемым странным аттрактором. [c.6]

Квазипериодические движения. Рассмотрим систему типа Штеккеля и остановимся более подробно на простейшем (и наиболее распространенном) случае, когда движение по каждой координате представляет собой либрацию. Будем предполагать, что коэффициенты не обращаются в нуль, а функции /г (дт) непрерывны. Каждое в начальный момент лежит между простыми вещественными нулями йг, функции fr qj) (предполагается, что йг < Ьг), и колебания qr происходят между пределами г- Возьмем йг в качестве нижнего предела интегрирования в формуле (18.2.19) для Кг. В течение движения будем иметь [c.335]

Все же может быть позволено сделать несколько замечаний об истолковании приведенных положений. Прежде всего нельзя не упомянуть, что основным исходным толчком, приведшим к появлению приведенных здесь рассуждений, была диссертация де Бройля ), содержащая много глубоких идей, а также размышлений о пространственном распределении фазовых волн , которым, как показано де Бройлем, всякий раз соответствует периодическое или квазипериодическое движение электрона, если только эти волны укладываются на траектории целое число раз. Главное отличие от теории де Бройля, в которой говорится о прямолинейно распространяющейся волне, заключается здесь в том, что мы рассматриваем, если использовать волновую трактовку, стоячие собственные колебания. Я недавно показал ), что, рассматривая подобные стоячие собственные колебания и пользуясь законом де Бройля дисперсии фазовых волн, можно обосновать теорию газов Эйнштейна. Предыдущее изложение является в свою очередь как бы обобщением рассуждений, приведенных в связи с упомянутой газовой моделью. [c.676]

Первоначальная картина возникновения турбулентности, предложенная Ландау, была основана на представлении об иерархии неустойчивостей. При увеличении некоторого параметра, например числа Рейнольдса или числа Рэлея, нелинейные колебания жидкости теряют устойчивость и появляются все новые и новые независимые частоты движения СО1, со2, СО3. . . . При этом должно наблюдаться квазипериодическое движение с одной, двумя, тремя и т. д. основными частотами. Таким образом, мы приходим к последовательности бифуркаций Хопфа, т. е. к движению по поверхности некоторого тора возрастающей размерности. Движение выглядит все более и более сложным, однако непрерывный спектр и хаотическое движение возникают лишь при бесконечном числе бифуркаций. Модель Ландау представлена схематически в табл. 7.2. [c.479]

Предсказуемое регулярное движение периодические колебания, квазипериодическое движение нечувствительно к изменениям параметров и начальных условий [c.46]

Конечный набор точек периодическое или субгармоническое колебание Замкнутая кривая квазипериодическое движение в присутствии несоизмеримых частот Незамкнутая кривая имеет смысл попытаться моделировать одномерным отображением постройте X (О как функцию х(/ + Т) [c.60]

В этой главе мы изложим теорему, впервые доказанную Мозе ром и обобщающую более ранние результаты Колмогорова и Арнольда. Задача, о которой идет речь, включает в себя в качестве частных случаев задачи, рассмотренные в разд. 3.9, 5.2 и 5.3. Как мы уже знаем, система линейно связанных гармонических осцилляторов может совершать колебания на нескольких основных частотах так, что совместное движение всей системы оказывается частным случаем квазипериодического движения. В этой главе мы попытаемся ответить на важный вопрос могут ли нелинейно связанные осцилляторы также совершать квазипериодическое движение Сами осцилляторы при этом могут быть не только линейными, но и нелинейными. [c.207]

Вопросом о существовании квазипериодических решений дифференциальных уравнений нелинейных колебаний, в частности автоколебательных движений, занимались Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский и др. [c.295]

В неподвижной системе отсчета движение точки р можно рассматривать как сложное точка р движется в области В, которая, в свою очередь, вращается как твердое тело вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью Л. Вокруг оси динамической симметрии твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью и еще совершает ограниченные квазипериодические колебания около этого среднего движения. [c.216]

