Траектория фазовая предельная

Изолированные замкнутые фазовые траектории (т. е. такие замкнутые траектории, в окрестности которых нет других замкнутых траекторий) называют предельными циклами. [c.25]

Нетрудно видеть, что множество предельных точек Z . ограниченной фазовой траектории x(i) не пусто и состоит из фазовых траекторий. Однако физически, т. е. с учетом неизбежных малых возмущений, приближение фазовой траектории к предельному множеству Ха будет наблюдаться лишь в том случае, когда — предельное множество не только для фазовой траектории x(i), но и для всех других фазовых траекторий, близких к Х . Если множество Ха обладает этим свойством асимптотической устойчивости, то оно является аттрактором. Простейшие аттракторы — это асимптотически устойчивые состояния равновесия и периодические движения. [c.124]

Таким образом, графическое определение возможности существования автоколебаний двухзонного типа осуществляется очень легко и не требует построения фазовой траектории и предельного цикла. [c.122]

Из фазовой диаграммы видно, что только фазовые траектории внутри предельного цикла наматываются на устойчивый фокус, соответствующий большому расходу. Если какое-либо возмущение выбьет изображающую точку за границы предельного цикла, то она различными путями, но обязательно перейдет в особую точку, соответствующую меньшему расходу. [c.86]

Это можно установить следующим образом. Если амплитуда X < 1, то 7 — х > О, и поэтому в системе при х < 1 действует отрицательное вязкое трение. Вследствие этого при х < 1 амплитуда колебаний возрастает, а в системе происходит накопление энергии. Если же х> 1, то 1—х < О, и трение делается положительным. Поэтому колебания большой амплитуды будут затухать, а малой нарастать. В системе должны установиться незатухающие колебания, к которым будут стремиться при ->оо все соседние движения. На фазовой плоскости будем иметь изолированную замкнутую траекторию — устойчивый предельный цикл, на который будут наматываться остальные траектории. [c.229]

Условие скачка можно получить и из рассмотрения разбиения фазовой плоскости полной системы на фазовые траектории в предельном случае (рис. 33). Обозначив, как обычно, х=у, запишем уравнения движения полной системы в виде [c.75]

Несколько примеров разбиений фазовой плоскости системы урав-не1 ий (10.15а) на траектории в предельном случае — 0 приведено на рис. 520—523. На рис. 520 изображен тот случай, когда на линии медленных движений (на линии Р+) имеется устойчивое состояние равновесия системы, которое и устанавливается после [c.761]

Между энергетической диаграммой и фазовым портретом существует тесная взаимосвязь. Если для осциллятора справедливо равенство AEd=AE (как при A=Ai на рис. 86), то возможны колебания постоянной амплитуды. На фазовом портрете колебательной системы такие чисто периодические колебания изображаются замкнутой фазовой траекторией,, которая пересекает ось х при значении x=Ai. Эту фазовую траекторию называют предельным циклом, потому что она представляет собой траекторию, к которой при i >oo асимптотически приближаются соседние фазовые траектории фазового портрета. Для всех фазовых траекторий, проходя- [c.109]

Предельным циклом называется изолированная замкнутая фазовая траектория, т. е. такая траектория, в сколь угодно малой окрестности которой отсутствуют другие замкнутые траектории. От предельного цикла следует отличать замкнутые траектории консервативных линейных систем. Для таких систем в сколь угодно малой окрестности одной замкнутой траектории имеются другие замкнутые траектории, соответствующие различным начальным условиям (см. рис. 7.8). [c.155]

Замкнутая фазовая траектория неустойчивого предельного цикла охватывает совокупность всех начальных значений <р и р, которые могут быть отработаны системой, или, другими словами, при которых система остается устойчивой. Таким образом, определяет максимальную угловую скорость КА, при которой система устойчива. Область устойчивости может быть расширена увеличением выходного напряжения ДУС или увеличением зоны нечувствительности вычислительного устройства. [c.214]

