Переход Андерсона

Если уровень Ферми лежит в области локализованных состояний, то при Г = ОК статическая электропроводность неупорядоченного материала равна нулю — вещество является "андерсонов-ским диэлектриком". При пересечении уровнем Ферми порога подвижности (Ес или Еу) в неупорядоченной системе происходит фазовый переход — система становится проводящей ("переход Андерсона"). В точке перехода Андерсона обращается в бесконечность. [c.75]

Изменения параметров твердого тела, которые влияют на неупорядоченность, могут вести к сдвигу края подвижности относительно энергии Ферми. Когда Ее меняется от значений <Ег до значений >Ег, достигается переход металл — изолятор, называемый переходом Андерсона. Об этом уже упоминалось в 9. [c.137]

Хотя критерий локализации (9.116) и дает хорошее качественное описание условий возникновения перехода Андерсона, очевидно, что результат (9.119) можно рассматривать лишь как грубую оценку критической величины беспорядка. Вся задача, по-видимому, оказывается математически очень тонкой, и здесь есть ряд еще не решенных проблем, как принципиальных, так и расчетных (см. [70]). Например, высказывалось мнение [66, 71], что условие вида (9.116) слишком слабое, поскольку фактически сходимость локаторного разложения определяется наибольшими из величин последние могут оказаться на самом хвосте функции распределения этой случайной переменной. Однако если выполнены условия, необходимые для сходимости ряда с вероятностью единица (см., например, [72]), то особенности такого типа образуют в статистическом ансамбле случайных переменных и>1 множество меры нуль и, следовательно, не играют роли. Действительно, локаторный ряд (9.111), рассматриваемый как функция вещественной переменной X, не может сходиться равномерно, так как функция Гри- [c.422]

Очевидно, в зтой модели естественно возникает типичная задача о протекании [3] С макроскопической точки зрения рассматриваемая система будет вести себя как диэлектрик до тех пор, пока плотность газа N не станет столь большой, что возникнет бесконечный кластер перекрывающихся сфер вдоль него, по предположению, электрон способен свободно перемещаться. Иначе говоря, достижение этого порога протекания проявлялось бы как переход, при некоторой критической концентрации, к металлической проводимости, аналогичный переходу Андерсона (см. 9.9), или как переход к протеканию по случайной сетке сопротивлений ( 9.11) на регулярной решетке. [c.559]

Очевидно, что, кроме описанного процесса образования пары электронов с противоположными зарядами должен существовать и обратный процесс перехода электрона из области положительных энергий на свободный уровень в области отрицательных энергий. В этом процессе, названном аннигиляцией, одновременно исчезают обычный электрон и дырка , что в соответствии с законами сохранения энергии и импульса должно сопровождаться переходом энергии покоя обоих электронов в энергию излучения двух Y-квантов. Разумеется, термин аннигиляция (в переводе означает уничтожение ) нельзя понимать в буквальном смысле слова, так как никакого уничтожения материи и энергии не происходит, а имеет место превращение одних частиц (е+ и е-) в другие (у-кванты) и переход энергии из одной формы в другую. Открытие в 1932 г. Андерсоном позитрона в составе космических лучей блестяще подтвердило взгляды Дирака. Электрон и позитрон были названы соответственно частицей и античастицей. [c.546]

Новая теория Андерсона рассматривает эволюцию во времени частоты электронного возбуждения и исходит из предположения, что флуктуация A(i) частоты электронного перехода имеет марковский характер. В марковском процессе каждый шаг не несет в себе информации о предшествующих. Это математически выражается в том, что вероятность процесса из N шагов является произведением вероятностей, описывающих элементарные шаги [c.115]

В случае когда длины волн фононов сравнимы со всеми размерами дефекта, сечение рассеяния нельзя считать пропорциональным некоторой степени частоты. Судя по вычислениям Андерсона [10] для звуковых волн, зависимость рассеяния от длины волны очень чувствительна к соотношению между константой связи и изменениями массы. Для звуковых волн в жидкости, рассеиваемых сферой из другой жидкости, сечение рассеяния может испытать плавный переход от рэлеевского к геометрическому рассеянию- [c.114]

В последнее время низкотемпературная теплоемкость аморфного селена чистотой 99,99999% измерялась Мамедовым и др. [105] при 56—332° К с ошибкой <1%. Эти данные (табл. 14) несколько расходятся с результатами Андерсона [103]. Данные Мамедова в интервале 56—150° К описываются уравнением Тарасова для слоистых структур с 0 = 364° К. Выше 303° К обнаружена аномалия — резкое возрастание теплоемкости, что связано с переходом [c.77]

