Метод квадратного корня

Выбор метода решения на ЭВМ системы линейных алгебраических уравнений зависит от свойств матрицы А, числа уравнений N и возможностей ЭВМ — объема оперативной памяти, быстродействия и числа значащих цифр, с которыми ведутся вычисления. В настоящее время в прикладном программном обеспечении ЕС и СМ ЭВМ имеется достаточно большое число программ, реализующих прямые методы. Здесь мы рассмотрим только один прямой метод — метод Гаусса. Некоторые другие прямые методы — метод прогонки, метод квадратного корня — будут рассмотрены ниже в главах 3 и 4 при обсуждении алгоритмов решения тех задач, где их использование наиболее эффективно. [c.10]

Ввиду своеобразия матрицы А (матрица симметричная и содержит много нулевых элементов), для определения нулей определителя и нахождения собственных форм колебаний, соответствующих частоте выбран метод квадратного корня. Матрица А представляется в виде произведения двух транспонированных треугольных матриц [c.68]

При численной реализации предлагаемой методики решение системы линейных алгебраических уравнений (П.31) (с коэффициентами (11.60)) и анализ системы (11.38) (с коэффициентами (П.63)) в силу симметрии их матриц проводим на основе метода квадратного корня. Это позволяет более экономно использовать оперативную память ЭЦВМ, так как запоминанию подлежат элементы не квадратной, а соответствующей треугольной матрицы. [c.50]

Для определения значений оценок стандартизованных коэффициентов регрессии наиболее часто находят применение следующие методы решения системы нормальных уравнений метод определителей, метод квадратного корня и матричный метод. В последнее время для решения задач регрессионного анализа широко применяется матричный метод. Здесь же рассмотрим решение системы нормальных уравнений методом определителей. [c.94]

Для достижения достаточно высокой точности расчета следующие основные процедуры МКЭ выполняются с удвоенной точностью построение матрицы жесткости элемента, направляющих косинусов решение системы уравнений. Для решения системы уравнений используется модифицированный метод квадратного корня [15], который является наиболее устойчивым по отношению к ошибкам округления. [c.198]

Интегралы в (262) и (263) вычислены с помош,ью вычетов штрих означает, что под знаком суммы опущены члены с S — к, I [aij] —симметричная матрица нормальной системы. Выражения для свободного члена, имеют аналогичную, но более простую структуру. Для решения системы методом квадратных корней составлена программа и проведены расчеты на ЭВМ Минск-22 . Некоторую трудность представляет то обстоятельство, что на практике, кроме числа отверстий, заранее задаются их относительными размерами и взаимным расположением — геометрией области, причем последняя лишь неявно зависит от и — входных параметров программы. Накопленный опыт расчетов позво- [c.74]

Общая система разрешающих уравнений для задачи теплопроводности получается из систем уравнений (IV-3) для отдельных элементов путем суммирования соответствующих членов. Решение системы осуществляется методом квадратного корня с помощью процедуры, учитывающей структуру матрицы. Для уменьшения числа обменов с внешней памятью прямой ход решения системы совмещен с процедурой фор- [c.92]

На первом временном шаге решается упругая или упругопластическая задача. При наличии пластических деформаций должно быть осуществлено несколько итераций для сходимости метода упругих решений. В каждой итерации процесс формирования систем линейных уравнений для каждой гармоники совмещен с прямым ходом метода квадратного корня. Это позволяет существенно уменьшить количество обменов с внешней памятью. Число удерживаемых гармоник задается в исходных данных, которые должны обеспечить точность аппроксимации упругопластического решения, а в дальнейшем — и решение задачи ползучести. Для этого число гармоник должно примерно в 2 раза превышать то, которое необходимо для описания упругого решения. [c.171]

Конструкция представляется в виде совокупности треугольных конечных элементов. В качестве основных неизвестных принимаются перемещения узлов сетки этих элементов. Эти перемещения могут быть аппроксимированы либо линейной функцией, либо полиномом второй степени. После этого в соответствии с принятыми закономерностями метода конечных элементов составляются матрицы жесткости для элемента ребра, элемента тела вращения и вычисляется матрица коэффициентов разрешающей системы уравнений. Решение этой системы производится методом квадратных корней. [c.199]