Замечание 2. У любой предельно ограниченной системы отсутствуют фазовые траектории, уходящие в бесконечность, но не любая система, у которой нет таких траекторий, является предельно ограниченной. Примером может служить динамическая система, фазовый портрет которой представлен на рис. 2.25. Согласно определению эта система не является предельно ограниченной, хотя ни одна ее фазовая траектория не уходит в бесконечность. [c.69]

Таким образом, в системе действительно совершаются периодически колебания с амплитудой изменения скорости, определяемой из (2.60 Этим колебаниям соответствует замкнутая фазовая траектория на плоско сти ф, ф (рис. 2.42), причем такая траектория единственная, так как фор мула (2.60) дает единственное значение для амплитуды скорости. Э траектория - устойчивый предельный цикл. [c.90]

Особые траектории разделяют фазовую плоскость на конечное число ячеек, поскольку из аналитичности правых частей системы (3.1) вытекает, что число особых траекторий конечно. Граница каждой ячейки состоит из особых траекторий, причем точки одной и той же траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. Все ячейки заполнены неособыми траекториями, поведение которых одинаково. Если все траектории, принадлежащие одной и той же ячейке, не замкнуты, то они имеют одни и те же предельные множества. Если же внутри какой-нибудь ячейки существует хотя бы одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадлежащие этой ячейке. Основной топологической характеристикой, отличающей одну ячейку от другой, является ее связность. [c.42]

Итак, если известны все состояния равновесия, предельные циклы и их характер, а также расположение сепаратрис, то это позволяет полностью установить топологическую структуру всех ячеек и их взаимное расположение, т. е. полностью выяснить структуру разбиения фазовой плоскости на траектории. [c.43]

Если замкнутая траектория на фазовой плоскости является изолированно , она называется предельным циклом. Наличие устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости говорит о том, что в системе возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы. Такие периодические движения А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, в которых возможны такие процессы, — автоколебательными [ 1 ]. В отличие от вынужденных или параметрических колебаний, возникновение автоколебаний не связано с действием периодической внешней силы или с периодическим изменением параметров системы. Автоколебания возникают за счет непериодических источников энергии и обусловлены внутренними связями и взаимодействиями в самой системе. Одним из признаков автоколебательной системы может служить присутствие так называемой обратной связи, которая управляет расходом энергии непериодического источника. Из всего сказанного непосредственно следует, что математическая модель автоколебательной системы должна быть грубой и существенно нелинейной. [c.46]

Наряду с устойчивыми предельными циклами фазовый портрет автоколебательной системы может содержать также неустойчивые предельные циклы, для которых /г > 0. Двигаясь в окрестности неустойчивого предельного цикла, изображающая точка постепенно удаляется от него. Обычно такой цикл играет роль границы между областями с различным поведением фазовых траекторий. [c.47]

ТО получим случай рождения двух предельных циклов из так называемого уплотнения фазовых траекторий. [c.52]

Если фазовая траектория при t->- оо стремится к предельному циклу, то соответствующая последовательность (4.4) будет иметь своей предельной точкой неподвижную точку S = S. И наоборот, из сходимости последовательности [c.72]

Диаграммы Ламерея на рис. 4.44 показывают, что в рассматриваемой системе все существующие периодические движения являются простыми (т. е. фазовая траектория предельного цикла замыкается после одного оборота). В системе не может быть сложных периодических движений в силу того, что кривые и = и (х) и и = и (т) непрерывны и ни в одной точке первого квадранта не имеют отрицательного наклона касательной. [c.117]

Предположим, что механическая энергия поступает непрерывно во времени из источника энергии и также непрерывно во времени возрастают сопротивления движению и увеличивается рассеяние энергии. В этом случае процессу самовозбуждения соответствуют спиралеобразные траектории изображающей точки на фазовой плоскости, асимптотически при /->-оо приближающиеся к некоторой замкнутой кривой, которая называется предельным циклом. Приближение к предельному циклу может происходить как из внутренних к нему точек, так и из внешних. Предельный [c.279]

Учет влияния членов высших степеней в разложении момента в уравне НИН (98) привел бы к заключению, что размахи колебаний маятника в действительности не растут неограниченно. Движение стремится к некоторому периодическому режиму, параметры которого не зависят от начальных условий. Соответствующая этому режиму фазовая траектория представляет замкнутую кривую (рис. 438, а), называемую устойчивым предельным циклом. [c.518]