Так как вследствие перехода локализованное внутреннее состояние заполняется, возникают некоторые изменения и в остальных состояниях. В частности, присутствие дырки во внутренней оболочке приводит к существованию ненулевой фазы в волновых функциях зоны проводимости, в то время как после перехода эта фаза равна нулю. Если не возникает связанного состояния, то можно показать, что перекрытие волновых функций каждого состояния зоны проводимости до и после перехода отличается от единицы на величину порядка обратной величины числа атомов 1/А . Однако в интеграл перекрытия входит произведение N таких отдельных интегралов перекрытий и не ясно, окажется ли результат близким к единице или нет. Фридель предположил, что реализуется последняя возможность, однако не смог точно вычислить интеграл перекрытия. Совсем недавно Андерсон (38) в связи с другой задачей нашел, что полный интеграл перекрытия дается приближенно следующим выражением ) [c.389]

К сожалению, строгого доказательства теоремы Андерсона, четко определяющего границу перехода, не существует. Здесь возникает такая же ситуация, как и в теории трехмерной модели Изинга (гл. 5). Существование фазового перехода в последней несомненно однако вычислить температуру и другие параметры в критической области чрезвычайно трудно. В такой ситуации упрощенная математическая трактовка (типа, например, приближения среднего поля, 5.2) может дать больше, чем попытка получить точный ответ. Поэтому здесь мы следуем упрощенному варианту первоначальной работы Андерсона об отсутствии диффузии в некоторых неупорядоченных решетках . [c.418]

Модель Андерсона по существу представляет собой модель сильной связи с непрерывным распределением Р (и ) значений случайного параметра и 1 [см. формулу (9.23)]. Поскольку условия перехода вряд ли очень чувствительны к форме указанного рас- [c.418]

Рис. 9.17. Модель Андерсона. По мере увеличения степени беспорядка (б) число локализованных состояний увеличивается до тех пор, пока пороги подвижности не сольются в центре зоны, т. е. пока не произойдет переход

Пребывая в тумане предположений и неопределенностей, окружающих теорему Андерсона, хорошо было бы получить и эмпирические данные о таком переходе. Точные собственные значения и собственные функции модельной задачи Андерсона для системы из нескольких сотен узлов нетрудно рассчитать на ЭВМ. Понятие локализации в ограниченной системе строго не определено однако были предложены различные практические критерии существования этого эффекта. [c.426]

Плотность вероятности перехода из состояния а в состояние а за малое время dt (с точностью - (df) ) равна для процессов Кубо—Андерсона [c.33]

Фундаментальная теорема о влиянии беспорядка замещения на спектр возбуждений в неодномерной решетке была сформулирована Андерсоном [66] волновые функции локализованы, если величинам беспорядка превышает некоторое определенное значение. Более поздние исследования показали [67], кроме того, что точка, в которой появляется переход Андерсона, зависит также от значения энергетической переменной Я. Это означает, что при некоторых обстоятельствах спектр может оказаться разделенным так называемыми порогами (краями) подвижности на области, в которых все состояния либо локализованы, либо делокализованы (рис. 9.16). [c.418]

Критическое отношение (9.119) для перехода Андерсона в центре 80НЫ теперь принимает вид [c.425]

Все эти критерии не обязательно эквивалентны друг другу математически они еще не были стандартизованы. Числа, указанные в литературе, недостаточно надежны, чтобы сослаться здесь на них или выполнить детальное их сопоставление применительно к решеткам различных типов. Однако все результаты численного расчета для различных моделей указывают на наличие резкого перехода от делокализованных к локализованным волновым функциям, что качественно согласуется с теоремой Андерсона. Однако вряд ли можно сомневаться в том, что истинное значение отношения (9.109), при котором наступает переход Андерсона в центре зоны, гораздо меньше первоначально полученного в работе [66]. Для простых двумерных и трехмерных решеток оно мало отличается от единицы [c.427]

Следует, однако, подчеркнуть, что наличие у функции (9.137) конечной мнимой части еще пе свидетельствует о делокализован-ном характере всех волновых функций в модели Ллойда. Критерий локализации применяется к диагональным элементам функции Грина (9.110), взятой в узельном представлении для одной конкретной реализации, а не к усредненной по ансамблю функции (9.11) [95, 96] ). На основании критерия (9.131) можно ожидать, что в центре зоны локализация наступает, когда величина Г достигает приблизительно ширины идеальной зоны В [73]. Однако модель Ллойда полезна как пробный камень для проверки математических методов, используемых при изучении спектра неупорядоченных систем с беспорядком замещения (см., например [98]). Интересно отметить, например, что плотность состояний (9.7), вычисленная, скажем, с помощью формулы (9.137) и рассматриваемая как функция к, не характеризуется какими-либо необычными чертами или сингулярностями вблизи края подвижности при переходе от локализованных волновых функций к делокализованным (ср. [99, 1001). Это наводит на мысль, что переход Андерсона не относится к фазовым переходам, для которых характерна неаналитичность термодинамических функций вблизи критических точек (гл. 5). [c.431]