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда р является степенью двойки. Для этой цели мы используем конструкцию удвоения периода, известную как метод квадратного корня . Рассмотрим произвольное отображение / [0,1]—>[0, 1] и определим отображение / [О, 1]—>[0,1] так f x) = (2 -Ь /(3а ))/3 для х [0,1уЗ], f x) = х- 2/3 для х е [2/3, 1], а на отрезке [1/3, 2/3] доопределим / линейным отображением. Заметим, что f (x) = f 3x)/3 на отрезке [0,1/3], так что для каждой точки периода п отображения / мы получаем точку периода 2п для отображения /. Кроме того, ограничение последнего отображения на отрезок [1/3,2/3] является линейным растягивающим гомеоморфизмом и, следовательно, обладает единственной неподвижной точкой и не имеет никаких других периодических точек. Таким образом, периоды отображения / равны удвоенным периодам / и, кроме того, имеется дополнительная неподвижная точка. [c.507]

В заключение предположим, что р = 2 п для некоторого нечетного п. Тогда для отображения полученного из / с помощью метода квадратного корня, примененного к раз, мы имеем (Л, ) = S j,. Кроме того, конструкция удвоения периода превращает отображение / в отображение /, которое переставляет отрезки [О, 1/3] и [2/3, 1], и единственной неблуждающей точкой отображения / из интервала (1/3,2/3) является неподвижная точка. Таким образом, отрезок [О, 3 ] инвариантен относительно отображения и объединение образов этого отрезка содержит все непериодические неблуждающие точки Но тогда по третьему пункту предложения 3.1.7 мы получаем, что (At) = bgA . [c.508]

Каждой независимой переменной приписывается эквивалентная мера дисперсии процесса, представляющая собой квадрат среднеквадратичного отклонения. Каждое из этих отклонений возводится в квадрат (т. е. определяется дисперсия), а все квадраты складываются. Корень квадратный из этой суммы представляет собой среднеквадратичное отклонение процесса для зависимой переменной в тех же единицах. Статистически метод определения квадратного корня из суммы квадратов эквивалентен сложению дисперсий. [c.152]

Для измерения расхода газа по тому же способу в соответствии с (5-6) может использоваться расходомер с измерительной схемой, показанной на рис. 5-1,а и питаемой напряжением, пропорциональным перепаду давления (вместо напряжения, пропорционального квадратному корню из перепада давления). Для этой цели могут использоваться схемы и методы, описанные в 4-2, например схемы рис. 4-2. [c.147]

Допущение о постоянстве давления в поперечном сечении позволяет исключить эллиптичность системы уравнений и использовать маршевый метод. Упрощение вносит ошибки в поперечные скорости газа, пропорциональные квадратному корню из истинных градиентов давления, тем не менее рассматриваемая трехмерная модель позволяет определить концентрации компонентов топлива более достоверно, чем в модели трубок тока, примененной к зоне смешения, когда во внимание принимаются только радиальные и угловые скорости газа. [c.156]

В главах 3 и 4 будут рассмотрены еще две подпрограммы SYSTRD—для решения систем с трехдиагональной матрицей и МСНВ — для решения систем уравнений с ленточной симметричной матрицей методом квадратного корня. [c.21]

Наконец, перейдем к вопросу решения системы уравнений. Для решения систем уравнений МКЭ применяют как прямые, так и итерационные методы. Причем последние обычно используют в тех случаях, когда объем оперативной памяти не позволяет хранить всю глобальную матрицу даже с учетом ленточного симметричного вида. Из прямых методов хорошо зарекомендовал себя на практике и получил широкое распространение метод квадратного корня. Этот метод пригоден только для систем линейных уравнений с симметричной матрицей и по затратам машинного времени примерно вдвое быстрей метода исключения Гаусса. В математическом обеспечении ЭВМ имеются стандартные программы, реализующие метод квадратного корня. Предусмотрен и случай систем с ленточной матрицей (стандартная подпрограмма МСНВ из математического обеспечения ЕС ЭВМ [15]). В заключение подчеркнем, что использование той или иной стандартной подпрограммы решения системы уравнений требует определенного способа записи глобальной матрицы в одномерный массив. Применяемые способы различны для разных подпрограмм, т. е. может организовываться запись по [c.146]