На фазовой плоскости (ф, ф) рассматриваемому установившемуся периодическому движению соответствует замкнутая траектория (предельный цикл) [c.546]

Автоколебательные системы относятся к классу активных колебательных систем, определение которых было дано в 4.1. Однако, в отличие от активных систем, в которых вложение энергии можно однозначно описать с помощью отрицательного сопротивления и которые могут быть линейными и неконсервативными, автоколебательные системы принципиально нелинейны и неконсервативны. Это их свойство обусловливает возможность существования в автоколебательных системах стационарных по форме и величине колебаний, что в рамках представлений о фазовой плоскости означает наличие предельных циклов — асимптотических замкнутых фазовых траекторий. [c.186]

Из физических определений известно, что если система является автоколебательной, то в ней должен существовать стационарный колебательный процесс, который на фазовой плоскости соответствует замкнутой фазовой траектории, так как автоколебательную систему можно рассматривать как квазиконсервативную. Если автоколебания в системе устойчивы, то и замкнутая фазовая траектория также должна быть устойчива, т. е. к ней должны сходиться все фазовые траектории в близкой ее окрестности. Подобные предельные фазовые траектории называют предельными циклами. [c.197]

Основные отличия многомерных систем проявляются уже при переходе от двумерной системы к трехмерной, от двумерной фазовой плоскости к трехмерному фазовому пространству. Поведение фазовых траекторий в трехмерном фазовом пространстве может быть запутанным и не поддающимся непосредственному восприятию. Поэтому рассмотрение трехмерного фазового пространства во многих случаях следует сводить к двумерному точечному отображению, геометрическое изображение которого с помощью инвариантных кривых столь же наглядно, как и разбиение на траектории фазовой плоскости. Эти геометрические каргинки могут быть такими же, как и в случае дифференциальных уравнений без предельных циклов, либо с существенными отличиями, которые вызываются пересечениями сепаратрисиых кривых седловых равновесий, образующими голюоинцческце структуры 4, 45]. Эти отличия существенны, так как соответствуют совершенно разным типам поведения системы. При наличии гомоклинической структуры установившиеся движения системы могут иметь стохастический характер. В частности, как некоторые аналогии периодического движения появляются так называемые стохастические синхронизмы. Стохастический синхронизм —- это автоколебание со стохастически меняющейся фазой. Соответствующая ему фазовая картина изображена на рис, 18. [c.96]

Геометрическим местом точек фазового пространства, имеющих своими предельными точками при /->-00 предельный цикл, будет незамкнутая поверхность, проходящая через предельный цикл [3]. Она делит фазовое пространство на две части Содержащую начало координат (внутреннюю) и не содержаи1ую его (внешнюю). Внутренняя часть заполнена траекториями, имеющими предельную точку — состояние равновесия эта часть и является областью притяжения последнего Внешняя часть заполнена траекториями, имеющими предельные точки в бесконечности. Это означает, что если начальное отклонение от точки (О, 0) гаково, что изображающая точка не вышла из границ внутренней области, то в системе установится равновесный режим, если же начальное отклонение настолько велико, что изображающая точка перешла во внешнюю область, то отклонение с течением времени будет неограниченно возрастать. Если параметры системы связаны противоположным неравенству (31) соотношением, то в фазовом пространстве также существует неустойчивое периодическое движение. [c.183]

Выясним расположение кривой Яо относительно кривых Я+ и Я в иредноложении отсутствия двойников . Если при возрастании Я нетля сепаратрисы вокруг цилиндра возникает и затем разрушается прежде, чем появляется двойной предельный цикл, то возникает разбиение фазового пространства на траектории без предельных циклов со-сепаратриса седла, выходящая на верхний полуцилиндр, накручивается на цилиндр, уходя в бесконечность. При дальнейшем возрастании Я предельные циклы возникнуть уже не могут, так как с возрастанием Я ноле поворачивается по часовой стрелке и шаг спиралей на верхнем полуцилиндре при этом только увеличивается. Никакая часть кривой Яо не может располагаться ниже кривой Я+. Поэтому кривые Яо и Я не могут пересекаться. [c.344]

