Уравнения жесткости глобальные для элемента

Уравнения жесткости глобальные 72 -- для элемента 45 [c.424]

Поскольку искомый параметр собственного значения Л (или со ) входит в коэффициенты матрицы разрешающих дифференциальных уравнений, то коэффициенты матрицы фундаментальных решений [см. (4.135)1, а следовательно, и коэффициенты матрицы жесткости [см. (4.136)1 будут иметь нелинейную зависимость от Л (или со ). В случае разбивки оболочки на короткие элементы для каждого элемента можно применить прием линеаризации матрицы жесткости по параметру собственного значения (см. 3.6)- и выделить для элемента матрицу, аналогичную матрице приведенных начальных напряжений (или матрице приведенных масс). В случае необходимости стыковки отдельных элементов в глобальной системе координат преобразования матриц и векторов выполняются в соответствии с зависимостями (4.103), (4.109), которые были приведены в предыдущем параграфе. [c.159]

После сложения энергии всех трещинных элементов с энергией элементов, моделирующих оставшуюся часть конструкции, получаем глобальную энергию, которая становится функцией глобальных перемещений узлов и одновременно коэффициентов интенсивности напряжений каждого из трещинных элементов. Алгебраические уравнения, описывающие как узловые перемещения, так и коэффициенты К всех сингулярных элементов, получают непосредственно из условия минимума глобальной энергии. С другой стороны, существует возможность исключить те коэффициенты интенсивности напряжений, которые являются общими для элементов, окружающих данный отрезок фронта трещины, и сформировать матрицу жесткости суперэлемента [16,17]. Полученный суперэлемент можно использовать в стандартных конечно-элементных программах обычным способом. [c.193]

В эффективных программах процедура построения глобальной матрицы жесткости использует сокращенную форму матриц элементов [УУН] при получении уравнений для элемента. Такой метод известен как метод прямой жесткости . Применение этого метода исключает необходимость хранения больших матриц элементов, содержащих всего несколько отличных от нуля коэффициентов. Процедура кодирования, которая описывается ниже, представлена в работе [4]. [c.106]

Существуют три основные группы методов построения алгебраических уравнений, отвечающих полному (глобальному) конечно-элементному представлению конструкций методы перемещений (жесткости), методы сил (податливости) и смешанные методы. Вид этих уравнений аналогичен виду уравнений для элемента, определенных в разд. 2.3. Данные группы методов соответствуют различным формам энергетических принципов, и в дальнейшем будет удобно разрабатывать эти методы, опираясь на энергетические подходы. В данной главе изучаются два различных подхода к построению одного и того же типа глобальных уравнений, а именно уравнений жесткости, в которых роль неизвестных величин играют перемещения в узлах. Чтобы реализовать эти подходы, требуется лишь знание алгебраической формы записи матрицы жесткости конечного элемента и обозначений, введенных в разд. 2.3. Сами же подходы заключаются попросту в учете условий равновесия и непрерывности перемещений в узлах для полной аналитической конечно-элементной модели. [c.69]

При построении глобальной матрицы жесткости не обязательно следовать методике, описанной в разд. 3.2. Одна из альтернатив заключается в образовании несвязанного массива, состояш,его из всех матриц жесткости элементов, и последующего введения связей между элементами посредством построения и применения преобразования координат, в котором степени свободы элементов и узлов включают преобразованные векторы. Назовем этот подход методом конгруэнтных преобразований. Рассмотрим сначала конструкцию, задаваемую с помощью р конечных элементов, для которых индивидуальные уравнения жесткости записываются в виде (3.1). Объединим уравнения жесткости элементов [c.80]

Выписанная система уравнений может быть непосредственно использована при построении глобальной системы уравнений, включающих в качестве неизвестных как обе силовые характеристики (Мх, Мз), так и перемещения (шь хю , 9ь 62). В этом частном случае можно с помощью уравнения для элемента получить известную матрицу жесткости для этого элемента. С этой целью решаем вначале уравнения, записанные в верхней части полной системы [c.197]

Применение вариационных принципов при формулировке соотношений для элемента позволяет, как показано в гл. 6, построить соотношения податливости, жесткости и смешанные соотношения. С помощью процедур из гл. 3 полученные таким образом соотношения жесткости можно непосредственно использовать для построения уравнений, описывающих поведение всей конструкции. Таким образом, может показаться, что вариационные принципы не потребуются в дальнейшем, кроме как для построения соотношений, описывающих отдельный элемент. В действительности же вариационные принципы чрезвычайно полезны и в некоторых вопросах глобального анализа конструкций. [c.205]