Отметим, что при формировании матрицы G необходимо учитывать способ записи матрицы в машинной памяти для используемой стандартной подпрограммы решения системы линейных уравнений. В данном случае предполагается использование гюдпрограммы МСНВ из математического обеспечения ЕС ЭВМ [151, реализующей метод квадратного корня для симметричных ленточных матриц. При этом коэффициенты матрицы должны быть записаны в одномерный массив путем пос.1едовательного обхода верхней части ленты над главной диагональю по строкам. Такой пересчет индексов элемента матрицы в индекс одномерного массива реализован операторами 168—177. [c.155]

Излагается алгоритм решения задачи нахождения собственных частот и форм колебаний на примере конкретной механической системы, даны логическая схема и описание программы их нахождения на алгоритмическом языке АЛГОЛ-ВО. Рассматриваются различные постановки задачи и их реализации в программе. В основе поиска леяшт метод квадратных корней. Илл. 1, библ. 7 назв. [c.269]

Нули определителя D определялись видоизмененным методом квадратного корня (методом Халецкого). Для применения метода необходимо выполнить дополнительно следующие преобразования. [c.135]

Для составления канонических уравнений используются формулы (1.7). Канонические уравнения решаются известными методами решения линейных алгебраических уравнений высоких порядков, так как число степеней свободы при решении сложных задач может достигать нескольких десятков тысяч. Обычно используются метод Гаусса, метод квадратного корня (метод Халецкого), метод Зейделя и другие прямые или итерационные методы. В результате решения определяются значения степеней свободы. По найденному вектору степеней свободы q и системе координатных функций ф/ , которая была назначена заранее, определяется функция перемещений (1.4) по всей области системы, а по ней — напряжения и деформации в интересующих расчетчика местах. [c.29]

Задачи о собственных колебаниях в форме (2) или (3) необходимо предварительно привести к задачам с симметричной матрицей по методу квадратного корня. В противном случае несимметричные матрицы Н и G преобразуют к верхней или нижней почти треугольной форме (форме Хессенберга). Этот процесс может быть осуществлен теми же устойчивыми преобразованиями и требует того же числа действий, что и для симметричных матриц. [c.83]

Решение системы линейных алгебраических уравнений — более простая (и привычная) математическая задача, чем задача минимизации квадратичной формы (8.16), Матрица А — положительно определенная симметричная матрица, в общем случае она является плотной (не разреженной) матрицей, и поэтому для решения системы нормальных уравнений линейного МНК (8.17) следует применять соответствующие методы решения систем линейных алгебраических уравнений ([21, 25]), например метод Холецкого, называемый также методом квадратного корня. [c.471]

Для решения систем с симметричными положительно определенными матрицами часто используется метод Холецкого .метод квадратных корней). [c.128]

Для решения системы линейных алгебраических уравнений в данной реализации используется метод квадратного корня. Составленный алгоритм позволяет оперировать с произвольной шириной симметричной полуленты матрицы и произвольным числом столбцов ее окаймления, При этом процесс решения системы на каждой IV 1 итерации проходит параллельно с формированием матрицы для после- [c.31]

Формирование системы осуществляется в порядке обхода конечных элементов, численное интегрирование по каждому из которых на итерации с использованием двухточечных квадратур Гаусса осуществляется один раз. Причем количество перемещений в каждом узле может быть равно двум или трем в зависимости от исходной информации задачи. По мере накопления части матрицы At,- с учетом ее структуры в отведенную порцию оперативной памяти ЭВМ осуществляется прямой ход по методу квадратного корня и затем записывается во внешнюю память. Такой порядок решения системы экономит число обменов с внешней памятью. Ширина ленты матрицы коэффициентов может изменяться от строки к строке. Результирующее решение получается накоплением Aui, Аа >, Aefy Aeiy от шага к шагу. Перемещения вычисляются в узлах конечных элементов, а деформации и напряжения — в центрах конечных элементов, где они имеют наибольшую точность [53]. [c.98]

ДФКК—дискретный алгоритм фильтрации по методу квадратного корня [c.372]

МФКК — модифицированный алгоритм фильтрации ю методу квадратного корня п—число параметров [c.372]

Благодаря тому, что система уравнений (46) соответствует минимуму квадратичного функционала полной потенциальной энергии исследуемого тела, матрица этой системы симметрична и положительно определена. Эти ее свойства, а также ленточную структуру и редкозаполненность используют при решении системы точними методами (метод блочного исключения Гаусса, метод квадратного корня и т. п.). [c.524]

