Аппроксимация рядом Фурье

Аппроксимация рядом Фурье 253 [c.339]

ПОГРЕШНОСТИ ПРИ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИИ. Основными погрешностями при разложении периодических функций x t) в ряд Фурье являются погрешности, обусловленные тем, что берется не бесконечное, а ограниченное, конечное число гармоник. [c.61]

По такого типа формулам можно провести численные оценки энергии образования точечных дефектов с применением как аппроксимации энергий взаимодействия атомов конкретными потенциалами, так и метода разложения смещений в ряды Фурье, а также с использованием найденных величин атомных смещений (см. 3). Эти оценки показали [60, 63], что энергия релаксации рел в случае вакансии составляет небольшую часть от энергии образования (порядка нескольких процентов). Лишь в случае внедренного атома матрицы она мон ет достигать величины 60% от Е , При этом главная часть рел обусловлена смещениями лишь ближайших к дефекту атомных слоев. Большие значения рел для вакансии были найдены в [56]. [c.100]

При анализе колебаний машинного агрегата с ДВС в резонансных зонах наиболее рациональным является спектральное представление характеристики Mj в виде соответствующего тригонометрического ряда Фурье. Амплитудные и фазовые параметры этого ряда можно получить, следуя зависимости (2.42), если известны ряды Фурье периодических функций (q, р , Ры) и Характеристика q,Q) в форме (2.47) представлена своим рядом Фурье. Компоненты амплитудного Су и фазового спектров ряда Фурье характеристики Mjl q, рс, Pio) можно определить в виде аналитических зависимостей, используя аппроксимации (2.45) для безразмерных функций Kiq) и Siq) [c.41]

При воспроизведении характеристики может быть также применен метод кинематической аппроксимации, например рядами Фурье, гармоники которого воспроизводятся механическими или гидравлическими звеньями силовой системы. [c.425]

Рис. 10.9. Аппроксимация ступенчатой волны десятью членами ряда Фурье.

Рассмотрим теперь ряд примеров использования аппроксимаций второго порядка. Во всех случаях оба граничных контура будут описываться "через ряды Фурье, содержащие косинусы, с удержанием в них лишь нескольких первых основных членов. Определяется только основная форма колебаний пластинки. Более высокие формы колебаний могли бы быть также получены аналогичным образом, однако в этом случае член Wo в уравнении (4) должен иметь соответствующую форму для кругового кольца. Кроме того, предполагается, что точность аппроксимации высших форм колебаний будет меньше. [c.173]

При расположении полости целиком в одном из слоев структуры или в полупространстве, на малом удалении от границы, целесообразно использовать метод сведения задачи к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений [8, 9] с использованием аппроксимационного подхода при описании закона распределения контактных напряжений. При аппроксимации закона распределения напряжений под штампом точным образом учитывается порядок особенности в угловых точках штампа. Гладкая составляющая определяется в виде отрезка ряда по полной системе ортогональных функций с неопределенными коэффициентами. Наряду с этим используется метод коллокаций и естественное представление вспомогательных функций напряжения на цилиндрической поверхности в виде ряда Фурье. При усложнении постановки задачи возникают технические [c.316]

Для возможности дальнейшего преобразования системы уравнений движения (например, усреднения) необходимо найти аналитическое представление зависимостей аэродинамических коэффициентов от пространственного угла атаки а. В связи с этим часто прибегают к аппроксимации аэродинамических характеристик степенными или тригонометрическими рядами. Если аэродинамические характеристики задаются на всём интервале возможных значений угла атаки [0,тг], то целесообразнее использовать тригонометрические ряды. Как было отмечено в параграфе 1.1, зависимость Сг (у) является чётной, а зависимости с (о ), гпа (у) — нечётными, и их представления в виде отрезков рядов Фурье содержат члены соответственно по косинусам или по синусам [c.54]

Исследовалась также зависимость точности решения задачи от аппроксимации цо пространственной N и временной N/ координатам, а также от количества членов ряда Фурье Nf. На рис. 7.11—7.16 представлены значения максимального раскрытия трещины и максимального значения контактного деления [c.173]

Заметим, что при выполнении практических расчетов следуег параметры аппроксимации по пространственным координатам и времени, а также количество членов рядов Фурье выбирать из условий N 10, iV( 16, jVf 5. Причем, как показали расчеты, не следует стремиться к увеличению их значений, так как это не всегда ведет к увеличению точности расчетов, не говоря уже о затратах машинной памяти и времени счета. В частности, при увеличении значения приведенного волнового числа сходимость алгоритма расчета лучше при небольшом Nf. [c.175]