Для теории нелинейных колебаний теория бифуркаций состояний равновесия и периодических движений представляет интерес не только тем, что облегчает исследование конкретных систем, но и в первую очередь тем, что решает вопрос о характере смены установившегося режима при медленном изменении параметров. Можно напомнить, что именно теория бифуркаций дала математическое описание мягкого и жесткого способов возникновения колебаний в ламповом генераторе и сделала эти понятия одними из основных в теории нелинейных колебаний, а метод точечных отображений позволил решить вопрос о мягком и жестком возбуждении в многомерном случае. Методом точечных отображений была решена и аналогичная задача о возбуждении квазипериодических колебаний в автономной системе и обнаружен случай мягкого удвоения периода автоколебаний (Ю, И. Неймарк, 1958—1959). [c.156]

Усреднение по фазе Хо. которая является постоянной интегрирования в (6.2.8), требует пояснения. На самом деле усреднять нужно по траектории, т. е. по времени т. Для иррационального о) с при (о т 1 это формально эквивалентно усреднению по "/о- Разумеется, диффузионный характер движения связан только с присутствием случайной фазы ф (т), иначе колебания Нх были бы квазипериодическими.— Прим. ред. [c.355]

В такой цепи наблюдаются квазипериодические колебания, бло- фовки фазы движений, удвоение периода и хаотические колеба-0Я. [c.115]

Тор (инвариантный) Движение двух связанных осцилляторов без затухания в воображаемом конфигурационном пространстве, происходит по поверхности тора. Круговое движение по окружности меньшего радиуса (меридиану) соответствует колебаниям одного осциллятора, круговое движение по окружности большего радиуса (параллели) — колебаниям другого осциллятора. Если движение периодическое, то траектория на поверхности тора после нескольких витков замыкается. Если движение квазипериодическое, то траектория проходит сколь угодно близко от любой точки на торе. [c.274]

Так, с ростом Re может быть достигнуто новое критическое значение Re2 r, при котором пара мультипликаторов примет значения ехр ( /а) (где афО, я, я/2, 2я/3, чтобы исключить резонансы). Тогда произойдет вторая нормальная бифуркация Хопфа периодическое течение Uo(x)-fUi(x, t) станет неустойчивым относительно какого-то из возмущений вида fi(x, t)y где fi — периодическая по времени функция с периодом 2я/а, а собственное значение X имеет мнимую часть 1о2. При небольших Re—R2 r это возмущение будет возрастать со временем до конечного предела — квазипериодического движения с двумя периодами 2n/Oi и 2л/о2 и двумя степенями свободы (фазами колебаний). Таким образом, из замкнутой траектории образуется траектория на двумерном торе (рис. 2.10 6). Если затем произойдет следующая нормальная бифуркация Хопфа, то образуется траектория на трехмерном торе, и т. д. [c.99]

Иногда хаотические колебания, возникнув при определенных изменениях параметров, через недолгий промежуток времени вырождаются в периодическое или квазипериодическое движение. Согласно Гребоджи и др. [50], этот переходный хаос — следствие кризиса [c.69]

Одним из важных путей к хаосу в многомерных динамических системах, подобных термогидродинамическим, является возникновение колебаний на двух предельных циклах бифуркация Хопфа), которое приводит к квазипериодическому движению. Этот процесс обсуждался в гл. 2. Динамика такого движошя моделируется течением на торе, и возникающие сечения Пуанкаре имеют вид замкнутых круговых дуг. Несмотря на важность квазипериодических колебаний для хаотической динамики, онн мало исследованы в других системах, кроме гидродинамических. Именно по этой причине мы решили изучить квазипериодические колебания в такой нелинейной структуре, как изогнутый стержень. [c.148]

При исследовании распределенных систем возникает вопрос о том, в какой мере для них справедливы закономерности универсальности и подобия в поведении вблизи порога возникновения хаоса и в сценарии перехода к хаосу, установленные для простых систем (см. гл. 22). О наблюдении таких сценариев в экспериментах с ЛОВ при наличии отражений от замедляющей системы мы уже указывали выше. Тщательные эксперименты с генератором автостохастических колебаний, предложенным В.Я. Кисловым и его сотрудниками [28], показали следующее (см., например, работу [29], в которой исследуемый генератор представлял собой замкнутую в кольцо цепочку из ЛБВ, резонансного фильтра и акустической линии задержки). При изменении глубины обратной связи и настройки фильтра исследуемая распределенная система демонстрировала практически все сценарии перехода к хаосу, известные для простых систем 1) через последовательность бифуркации удвоения периода 2) через разрушение квазипериодических движений 3) через бифуркации удвоения торов 4) через перемежаемость. [c.508]