Это уравнение имеет стандартную форму (э), но матрица коэффициентов РМ является несимметричной. Произведение матриц Р и М не обладает симметричной структурой, даже если матрица М диагональная, за исключением специального случая, когда все диагональные элементы равны между собой. Чтобы получить симметричную матрицу коэффициентов, требуется изменить координаты. Если матрица М является положительно определенной, с помощью метода квадратного корня Хо-лецкого се можно представить в виде [c.252]

Разложение Холесского, иногда, называемое методом квадратного корня, возможно только для симметричной положительно определенной матрицы A ). Прн этом условии матрица А может [c.227]

Метод Холецкого является прямым методом решения системы линейных алгебраических уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей. Существуют два варианта метода Холецкого, один из которых имеет второе название, известное в литературе как метод квадратного корня. Не останавливаясь на анализе метода квадратного корня, перейдем к обсуждению второго варианта метода Холецкого, принятого здесь в качестве основного прямого метода решения систем уравнений МКЭ. [c.126]

Аналогичные методы комбинации параметров чистых компонентов и концентраций были предложены для других уравнений состояния. Например, если уравнение состояния Битти — Бриджмена использовать для смесей, то параметр Ао в уравнении (5-73) вычисляется с помощью линейной комбинации квадратных корней из параметров чистых компонентов другие четыре параметра вычисляются линейной комбинацией параметров чистых компонентов [4] [c.225]

Но по историческим и практическим причинам мы применим метод Виттенбауэра [215]. Пользуясо этим методом, мы наносим в системе прямоугольных координат X, у значение числителя дроби правой части уравнения (с) по оги у, а значение знаменателя—по оси X, и, следовательно, мгновенное значение углевой скорости со равняется квадратному корню из тангенса угла, образованного вектором точки, с1 ютветствующей данному значению ф, и осью X. Если числитель и знаменатель являются периодическими функциями угла ф, то точки, соответствующие различным углам поворота кривошипа q , образуют замкнутую кривую С иногда до- Фиг. 163 вольно сложной формы. Предельные значения угловой скорости ы определяются касательными и кривой С, проведенными через начало координат О (фиг. 163). Таким образом, получаем [c.366]

Показания естественной термопары в случае дискретного контакта зависят от распределения, размеров и формы пятен фактического касания и пропорциональны, при принятии ряда допущений, квадратному корню из средней температуры всех пятен [1]. Спай искусственной термопары имеет конечный объем, что является причиной инерционности и других специфических погрешностей этого метода измерений. Показания полуискусственных термопар и термопар без предварительно формируемого спая следует относить к температурам, развивающимся при трении электродов о поверхность одного из элементов пары, или к температурам пластически деформируемых поверхностных слоев материала. [c.20]

Установление допусков по методу вычисления корня квадратного из суммы квадратов особенно целесообразно, когда с помощью простой проверки можно убедиться в нереальности наихудшен комбинации. [c.152]

Значение может быть также введено профилированием кулачка выходного прибора-тепломера, с помощью которого производится извлечение квадратного корня из значения -квадрата расхода тепла. Однако этот метод целесообразен лишь для случаев малых иЗхМенений давления и температуры теплоносителя, когда от изменения последних поворот лекала тепломера происходит иа такой угол, при котором изменение будет не боль- [c.121]

В методе Гивенса исходная симметричная матрица приводится к симметричной трехдиагональнон форме путем элементарных преобразований подобия с матрицами вращения (8). С учетом симметрии для этого требуется выполнить около 4пз/3 умножений и п /2 извлечений квадратных корней. В классической схеме метода Якобн на одном цикле выполняется около 2п умножений и п /2 извлечений квадратных корней. [c.83]

В метода Хаусхолдера приведение к трехдиагональной форме осуществляется при помощи матриц отражения Р = Е — 2ww , w fw = 1. Процесс приведения требует приблизительно 2)г /3 умножений и около п извлечений квадратных корней. [c.83]

М.Н.К. в обычной форме приводит к известным вычислительным трудаостям, связанным с операцией обращения матрицы, которая выполняется плохо из-за плохой обусловленности матрицы системы нормальных уравнений и ошибок округления ЭВМ. С целью выбора оптимального метода обращения матрицы высокого порядка в работе 12 1 были предприняты специальные исследования устойчивости классических методов решения алгебраических систем, включая метод Гаусса, квадратного корня, ортогонализации и др. Выполненные в [21 исследования показали непригодность этих методов, реализуемых в М.Н.К. для получения устойчивой аппроксимации. [c.35]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...