Характер аппроксимации. Тригонометрический ряд Фурье, так же как и ряд Фурье по любой системе функций (х), ортогональных на интервале разложения (а, 6), т. е. ряд [c.51]

Во-первых, предполагается, что усилия Т разбиваются соответственно на радиальные, окружные и осевые компоненты Т , T(t и T . Тогда, применяя стандартную процедуру разложения в ряд Фурье (см. 1П.7]), построим следующие аппроксимации [c.335]

В связи с относительной легкостью решения интегральных уравнений с вырожденными ядрами возникла идея аппроксимации произвольного ядра вырожденным с последующим решением такого аппроксимированного уравнения описанным способом. В качестве подобной аппроксимации можно использовать разложения ядра К(х, g) в ряды Тейлора и Фурье с ограничением на определенном члене ряда. Возникающая при такой аппроксимации ошибка анализируется в [Л. 117]. [c.217]

Фигурирующие здесь моменты точно определяются формулой (9.87). Поучительна также связь между аппроксимацией (9.39) и фурье-преобразованием (9.88). Заметим также, что, представив функцию Грина (9.92) в виде (9.44), мы можем получить разложение массового оператора в локаторный ряд (9.45), причем все диаграммы там будут неприводимыми. Таким образом, коэффициенты в непрерывной дроби (9.90) можно выразить через модифицированные моменты. Последние отличаются от обычных, опре- [c.410]

Для оценки степени опасности отдельных гармоник возмущающего усилия целесообразно после разложения его в ряд Фурье произвести сравнение отдельных гармоник. В качестве примера на рис. 38 приведены результаты такого разложения в ряд возмущающих усилий, обусловленных неоднородностью от кромочных следов для трех аппроксимаций нагрузки и разгрузки прямоугольной (верхняя кривая), треугольной (средняя кривая) и трапецеидальной (нижняя кривая). Пример выполнен для следующего случая [39] число сопловых каналов 2н=2б фиктивное число каналов 2ф=2/е, где е —степень парциальности 2ф=105,4 а — длина сегмента, рад, соответствующая одному каналу сопла. Из разложения следует, что частота гармоники с наибольшей амплитудой равна К п=105я. [c.83]

Анализ отклонения текущего размера. №менение текущего размера р(ф) дает правильное представление об изменениях отклонений радиуса диаметра поверхности детали по окружности в стыковом соединении. В качестве основного математического приема принимается аппроксимация точности разложением функционального допуска профиля в поперечном сечении в тригонометрический ряд Фурье для получения начальных (элементарных) со-ставляюпщх. Принимается номинальный профиль поперечного сечения цилиндрического корпуса, имеющего окружность с периметром Ь, истинным диаметром (1=2г с центром в точке О. В действительном профиле появляются отклонения (эксцентриситет, от круглости, волнистость), формирующие рельеф поверхности. Рассмотрим полярную систему координат с центром О", близким к О. Допустим, что отклонение профиля определяется при и значениях полярного угла (р = 2пт1п т=1, 2,. .., и значением радиуса р =р((р ). Полярное уравнение действительного профиля р = р(ср) представим тригонометрическим полиномом ряда Фурье [c.156]

На рис. 10.9 приведен наиболее убедительный пример—точность аппроксимации ступенчатой волны рядом Фурье с п = 10. Результирующее решение для окружного напряжения при 6 = 90° (рис. 10.10), обусловленного прохождением такой падающей продольной волны, сравнивается с решением Гарнета и Паскаля [59], в котором отсчет времени начинается в момент достижения фронтом волны левой границы полости. Максимальное значение окружного напряжения равно примерно —2.98 для безразмерного момента времени 3.5 в отличие от значения —2.67 для статического случая. [c.305]