Очевидно, однако, что волновая функция не была бы локализованной, если бы она охватывала узлы бесконечного кластера из атомов типа А. Такой кластер определяется как совокупность узлов, связанных матричными элементами Уи- для ближайших соседей, причем эта совокупность захватывает атомы из всех областей рассматриваемой системы. Интуитивно ясно, что такие кластеры обязательно существуют, если концентрация нужных узлов с А достаточно велика. Кроме того, очевидно, что даже при малом значении возможно образование очень большого кластера в результате статистической флуктуации. С точки зрения теории локализации основной вопрос здесь состоит в том, будет ли вероятность появления такого делокализованного состояния конечной и отличной от нуля при всех значениях концентрации или же в рассматриваемой модели существует какой-то аналог перехода Андерсона. [c.432]

Таким образом, отнюдь не тривиальные моменты возникают даже в такой сравнительно простой черно-белой проблеме, как задача о проводимости регулярной сетки сопротивлений. Тем более трудными должны оказаться еще более тонкие вопросы — такие, например, как задача о поведении квантовых кинетических характеристик при переходе Андерсона (ср. рис. 9.19). Андерсо-новскую локализацию нетрудно интерпретировать [70] как перколяционный эффект. Действительно, будем рассматривать задачу с помощью какого-либо варианта метода сильной связи. Тогда мончно предположить, что электрон с энергией % не способен легко пройти через узел, атомный уровень которого %1 отли- [c.447]

Ф. п. д.— м. вызывается разными факторами пересечением энергетич. зон, перестройкой решётки, межэлек-тронными корреляциями (переход М отта), локализацией эл-нов в неупорядоченных системах (переход Андерсона). Разл. факторы часто действуют совместно. [c.802]

Андерсон [219, 220] предположил, что антпферромагнитный кристалл состоит из нескольких пар антипараллельных подрешеток различных ориентаций при этом учитывалось взаимодействие со вторыми (следующими за ближайшими) соседями. В этом случае утверждение, что восприимчивость порошка при абсолютном нуле равна двум третям от восприимч11вости при температуре перехода, уже несправедливо. Если имеются только две антииараллельные подрешетки со взаимодействием только между ионами, принадлежащими различным подрешеткам, то значение в, полученное из измерений в области парамагнетизма [формула (55.1)], связано с соотношением [c.521]

Драматична история открытия позитрона и его аннигиляции. Началась с того, что Дирак в 1928 г. предложил для описания движения релятивистского квантового электрона замечательное уравнение, которое удивительно хорошо без всяких эмпирических констант описывало все известные тогда тонкие детали спектра атома водорода. Вскоре, однако, было подмечено, что уравнение Дирака имеет лишние решения, соответствующие отрицательным массам и энергиям электрона. Существование же отрицательных масс явно невозможно, так как в этом случае частица двигалась бы против силы и, например, диполь из двух частиц с разными по знаку массами саморазгонялся бы. Эти лишние решения не удавалось Очеркнуть, не портя уравнения и ряда проверенных на опыте выводов из него. Тогда Дирак в 1930 г. выдвинул идею, потрясшую его современников. Он воспользовался принципом Паули и принял, что вакуум — это такое состояние, в котором заполнены все состояния электрона с отрицательной энергией. В этом случае переход электрона в состояние с отрицательной энергией невозможен. Если же вырвать вакуумный электрон из состояния с отрицательной энергией, то образуется электрон с положительной энергией и дырка на бесконечном фоне заполненных состояний. Можно показать, что такая дырка будет вести себя как частица с положительной массой (энергией) и с положительным зарядом. Дирак поначалу отождествил эту дырку с протоном. Но ему вскоре указали, что, во-первых, масса дырки должна быть строго равной массе электрона, а, во-вторых, дырка будет аннигилировать при столкновении с электроном. Тогда Дирак объявил, что предсказываемая им дырка представляет собой новую еще не открытую элементарную частицу. В эпоху, когда элементарных частиц было известно всего три, такое предсказание было столь смелым, что в него не поверили даже авторы монографий того времени, посвященных уравнению Дирака. Но вскоре (С. Д. Андерсон, 1932) позитрон был открыт в космических лучах, [c.338]

