Инвариантные торы и квазипериодические движения

К настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач. Решение всех таких задач, имеющих п степеней свободы, основано на существовании п первых независимых интегралов в инволюции. В этих случаях согласно теореме Лиувилля [2] уравнения движения решаются в квадратурах. Можно показать Щ, что существование полного набора интегралов в инволюции влечет следующую картину поведения траекторий в 2п-мерном фазовом пространстве. Все фазовое пространство разбивается на области, расслоенные совместными уровнями первых интегралов на замкнутые п-мерные инвариантные многообразия. Если эти многообразия компактны, то они суть п-мерные торы, несущие на себе квазипериодические движения. [c.35]

В этой главе исследуются качественные свойства типичных вращений тяжелого твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина, когда первые интегралы уравнений движения независимы. Найдены числа вращения касательных векторных полей на двумерных инвариантных торах. Показано, что нутация твердого тела — квазипериодическое движение, а собственное вращение и прецессия обладают главным движением. Если число вращения иррационально, то в случае быстрых вращений твердого тела главное движение линии узлов равно нулю. [c.148]

Будем предполагать, что в фазовом пространстве приведенной системы совместные уровни интегралов (3.2) компактны, и на этих уровнях функции (3.2) независимы. Тогда эти и-мерные инвариантные многообразия суть и-мерные торы Т" , которые несут на себе квазипериодические движения. Таким образом, в этом случае качественная картина движения в приведенной системе ясна. Для того, чтобы дать полный анализ системы с гамильтонианом (3.1), достаточно знать поведение циклической координаты ф. [c.212]

Отображение (5.2.4) соответствует движению интегрируемой гамильтоновой системы на инвариантном торе (01, бг). Можно сказать, что это движение эргодично на торе, но не эргодично во всем фазовом пространстве. Из рассмотренного примера квазипериодического движения ясно, что эргодичность еще не означает стохастичность. С другой стороны, наше определение эргодичности позволяет считать эргодическим стохастическое движение и в некоторой ограниченной области фазового пространства, например в стохастическом слое. Однако такое определение может оказаться не очень удобным в том случае, когда область стохастичности содержит много островков устойчивости ). [c.294]

Тор (инвариантный) Движение двух связанных осцилляторов без затухания в воображаемом конфигурационном пространстве, происходит по поверхности тора. Круговое движение по окружности меньшего радиуса (меридиану) соответствует колебаниям одного осциллятора, круговое движение по окружности большего радиуса (параллели) — колебаниям другого осциллятора. Если движение периодическое, то траектория на поверхности тора после нескольких витков замыкается. Если движение квазипериодическое, то траектория проходит сколь угодно близко от любой точки на торе. [c.274]

При выходе мультипликаторов периодического движения за границы единичной окружности в точках ехр( га) при а ф Отг, тг/2, 2тг/3 из периодического решения появляется (или в нем исчезает) двумерный инвариантный тор — по образному выражению А. А. Андронова с цикла слезает шкура (см. рис. 15.11). При этом движение из периодического становится квазипериодическим. Подобная бифуркация наблюдается в системе двух связанных автогенераторов при переходе из режима взаимной синхронизации в режим биений (см. гл. 16). [c.321]

Инвариантные торы и квазипериодические движения [c.93]

Рассматривая интегрируемые задачи в классической механике , мы обнаруживаем, что для каждой из них ограниченные траектории либо периодические, либо квазипериодические. Иначе говоря, фазовое пространство расслоено на инвариантные торы, несущие квазипериодические движения. [c.93]

Предполагается, что читатель знаком с обычным курсом аналитической механики (в частности, с основными фактами динамики твердого тела). Достаточно, например, знакомства с учебником В. И. Арнольда Математические методы классической механики (М., Паука , 1974). При изложении материала часто используется известная теорема Лиувил-ля-Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах, а также связанные с ней идеи и понятия, такие, как инвариантные торы, квазипериодические движения на торах, усреднение и т. д. [c.13]

Положим u)i I) = OS Idli (г = 1, 2). Величины u)i, u)2 являются частотами квазипериодических движений на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо. [c.41]

Напомним некоторые обозначения. Переменные действие-угол невозмущенной задачи снова обозначим через 11121з 1 2 Рз (см. гл. II). Переменная 1з — интеграл площадей его постоянную обозначим 1°. Отношение частот и)11и 2 квазипериодических движений на инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо зависит только от 2 о/- моментов инерции А, В, С. Эта функция в гл. II обозначена через 7. [c.92]

Регулярные траектории. Из-за того что зависимость регулярных траекторий от начальных условий оказывается разрывной, их присутствие еще не означает наличия в системе изолирующего (глобального) интеграла или определенной симметрии. Однако там, где такие траектории существуют, им соответствуют точные интегралы движения. Для регулярных траекторий угловые переменные зависят от времени либо квазипериодически (типичный случай), либо периодически. В первом случае частоты движения несоизмеримы, и траектория плотно покрывает поверхность инвариантного тора, заданного сохраняющимися значениями переменных действия. В последнем случае траектория замыкается через целое число оборотов вокруг тора (более полное представление об инвариантных торах дано в гл. 3). Наиболее удобными методами исследования регулярных траекторий являются теория возмущений и метод сечения Пуанкаре, рассмотренный в 1.2. [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...