В гл. 6 изучался ряд подходов, альтернативных к традиционным и основанных на принципах минимума потенциальной и дополнительной энергии. Причем альтернативные подходы характеризовались смягчением условий непрерывности полей между элементами. Изложенные процедуры позволяли сформулировать для элемента самосогласованные соотношения, которые стыкуются с соотношениями соседних элементов, не требуя введения модификации в процедуру глобального анализа. Ниже описывается другой класс процедур, в которых условия на межэлементную непрерывность полей смягчены, но для реализации которых требуется выполнить специальные операции с глобальными уравнениями (и, в частности, наложить некоторые ограничения на глобальные уравнения жесткости). [c.215]

Здесь К — матрица жесткости системы, д — вектор узловых неизвестных (перемещений), а вектор Р представляет собой приведенную в узлы нагрузку от массовых и поверхностных сил. Для построения глобальной матрицы и глобальных векторов достаточно вычислить соответствующие объекты одного конечного элемента и, расположив их на соответствующих местах глобального массива, просуммировать. Это суммирование достигается формальными выкладками (таким же способом составляются, например, уравнения равновесия стержневых систем в строительной механике [179]). [c.632]

После анализа структуры уравнения равновесия в форме (3.83) можно отметить, что в правой части стоят внешние силы, действу- ющие в сечении / и сумма приведенных к узлу / поверхностных нагрузок, действующих на сопрягаемые элементы в левой части, стоят произведения матричных блоков МЖЭ и узловых степеней свободы. При формировании уравнений равновесия для /-го узла участвуют лишь блоки матриц жесткости элементов, у которых- первый индекс (по глобальной нумерации) равен /. Расположение этих блоков в /-Й матричной строке в общей системе уравнений рав- новесия (т. е. для всех узлов) определяется вторым индексом. [c.96]

При стыковке отдельных элементов с учетом однородных геометрических граничных условий формируются глобальная матрица жесткости и матрица приведенных начальных напряжений конструкции. При этом используются стандартные процедуры метода конечных элементов. Полученная система линейных уравнений, однородная относительно обобщенных перемещений для п-й гармоники разложения, представляет задачу на собственные значения. Для этой задачи ищется наименьшее по модулю собственное значение Ап. Критическое значение параметра нагружения Л определяется как наименьшее из всех Л , т. е. Л =min A . Соб- [c.147]

Все программы, реализующие метод конечных элементов, должны содержать предварительную информацию о числе уравнений, числе элементов и ширине полосы матрицы. Сведения о числе уравнений необходимы для того, чтобы в исходном состоянии глобальную матрицу жесткости и глобальный вектор нагрузки можно было заполнить нулями (предварительная чистка матриц), поскольку в процессе счета эти матрицы составляются путем суммирования. [c.116]

Альтернативным к описанному выше подходу, основанному на методе обобщенной потенциальной энергии, является подход [6.9, 6.101, в котором основные матрицы жесткости элементов [ко] определяются численно и суммируются, образуя глобальную матрицу жесткости без какой-либо корректировки соотношений, отражающих разрывность перемещений для отдельных элементов. Далее в виде ограничений выписываются соотношения, отражающие выполнение в среднем условий межэлементной непрерывности, и эти ограничения при помощи метода множителей Лагранжа добавляются к глобальным уравнениям. Так как этот подход правильнее отнести к процедуре анализа конструкции в целом, возвратимся к нему снова в гл. 7. [c.186]

Альтернативой к формулировкам на базе принципов минимума потенциальной и дополнительной энергии с непрерывными и разрывными полями на границе соседних элементов служат подходы, вытекающие из принципов минимума обобщенной потенциальной и дополнительной энергии, применение гибридных подходов и функционала со многими полями. Метод, опирающийся на принцип минимума обобщенной потенциальной энергии, используемый при построении соотношений для отдельного элемента, дает корректирующую матрицу жесткости элемента. В гл. 7 показано, что уравнения, соответствующие этой матрице, можно использовать и в глобальном конечно-элементном представлении, полученном на базе принципа минимума потенциальной энергии с разрывными вдоль границ элементов полями перемещений. [c.199]

Применение итерационных методов позволяет полностью использовать свойство разреженности матриц, поскольку алгоритмы этих методов не порождают новых ненулевых элементов и структура матрицы сохраняется. Одно из главных достоинств итерационных методов в сочетании с МКЭ заключается в том, что они допускают организацию алгоритма решения, при которой опускается операция формирования глобальной матрицы системы уравнений МКЭ. Это обстоятельство имеет большое значение при использовании конечных элементов с большим числом степеней свободы и послужило одной из причин развития градиентных методов при конечно-элементном анализе [25 J. К недостаткам итерационных методов относятся плохая или медленная сходимость для плохо обусловленных задач. Плохая обусловленность матрицы системы уравнений МКЭ встречается в разной степени и вызывается разными причинами. Одна из них — большие различия в жесткостях структурных компонентов в неоднородной конструкции. Неудобство итерационных методов также состоит в том, что для больших задач требуется большое число обращений к периферийной памяти ЭВМ. [c.126]