В теории колебаний, были простейшие типы движений — состояния равновесия, периодические движения и в значительно меньшей мере квазипериодические. Более сложные движения представлялись не поддаюш,имися изучению и имеющими весьма отдаленное отношение к движениям реальных систем. Нелинейное колебательное мышление, воспитанное в основном на фазовой плоскости, не допускало такой возможности и считало стохастичность уделом систем с очень большим числом степеней свободы, настолько большим, что все запутывается, становится неясным и сто-хастичным. Возникновение стохастичности в механике и физике также обычно связывалось с большим числом степеней свободы, с большим числом возможных колебаний или волн. [c.326]

К-системы 300, 301, 303, 305 Канторово множество 76, 422 — 424 Касательный вектор 295, 296 Квазипериодические колебания 35, 49, 74, 178, 294, 305 Компонента движения 232. 292. 294, 301, [c.524]

Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом пространстве, который начинается на множестве близких начальных условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным движением частицы. Однако определенную качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. В частности, в этой книге мы обсудим, как получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические, квазипериодические и хаотические. В некоторых задачах не только время принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы оказывается ограниченной конечным набором значений или категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Например, в задаче с парой потенциальных ям (см. рис. 1.2, б) нас может интересовать только, в какой яме находится частица, правой (К) или левой (Ь). Тогда траектория может описываться последовательностью символов ЬККЬКЬЬЬК,. ... Периодическая орбита может иметь вид ЬКЬК. .. или ЬЬКЬЬК. ... На современном новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции физических систем применяются модели всех трех типов (см. обсуждение символической динамики в [26] или [211]). [c.33]

Квазипериодический путь к хаосу. Хотя удвоение периода — самый знаменитый путь к хаотическим колебаниям, обнаружено и изучено еше несколько схем. В одной из них, предложенной Ньюха-узом и др. [150], авторы рассматривают систему, которая, прежде чем перейти в хаотическое состояние, испытывает последовательные динамические неустойчивости. Пусть, например, система сначала находится в стационарном состоянии, но после изменения какого-нибудь параметра становится динамически неустойчивой (например, аэродинамические колебания — флаттер). С раскачкой движений вступают в действие нелинейности, и движение выходит на предельный цикл. Такие переходы математики называют бифуркациями Хопфа (см., например, [1]). Если при дальнейших изменениях параметра в системе происходят две или более бифуркации Хопфа, так что одновременно присутствуют три связанных предельных цикла, то становится возможным хаотическое движение. [c.66]

Системы, в которых сохраняется энергия, в типичных случаях обнаруживают те же типы ограниченных колебательных движений, что и системы с потерями. К числу таких движений относятся периодические, субгармонические, квазипериодические и хаотические. Одно из основных отличий между колебаниями в системах с потерями и без них состоит в том, что хаотические орбиты в системах с потерями обнаруживают фрактальную структуру фазовых портретов, в то время как в бездиссипативных системах такая структура отсутствует. [c.71]

Отображения Пуанкаре квазипериодические колебания. Часто то, что кажется хаотичным, вполне может быть просто суперпози-Ш1ей двух гармонических движений с несоизмеримыми частотами, например [c.139]

Гомоклинические пфаектории. Подробное обсуждение гомоклинических траекторий можно найти в книгах Лихтенберга и Либермана [ПО] и Гукенхеймера и Холмса [37]. Мы уже знаем, что, хотя решения многих динамических задач представимы в виде непрерывной кривой в фазовом пространстве (с координатами дг и < = х) или в пространстве решений (с координатами х и /), загадки нелинейной динамики и хаоса часто удается разгадать, глядя на дискретную численную выборку из движения, известную под названием сечения Пуанкаре. Мы видели также, что в сечении Пуанкаре точки, хотя в действительности они образают последовательность точек в п-мерном пространстве, могут располагаться вдоль некоторых непрерывных кривых. Эти кривые называются многообразиями. Говоря далее о гомоклинических траекториях, мы имеем в виду последовательность точек. Эта последовательность называется траекторией. Например, если речь идет о периодической траектории с периодом 3, то последовательность точек поочередно посещает три состояния на фазовой плоскости (рис. 5.15, а). С другой стороны, квазипериодическая траектория соответствует последовательности точек, перемещающихся по некоторой замкнутой кривой (рис. 5.15, б). Квазипериодические колебания часто встречаются среди движений двух связанных осцилляторов с двумя несоизмеримыми частотами. [c.179]