Фазовый переход в неупорядоченной среде, при к-ром уровень Ферми проходит через порог подвижности, наз, нереходом Андерсона. В точке перехода L обращается в бесконечность, а при сколь угодно малом смещении уровня Ферми в сторону подвижных состояний появляется отличная от О статич. ироводи-мость. Дискуссия о том, появляется ли проводимость скачком (фазовый переход первого рода) или возрастает непрерывно (фазовый переход второго рода), пока не закончилась, но вторая точка зрения является более аргументированной. При описании поведения электронов в реальных неупорядоченных системах (аморфных твёрдых телах или кристаллич. полупроводниках с [c.83]

Любая теория стохастического типа не способна описать целый ряд важных фактов, относящихся к электрон-фононным полосам, например, появление в оптической полосе так называемой бесфононной линии и фо-нонного крыла или различную форму полос поглощения и флуоресценции при одинаковой форме и точном резонансе бесфононных линий этих спектров. Это происходит потому, что даже наиболее продвинутая теория Андерсона полустохастического типа не может быть применена к системе, в которой частота скачет между бесчисленным количеством ее возможных значений. Поскольку число фононных мод в образце порядка числа Авогадро, его порядок имеет и число возможных значений для частоты оптического перехода. Поэтому электрон-фононные оптические полосы с хорошо разрешенной структурой, имеющейся например, при низких температурах у многих органических молекул, внедренных в матрицы Шпольского, рассматриваются только с использованием выражений динамической теории. [c.121]

В последние температура входит через фактор /(1 - /), содержащий населенности состояний ДУС и четко указывающий на двухтуннелонный механизм температурного уширения, а в формулы теории Андерсона — через отношение вероятностей р/(р + Р) прямых и обратных переходов в ДУС. Именно по этой причине теорию Андерсона трудно обобщить так, что бы она принимала во внимание взаимодействие с неравновесными ДУС, т.е. эффекты спектральной диффузии. Наша же теория легко может бьггь обобщена в этом направлении (см. 19). [c.254]

Эффект СД бьш первоначально обнаружен в спиновых системах путем наблюдения зависимости времени дефазировки Тз от паузы г между возбуждающими импульсами в экспериментах с микроволновым эхом в работах Мимса и сотрудников [72]. Клаудером и Андерсоном [73] была предложена теория стохастического типа для обмснения эффекта СД в спиновых системах. Подход Клаудера-Андерсона лег в основу большинства последующих теоретических работ, посвященных теории СД как в спиновых системах [74-76], так и в оптических спектрах хромофоров [77-79]. В этих работах бьши получены формулы для временного уширения БФЛ. В данном параграфе мы рассмотрим динамическую теорию СД, т. е. теорию, основанную на использовании гамильтониана системы и правил квантовой механики для расчета вероятностей перехода. Эта динамическая теория дает ряд новых предсказаний, которые позволяют более полно описать явление СД. [c.269]

Андерсон, Галперин и Варма [34] предположили, что в силу туннельного характера вероятности перехода в ДУС она будет иметь вид R ос ехр(-А). Если принять, что распределение по Л имеет вид прямоугольника [c.276]

При этом сечение либо проходит через широкий максимум, либо осциллирует. Однако поскольку теплопроводность определяется широкой областью частот, то не следует ожидать, что осцилляции в зависимости сечения от частоты с необходимостью будут говорить о колебаниях теплопроводности. Шварц и Уолкер [209] аппроксимировали результаты Андерсона для случая осциллирующего сечения с помощью подходящих аналитических выражений и подставили соответствующие времена релаксации в интеграл для теплопроводности [выражение (4.96)]. Вычисленная теплопроводность менялась с температурой, причем характер зависимости соответствовал предположению о плавном переходе между рэлеевским и геометрическим рассеянием. Главные особенности вычисленных кривых теплопроводности хорощо воспроизводятся даже при еще более грубом предположении, что рэ-леевское рассеяние происходит при длинах волн, больших 2пО, где О — диаметр дефекта, и что при коротких длинах волн сечение не зависит от длины волны и равно постоянной, соответствующей рэлеев-скому рассеянию для длины волны 2пВ. [c.115]

Фиутак и ван Кранендонк 1 ] распространили ударную теорию Андерсона на спектры комбинационного рассеяния. В их теории учитываются все возможные индуцированные переходы. Эффективное сечение имеет вид [c.316]