Итак, при построении алгоритми складчатой системы необходимо выделить особые узлы, трансформировать по типу (5) матрицы жесткости элементо.в, примыкающих к этим узлам. Последующая процедура обычна с учетом лишь того обстоятельства, что особым узлам будут соответствовать по три уравнения, и вследствие этого элементам, содержащим такие узлы, будут отвечать части глобальной М атр(ицы жесткости системы с 1несколько увеличенной шириной ленты. После решения системы уравнений задачи необходимо перейти от компонент смещений особых узлов по осям Xi к их компонентам по X/, связанным с каждой ячейкой, примыкающей к линии контакта пласвинок. Тогда при вычислении напряжений можно пользоваться матрицами напряжений для плоской области. [c.50]

Цель указанных рассмотрений состоит в обеспечении читателя достаточными средствами для построения глобальных уравнений на основе соотношений для элементов, устанавливаемых в последующих главах, а не в тщательном обзоре возможных средств построения уравнений в методе конечных элементов. Жесткостные представления выбраны для описания потому, что, с точки зрения автора, это наиболее простые и эффективные из известных представлений. Кроме того, необходимо добавить, что использование жест-костных представлений налагает мало ограничений (или вообще не вносит ограничений) на характер задания конкретных уравнений для конечного элемента. Это объясняется тем, что, как показано в разд. 2.6, если уравнения выведены в одной форме (например, в форме уравнений податливости), то их можно преобразовать к другому виду (в данном примере возможно преобразование в уравнени>1 жесткости). [c.69]

Существует много различающихся деталями вариантов построения глобальной системы уравнений жесткости. Рассматриваемые в данной главе подходы — это прямые методы жесткости и методы конгруэнтных преобразований. Изложив эти методы, в разд. 3.4 задержимся для того, чтобы сделать обзор преимуществ (и некоторых ограничений) метода конечных элементов как общей процедуры расчета конструкций. В разд. 3.5 перейдем к изучению специальных операций над глобальными уравнениями, при этом часть операций необходима, а часть полезна. Сюда входят разбиение на подконструкции, наложение ограничений и использование координат узлов. [c.70]

Уравнения связи — это соотношения между степенями свободы, задаваемые дополнительно к основным уравнениям жесткости. Простое задание условий закрепления, т. е. А =0, приводит к ограничениям, но, как было видно, его легко учесть непосредственно после построения глобальной матрицы жесткости. Целям настоящих рассмотрений более соответствует показанный на рис. 3.10 случай изгибаемого элемента, соединенного с твердым телом. Ясно, что на смещение узлов 1—5 наложены связи, препятствующие установлению линейного закона для смещения ш, которое диктуется угловым смещением нормали к срединной поверхности оболочечного элемента. Связи возникают и во многих других случаях, включая обсуждаемую в следующем разделе схему метода редуцированных подконструкций, некоторые подходы к расчету не- [c.93]

Проиллюстрируем прямой метод построения уравнений жесткост элемента на примере треугольного плоско-напряженного элемента изображенного на рис. 5.3 и 5.4. Элемент имеет постоянную тол щину 1, его материал изотропен, и для удобства рассмотрения эле мент расположен так, чтобы одна из его сторон лежала на оси л Этот иллюстративный пример заслуживает особого внимания, та как, во-первых, рассматривается более общее напряженное состоя нне (двумерное) и, во-вторых, получающиеся уравнения жесткост приводят к приближенным решениям дифференциальных уравне ний, определяющих задачи глобального анализа, и, в-третьих, изу чаемый элемент имеет первостепенное значение во всех областя практических приложений. [c.134]

Составим уравнение равновесия для всего стержня, изображенного иа рис. 1.34, объе динив соотношения для элементов 1и2, записанные с учетом (1.17). Так как стержень се стоит из нескольких элементов, то естественно предположить, что матрица жесткост всего стержня должна включать в себя матрицы жесткости образующих его элементов Как будет показано ниже, для данной задачи главные диагонали матриц жесткости элементов должны совпадать с главной диагональю глобальной (общей) матрицы жесткося всего стержня и состыковываться в узле 2 (см. рис. 1.34). [c.30]

Б эффективных программах процедура построения глобальн матрицы жесткости использует сокращенную форму матриц э ментов [№>] при получении уравнений для элемента. Такой мет известен как метод прямой жесткости . Применение этого мето исключает необходимость храпения больших матриц элементе содержащих всего несколько отличных от нуля коэффициент Процедура кодирования, которая описывается ниже, представл на в работе [4]. [c.106]