Широкое распространение в технике получили детали, представляющие собой тела вращения со сложной геометрией меридионального сечения, нагруженные неосесимметрично. Для определения НДС такого класса объектов необходимо решение пространственной задачи механики сплошной среды. Применение МКЭ с трехмерной дискретизацией в декартовой системе координат не очень удобно в отношении аплроксимации геометрии в окружном направлении и решения, которое значительно сложнее, чем в цилиндрической системе координат. При использовании удобной для этих целей цилиндрической системы координат возникают проблемы, связанные с описанием смещений как твердого целого в направлении, перпендикулярном к оси вращения, при полиномиальной аппроксимации перемещений в МКЭ в окружном направлении. При этом необходимо применять специальные меры [70, 134], чтобы избежать фиктивных напряжений в конструкции. Эти проблемы не возникают при решении задачи с использованием так называемого ПМКЭ [62], в котором решение в окружном направлении описывается отрезком ряда Фурье, а в меридиональном направлении производится дискретизация конечными элементами. Для точного учета смещений как твердого целого в этом случае достаточно нулевой и первой гармоники. [c.156]

В статье разработан приближенный метод определения основных частот собственных колебаний пластинок со свободными круговыми вырезами. Внешняя граница пластинок предполагается неаначительно отличающейся oV круговой. Приближенные выражения для радиусов каждой ограничивающей кривой выражены через ряды Фурье. Граничные условия, записанные модифицированными рядами для формы кругового кольца, удовлетворяются приближенным образом на внутреннем и внешнем краях пластинки. Приближенное характеристическое уравнение (либо первого, либо второго порядка апйроксимации) получается в результате удовле творения граничным условиям, а основная частота колебаний определяет ся как первый корень соответствующего характеристического уравнения Для демонстрации решения, основанного на аппроксимации второго по рядка, определены приближенные частоты основной формы колебаний за щемленной эллиптической пластинки, квадратной пластинки с круговым вырезом и круговой пластинки с эксцентрическим круговым вырезом. Для последней также получено решение, основанное на аппроксимации первого порядка для основной формы колебаний. [c.165]

В статье изложен приближенный метод определения основной частоты колебаний некруговых пластинок со свободными вырезами в пределах второго порядка точности. Используемый метод является модификацией приближенного метода, предложенного Рэлеем для исследования свободных колебаний пластинок с вырезами. Уравнения второго порядка аппроксимации были использованы для получения собственных >застот колебаний защемленной эллиптической пластинки, квадратной пластинки со свободным круговым вырезом при различных значениях его радиуса и эксцентрической кольцевой пластинкц с различными значениями эксцентриситета. Исследование колебаний пластинок с вырезами, имеющими другие граничные кривые, может быть произведено аналогичным образом, при этом необходимо только получить выражение для этих границ в форме рядов Фурье. [c.178]

При помощи двух ЭВМ-программ, основанных- на методе ГИУ, было получено численное решение в случае нормальных напряжений, действующих вдоль оси симметрии короткого бруса. Этими программами были PESTIE и сходная с ней программа, использующая линейную аппроксимацию граничных значений. Численные результаты сопоставлены с решением, полученным при помощи рядов Фурье [8], что показано в табл. 2(a). Для обеих программ во всех точках наблюдается сравнительно хорошее совпадение с решением при помощи рядов. Решение в рядах испытывает колебания при изменении от 6 до 10. Можно предположить, что при этом было взято [c.141]

Для решения амплитудных уравнений в работах р2.23] применялся метод Джефриса Р], основанный на разложении амплитуд и и 0 в ряды Фурье по вертикальной координате г (именно этим и оправдывается выбор тригонометрической аппроксимации (6.18)). Минимальное критическое число Рэлея Рт и критическое волновое число кт зависят от параметра неоднородности у. При малых V (слабая неоднородность) и кт можно представить в виде разложений по степеням у- При этом оказывается, что в симметричном случае (обе границы свободные или обе твердые) эффект квадратичен [c.49]

В седьмой главе разработанные методы решения динамических контактных аадач теории упругости с одчостороннимн ограничениями для тел с трещинами использованы при решении задачи о взаимодействии плоской волны растяжения-сжатия с трещиной конечной длины в плоскости. Приведены уравнения, необходимые для математической постановки задачи. Эти уравнения являются следствием общих уравнений, полученных в предьщущих главах. Исследована зависимость точности решения от аппроксимации по пространственным координатам и по времени, а также от количества членов ряда Фурье разложения компонент напряжен-но-деформированиого состояния. Приведены также численные результаты и исследованы количественные и качественные эффекты, вызванные контактным взаимодействием берегов трещины. [c.7]