В диссипативных системах дело обстоит иначе. В фазовой пространстве имеется некоторое предельное и инвариантное множество состояний, к которым притягиваются все траектории фазовой капли. Поэтому асимптотически при (->-оо движение системы происходит на этой предельном множестве. Хаотическое движение в диссипативных системах также реализуется на этом множестве, которое имеет хаусдорфову размерность, меньшую чем размерность всего фазового пространства (подробнее об этом си. ниже). Это предельное притягивающее множество, возникающее при стохастическом движении диссипативных систем, было названо странный аттрактором [202]. В гамильтоновом случае имеет место некоторая предельная ситуация, в которой странным аттрактором является все фазовое пространство (это будет доказано позже). [c.251]

Траектория, образующая предельный цикл , занимает в фазовом пространстве область, соответствукэщую всевозможным наборам начальных фаз колебаний осцилляторов, и с течением времени проходит практйЧески через все точки этой области. Действительно, в моменты времени — 2яп/юь п = О, 1,2,..., в которые. фаза ф1 ( ) а принимает значение аи фаза [c.145]

Интересно отметить, что граница, разделяющая области притяжения предельного цикла и интервала состояний равновесия, не является неустойчивым предельным циклом, как это было в ранее рассмотренных динамических системах с плоской фазовой поверхностью. Этой границей являются фазовые траектории, проходящие через пограничные точки интервала состояний равновесия. Такая сравнительно необычная структура разбиения на траектории фазовой поверхности рассматриваемой сейчас системы обусловлена, конечно, многолистно-стью этой поверхности. [c.619]

Разбиение фазовой плоскости i, и на траектории для предельного случая С—.+0 дано на рис. 519, а все траектории быстрых движений ( скачков напряжения и при г = onst) идут на фазовую прямую и = —Ri системы без емкости. [c.753]

Существенно, что характер поведения кривой S = f (s) вблизи точки = S полностью определяется характером поведения фазовых траекторий вблизи соответствующего этой точке предельно1о цикла. Это позволяет сформулировать на языке точечных преобразований условие устойчивости предельного цикла. Рассмотрим последовательность точек, определяемую соотношениями [c.72]

Ламерея , построенная на этих кривых, может содержать самое большее две ступеньки . Это означает, что при любых начальных условиях изображающая точка попадает на отрезок (4.49) скользящих движений не более чем после двух пересечений граничной прямой д + Ру = 0. Соответствующее разбиение фазовой плоскости ху на траектории для рассматриваемого случая О < р < 1 показано на рис. 4..38. Рассмотрение случая р<0 проводится аналогично. Функция последования по-прежнему определяется соотношениями (4.51), а диаграмма Ламерея имеет вид, показанный на рис. 4.39. Таким образом, в случае Р < О точечное отображение (4.51) имеет единственную неподвижную точку, которая является устойчивой. На фазовой плоскости ху этой точке соответствует устойчивый предельный цикл, распо.по/ <-Рнный симметрично относительно начала координат (рис. 4.40). При эгом режи.ме корабль [c.108]

Следует подчеркнуть, что в изложенном методе Льенара, учитывающем нелинейную зависимость силы трения от скорости (или обратной э. д.с. на сопротивлении от силы тока) нужно знать лишь ее графическое изображение, которое может быть получено и экспериментально. При этом построении, очевидно, нет никаких существенных ограничений на вид функции потерь ф (у) и ее мгновенное значение, так что данный метод с одинаковым успехом применим как к случаю малых, так и к случаю больших потерь, а также к системам с большой и малой нелинейностью в диссипативном элементе. Последнее обстоятельство придает методу Льенара большую общность и позволяет с его помощью изучать колебательные свойства систем при изменении затухания от малых до весьма больших значений и с учетом различных законов трения (как линейного, так и существенно нелинейных законов). Заметим, что метод Льенара широко используется для построений фазовых портретов автоколебательных систем с разными законами нелинейности, а именно для нахождения устойчивых предельных циклов — замкнутых фазовых траекторий. [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...