Подобное соотношение получают для каждого элемента, на которые разбита конструкция. После приравнивания узловых перемещений и суммирования уповых сил соседних элементов можно построить глобальную матрицу жесткости и вектор узловых сил всей системы. Для узлов, совпадающих с фанич-ным KoinypoM, удовлетворяются краевые условия. Полученная система уравнений однозначно определяет перемещения в ухтах, которые, в свою очередь, позволяют провести расчет напряженного состояния. [c.178]

В совокупности эти соотношения удовлетворяют всей необходимый в иеханике оболочек уравнениям и поэтому функционал (2.2) можно использовать. Главным достоинством такой постановкш явлнется то, что большинство неизвестных функций определяется локально для каждого элемента, а глобальными неизвестными являются только граничные перемещения. Это очень удобно при сборке элементов и составлении глобальной матрицы жесткости. [c.217]

После обработки всех элементов и установления связей векторов реакций с перемещениями (t = K q —Р , где — вектор-столбец реакций К — мартица жесткости q — вектор-столбец узловых обобщенных перемещений Р — вектор-столбец приведенных узловых сил е —номер конечного элемента) можно приступить к составлению уравнений равновесия узлов конструкции. В каждом узле сумма вкладов реакций от отдельных элементов, окружающих узел, должна равняться нулю. Причем должна равняться нулю любая составляющая обобщенных суммарных реакций, направление которой соответствует направлению обобщенного перемещения. Для обобщенного перемещения с номером ( (в глобальной нумерации) прирасняс , и лю ветствующую составляющую суммы реакций от окружающих данный узел элементов [c.283]

Существование симметрии в матрице ленточного типа позволя ет значительно сократить объем памяти, требуемой для хранения глобальной матрицы. Обычно при программировании предусматривается превращение матрицы, изображенной на фиг. 7.2, в прямо угольный массив, ширина которого совпадает с шириной полосы матрицы, а длина равна числу уравнений. Чтобы проиллюстрнро вать преимущество такого представления матрицы, допустим, что мы решаем задачу, которая включает 200 узловых неизвестных. Обычно при этом получается глобальная матрица жесткости, для хранения которой требуется 200X200, т. е. 40 000 единиц машинной памяти. Однако, если эта ленточная матрица имеет ширину полосы, равную 40, и хранится в виде прямоугольного массива, требуется уже только 8000 единиц машинной памяти для запо минания 40 столбцов по 200 элементов в каждом. Таким образом, загрузка машинной памяти сокращается на 20% по сравнению с загрузкой, требуемой при хранении квадратной матрицы. [c.110]

Следует отметить одно важное методологическое различие между изложенной выше методикой и прямым методом жесткости. Прямой метод жесткости позволяет получить каждое уравнение, непосредственно рассматривая равновесие узловых сил для каждой степени свободы. В подходе, основанном на принципе минимума по е 1циальной энергии, те же уравнения получаются в результате сложения энергий каждого элемента с учетом ключевой матрицы, позволяющей связать локальные и глобальные степени свободы,— матрицы [Л]. Последняя методика особенно ценна в ситуациях, когда силовые параметры, соответствующие определенным типам тепеией свободы, не имеют ясно выраженного физического смысла [c.207]

Идея МКЭ и алгоритм решения задачи о напряженно-деформированном состоянии с помощью МКЭ демонстрируются в гл. 1 на примере элементарных задач об осевой деформации стержня. Далее МКЭ излагается в гл. 2—6 применительно к задачам теплопроводности и термоупругости, причем выбор рассматриваемых в книге типов конечных элементов обусловлен конфигурацией таких подлежащих исследованию деталей тепловых двигателей, как поршни и цилиндровые втулки дизелей различного назначения. Параллельно с изложением алгоритма МКЭ демонстрируются реализующие эти алгоритмы программные модули комплекса, созданного автором и предназначенного специально для расчета деталей тепловых двигателей. Программы и программные комплексы записаны на языке Фортран, так что книга предполагает знакомство читателя с этим алгоритмическим языком. В книге большое внимание уделено вопросам рационального использования всех ресурсов ЭВМ и эффективной организации всего процесса вычислений при решении больших по размеру прикладных задач приводятся программы вычисления матриц жесткости, инвариантные к виду конечного элемента. В 1л. 7—8 приводится компактная схема организации формирования глобальной матрицы системы уравнений МКЭ, подробно излагаются приемы организации исходных данных, опыт реализации с использованием периферийной памяти схем метода Холецкого и метода сопряженных градиентов для решения больших систем уравнений МКЭ, С помощью разработанных программных комплексов автором выполнены исследования температурных полей и напряженно-деформированного состояния ряда деталей тепловых двигателей. Результаты этих исследований приведены в гл. 9—10 книги. В. Н. Николаевым написан п. 5 гл. 9, гл. 10 — совместно с канд. техн. наук М. В. Се-менченко. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...