Можно проследить этот переход качественно, без углубления в детальные расчеты, выполненные многими авторами вслед за ори-гина. 1ьвой работой Андерсона. В 14 (рис. 17) мы виделп, что отдельный дефект кристаллической решетки приводит к отщеплению (п одновременной локализации) состояння от края зоны. С ростом чпсла дефектов кристаллической решетки число локализованных состояний вне зоны увеличивается. Энергетические уровни дефектов объединяются в зону (примесная зона), которая может перекрываться с зоной делокализованных состояний, если концентрация дефектов достаточно высока. Можно представить, что аналогичное явление возникает при увеличении неупорядоченности решетки. Состояния у краев энергетической зоны становятся локализованными в первую очередь и одновременно сдвигаются в энергетическую щель. Зона, таким образом, приобретает хвосты с [c.136]

Теперь уже хорошо известно, что энергетический спектр модели Андерсона разбит на области с локализованными и делокализованными волновыми функциями, причем положения их границ зависят от степени беспорядка. Однако характер перехода между этими двумя типами состояний пока еще как следует не понят. Простое рассуждение наводит на мысль, что указанные типы спектра отвечают существенно различным участкам на шкале энергий [83, 841. В самом деле, предположим обратное, т. е. допустим, что одной и той же точке спектра принадлежат две волновые функции — локализованная и делокализованная. Тогда любое сколь угодно малое изменение беспорядка приведет к их смешению, т. е. к возникновению двух делокализованных состояний. Таким образом, нет сомнения в существовании края подвижности , разделяющего две области спектра во вполне определенной точке Яс. Наглядная иллюстрация указанного принципа была получена в работе [26] при рассмотрении модели сплава ( 9.4 и рис. 9.9) вблизи особой частоты, отвечающей локальному колебанию в непрерывном спектре, была обнаружена бесконечно узкая щель. С другой стороны, представление о резком переходе обосновано недостаточно строго и нельзя сразу отбросить возможность возник- [c.427]

Что произойдет при пересечении края подвижности в результате изменения X или уменьшения степени беспорядка Экспоненциально локализованные функции расплывутся и распространятся на всю систему — может быть, пройдя через промежуточную стадию степенной локализации [90] ) на одной из стадий перехода несомненно возникновение весьма нерегулярных волновых функций (рис. 9.18) со случайным распределением локальных максимумов [91]. Неясно, однако, будет ли такой переход сопровождаться скачком подвижности как функции Я, как это было предложено Моттом [83, 92] и Моттом и Дэвисом [2.43], или же проводимость в области делокализованных состояний будет плавно возрастать от нуля [861 (рис. 9.19). К этому вопросу, более общему, чем модель Андерсона, мы еще вернемся в 9.11. [c.428]

Рис. 9.28. Различие уровней энергии в модели Андерсона приводит к разделению узлов на несколько типов. Если уровни энергии электрона на узлах разных типов отличаются друг от друга более чем на величину уУ, то переход электрона между такими узлами невозможен. Состояния локализованы или делокализованы в зависимости от того, возможно ли протекание по узлам

Для упорядоченной сетки это были бы, разумеется, функции Блоха, отвечающие гамильтониану При малых величинах д они оказываются очень близкими по форме к собственным функциям гамильтониана неупорядоченной системы, построенным в локальном базисе, и они почти точно ортогональны друг другу (ср. с 11.2). Таким образом, вблизи центра зоны Бриллюэна ход плотности состояний, отвечающий блоховским волнам, приближенно воспроизводится в модели стеклообразной сетки. Подобным же образом промодулированные знакопеременные функции типа (11.39) соответствуют участку спектра вблизи другого края зоны однозонного гамильтониана те же соображения справедливы и при переходе к представлению орбиталей связей [25]. Не лишне заметить, что функции типа модулированных волн (11.40) делокализованы, амплитуды их почти постоянны в образце. Если они и в самом деле удовлетворительно аппроксимируют собственные функции гамильтониана, то можно сделать вывод, что электроны в состояниях вблизи краев зон в модели тетраэдрического стекла не локализованы. Итак, хвосты зон и пороги подвижности, возникающие в модели Андерсона ( 9.9), не должны появляться в этих материалах ). [c.532]

Отметим, что применительно к динамическим системам с воздействиями, моделируемыми гауссовскими марковскими процессами, мы в части III разовьем другую технику статистического анализа. Касаясь же идеи аппроксимации марковских гауссовских воздействий другими моделями случайных процессов, представляется интересным и другой вариант аппроксимации — не суммой дихотомических, а одним телеграфным процессом Кубо — Андерсона с гауссовским распределением значений а. Такие процессы точно переходят в гауссовские в пределе белого шума (v -> с , o /v = onst) и в противоположном пределе (v ->-0, = onst). Можно думать поэтому, что и в промежуточной области значений v указанные процессы близктг по характеру своего действия. Действительно, как показано в [6] на примере осциллятора Кубо [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...