Остальные траектории, кажущиеся на рис. 5.21 непрерывными, соответствуют квазипериодическим рещениям, когда частота соударений щарика о стол несоизмерима с частотой колебаний стола. Наконец, на рис. 5.21, б (Л = 1,2) представлены движения третьего типа вблизи тех мест, где при меньщих значениях параметра К существовали сеяла и сепаратрисы, идущие из седла в седло, мы видим облако точек. Это облако точек соответствует консервативному хаосу. При К < 1 оно локализовано в окрестности седловых точек. Но при К 1 блуждающая траектория становится глобальной — размазывается по всему фазовому пространству. [c.191]

Все траектории как бы лежат на гладких поверхностях — торах, т. е. движение системы при любых начальных условиях условнопериодическое. Что произойдет, если мы будем увеличивать энергию колебаний осцилляторов Прежде всего движение второго осциллятора станет сильно нелинейным — появятся движения, близкие к сепаратрисе одиночного нелинейного осциллятора (ср. рис. 15.1д). Благодаря наличию вынуждающей силы, пропорциональной ( ), уже нельзя сказать, останутся ли они квазипериодическими или тип движения будет меняться — точка будет переходить попеременно из области внутри сепаратрисы в область вне ее. [c.322]

В рассматриваемой задаче предельный цикл — замкнутая фазовая траектория в четырехмерном фазовом пространстве Xi, х , Уи уз — проектируется на отрезок 12 биссектрисы лгз = — Xi плоскости xi,x , в силу чего этот отрезок пробегается изображающей точкой Xi, то в одном, то в другом направлении. Однако можно сделать так, чтобы разрывные периодические колебания отображались движением изображающей точки по обычному предельному циклу на некоторой фазовой поверхности, если только соответствующим образом выбрать вид этой поверхности (вместо фазовой плоскости). Мы видели, что, попадая на замкнутую кривую I (рис. 580), изображающая точка перескакивает на кривую Г, после чего траектории медленных движений заключены в области между этими двумя кривыми. Считая точку а тождественной А, точку Ь тождественной Z и т. д., т. е. спрессовывая в точки отрезки траекторий скачков, мы сможем отобразить эту область (взаимно однозначно и непрерывно) на поверхность шара. Разрывные автоколебания при этом отобразятся предельным циклом (например, экватором). Кроме того, на сфере мы получим две особые точки (два неустойчивых узла), расположенные по разные стороны цикла (например, на полюсах) и соответствующие точкам касания кривых Г и Г. После такого отображения сразу видно, что в мультивибраторе не может быть квазипериодических колебаний (такие колебания могли бы существовать только тогда, когда фазовая поверхность — тор). Не может быть также и периодических движений изображающей точки по замкнутой траектории, дважды охватывающей шар. А priori эти результаты не очевидны. [c.853]

Во всех случаях система состоит из очень большого числа под систем. При изменении определенных условий (управляющих параметров), даже если эти изменения ничем, казалось бы, не выделены, в системе образуются качественно новые структуры в макроскопических масштабах. Система обладает способностью переходить из однородного, недифференцированного состояния покоя в неоднородное, но хорошо упорядоченное состояние или даже в одно из нескольких возможных упорядоченных состояний. Такие системы могут находиться в различных устойчивых состояниях (бистабильность или мультистабильность) и могут быть использованы, например, в качестве элементов памяти (каждое устойчивое состояние соответствует определенному числу, например в случае бистабильной системы — нулю и единице) в вычислительных машинах. В упорядоченном состоянии могут происходить также колебания различных типов с одной частотой (периодические колебания) или с несколькими частотами (квазипериодические колебания). Система может совершать также случайные движения (хаос). Кроме [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...