Если этот метод рассматривать с точки зрения теории аппроксимации функций, нетрудно видеть, что исходным в нем является представление аппроксимируемых функций параметрическими интегралами типа (4.3). Действительно, в нашей задаче аналитическая структура функций р (Я) известна и, следовательно, отсутствует надобность строить и навязывать оптическим характеристикам какие-либо иные аналитические конструкции, подобные, скажем, многочленам, рядам Фурье и т. п. Поэтому метод обратной задачи является численным методом аппроксимации функций, который реализует их главное аналитическое свойство, а именно представимость параметрическими интегралами. Следует заметить, что этб представление может принимать как форму интеграла Римана, так и Стилтьеса. Для обоих вариантов выше изложены соответствующие алгоритмы. [c.230]

Подобно тому как периодическая функция представляется рядом Фурье, т. е. линейной комбинацией функций sin vm/ и os (nt, можно попытаться осуществить аппроксимацию иного вида, основанную на использовании системы функций выбранной надлежащим образом. Это приводит к теореме Ритца [c.118]

После того как создана достаточно подробная качественная модель различных листов поверхности Ферми и произведена проверка этой модели по зависимости Р от ориентации в разных плоскостях вращения, модель должна быть задана в более точном количественном виде и должны быть определены ее параметры. Лучше всего, если поверхность может быть задана аналитическим выражением, з итывающим симметрию кристалла и содержащим только несколько параметров, которые находятся эмпирически При подгонке этого выражения к экспериментальным данным по частотам. Задать поверхность таким образом оказывается возможным только для нескольких металлов (например, с помощью разложения по кубическим гармоникам для щелочных металлов, разлоясения в ряды Фурье для благородных металлов или аппроксимации эллипсоидами в случае Ы). Преимущество такого способа заключается в том, что он дает простое объективное описание поверхности, не связанное с какой бы то ни было теорией зонной структуры. Правда, в последние годы расчеты зонных структур становятся эсе более надежными и возможен также иной подход (в некоторых случаях единственно применимый) — сопоставление измеренных значений Р с предсказаниями параметризованного расчета зонной структуры, параметры которого [например, фазовые сдвиги и энергия Ферми в методе Корринги — Кона — Ростокера (ККР) или набор коэффициентов псевдопотенциала] используются как подгоно ые при аппроксимации экспериментальных данных. Этот подход требует более сложных вычислений, так как переход к -спектру от принятых [c.225]

Исследованию одиночных вибраторов и вибраторных АР с линейной поляризацией посвящено много публикаций [1—4, 0.5, 0.8], на основе которых можно определить параметры математических моделей, описанных в гл. 3. В этих работах для получения системы линейных алгебраических уравнений, описывающих АР, используются различные аппроксимации тока в вибраторе одной или несколькими функциями, подобранными из физических соображений, отрезком ряда Фурье, набором кусоч-но-непрерывных функций и др. Аппроксимация распределения тока по вибраторам и их опорам полиномами или отрезками непрерывных функций [5] позволяет учесть влияние элементов крепления вибраторных излучателей на характеристики АР. Однако такая аппроксимация приводит к задаче большой размерности и ее ре-166 [c.166]

Для размещения периодической завихренности, во-первых, рассчитывается начальная аппроксимация средней линии в предположении бесконечного числа тонких профилей в решетке. Следующим шагом является рассмотрение решетки из нескольких профилей путем такого введения подходящих распределений вихрей и источников, периодических вдоль решетки, чтобы их интенсивность взаимно погашалась в области между профилями. При этом распределение циркуляции имеет явный максимум на профилях, ширина которого (представляющая толщину профиля) составляет, как правило, 10—20% от шага решетки. Используя метод Эккерета, Сойер [5.78] предложил распределения вихрей и источников для типичного профиля, которые для всей решетки можно аппроксимировать рядами Фурье. [c.157]

Методы аппроксимации граничн х условий. Если нам удалось найти решение, удовлетворяющее дифференциальному уравнению (103) и вместе с тем одному из граничных условий, то второе принятое условие может быть удовлетворено путем определения совокупности надлежаще выбранных параметров. При решении задачи 44 в качестве таких параметров были введены коэффициенты двух тригонометрических рядов, представляющих изменения краевых моментов пластинки. Разложение выражения для наклона dwfdN в ряд 2) Фурье было проведено с той целью, чтобы обратить этот наклон в нуль на контуре, как это требуется условиями задачи. Последнее условие дает возможность вычислить параметры. Для приближенного [c.389]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...