Неподвижная точка и предельный цикл

Неподвижная точка и предельный цикл. Построим кривые [c.526]

Неподвижные точки и предельные циклы. Для отыскания неподвижных точек преобразования П = П1 (а следовательно, и предельных циклов), а также для исследования их устойчивости построим на одной плоскости графики функций соответствия (8.27) и [c.534]

В одномерном случае существуют только устойчивые неподвижные точки, для которых показатели Ляпунова К отрицательны (—). В двумерном случае возможны, как строго доказано в математике, аттракторы лишь двух типов устойчивые особые (неподвижные) точки и предельные циклы. Если аттрактор — устойчивая особая точка (фокус), то два показателя Ляпунова (которые могут, в частности, совпадать) отрицательны (—, —). Если аттрактор — устойчивый предельный цикл, то, как будет показано в дальнейшем, показатель Ляпунова, соответствующий возмущению бд, которое трансверсально предельному циклу до (/), отрицателен (устойчивость ), в то время как показатель Ляпунова, соответствующий возмущению бд в тангенциальном направлении, равен нулю. Следовательно, (Я , 2) = (—, 0). Может представиться патологический случай, когда (Я , Я2) = (—, 0), но существует не предельный цикл, а линия, заполненная особыми точками. [c.72]

Наоборот, неподвижную точку мы будем называть неустойчивой, если в любой сколь угодно малой ее окрестности найдется (хотя бы одна) такая точка 5, что последовательность 5, 1, не сходится к 5. Она, очевидно, соответствует неустойчивому предельному циклу, так как суш,ествование таких последовательностей точек, начинающихся в любой сколь угодно малой окрестности неподвижной точки и не сходящихся к ней, говорит о наличии в сколь угодно малой окрестности предельного цикла фазовых траекторий, уходящих от него при [c.333]

Рассмотрим фазовую траекторию, выходящую из некоторой точки 5 полупрямой 5. Эта траектория, пройдя по области (/), пересечет полупрямую в точке 5 и затем, если т. е. если фазовые траектории в области (//) являются спиралями, вновь выйдет на полупрямую 5 в некоторой точке (рис. 350). Тем самым фазовые траектории при 0< Й2< 1 осуществляют точечное преобразование полупрямой 5 самой в себя, ставя во взаимно-однозначное и непрерывное соответствие точки 5 и 51 этой полупрямой. Неподвижная точка этого преобразования, очевидно, является точкой пересечения предельного цикла с полупрямой 5. [c.509]

Тз —. О (при этом неподвижная точка, а вместе с ней и предельный цикл уходят в бесконечность). [c.528]

При переходе на неподвижную плоскость Оху предельные циклы радиусов на плоскости ОаЬ остаются предельными циклами и на плоскости Оху. По этим циклам изображающая точке будет двигаться согласно уравнениям > [c.514]

Тот же самый вид имеют и формулы точечного преобразования луча Х= 1, >0 в луч -1, < О, ибо фазовые траектории на листе (II) симметричны траекториям на листе (I) относительно начала координат. Поэтому и предельный цикл (если он существует) будет симметричным, а соответствующая ему неподвижная точка 5 определится из условия 5 =5,=5. Формулы (6.29) при = 5 дают единственную непод- [c.163]

Если фазовая траектория при t->- оо стремится к предельному циклу, то соответствующая последовательность (4.4) будет иметь своей предельной точкой неподвижную точку S = S. И наоборот, из сходимости последовательности [c.72]

В семействе (2 ) при переходе параметра слева направо через О происходит мягкая потеря устойчивости. А именно, при е 0 неподвижная точка О ростка fe устойчива. При е>0 она теряет устойчивость, но возникает устойчивый цикл периода 2 пара точек, близких к Уе, переставляемых диффеоморфизмом /е. Для диффеоморфизма каждая из этих точек неподвижна и устойчива. Этой перестройке соответствует мягкая потеря устойчивости предельным циклом (в предположении, что при 6 0 все остальные мультипликаторы по модулю меньше 1). При е>0 исходный цикл сохраняется, но становится неустойчивым, а рядом с ним на расстоянии порядка Уе появляется устойчивый предельный цикл примерно вдвое большего периода (рис. 18. ) [c.45]

Предельных циклов. Пусть периодическому движению соответствует т-кратная неподвижная точка М. Рассмотрим некоторую точку Мо в окрестности точки М И воздействуем на нее оператором точечного отображения T . Тогда получим точку На точку Ml снова подействуем оператором Г и получим точку и т. Д. Если предельный цикл асимптотически устойчив, то [c.93]

Но тогда при R ф I и Y О одновременно точечное отображение сжимающее, и согласно теореме Брауэра [121 на полупрямой > О, дг = О существует единственная неподвижная точка точечного отображения Т ,. Это и доказывает, что в системе всегда существует единственный разрывный предельный цикл (разрывный — в силу гипотезы о мгновенном ударе частицы об электроды конденсатора). [c.187]

Во втором случае, когда слияние устойчивой и неустойчивой неподвижных точек происходит выше точки А, странный аттрактор существовал и до перехода наряду с устойчивым предельным циклом- Поскольку слияние устойчивого цикла с неустойчивым происходит вне области аттрактора, перемежаемости не возникает. При изменении параметра в обратную сторону должен наблюдаться гистерезис, характерный для жестких переходов. [c.264]

Система Лоренца. Возникает вопрос возможно ли хаотическое поведение реальных динамических систем в ограниченной области фазового пространства В системах с одной степенью свободы хаотическое движение невозможно. Действительно, стохастичность возникает при перепутывании и расходимости траекторий. Однако, в силу того что фазовые траектории не пересекаются, единственно возможными аттракторами в ограниченной области являются предельные циклы и неподвижные точки. Ситуация меняется в случае трехмерного фазового пространства (система с 1, 5 степенями свободы). До недавнего времени никто, например, не сомневался в том, что в принципе можно достичь точного прогноза погоды, обработав достаточное количество информации. От этого подхода пришлось отказаться благодаря поразительному открытию детерминированные системы с малым числом степеней свободы ведут себя хаотически, причем случайное поведение имеет принципиальный характер — от него нельзя избавиться, собирая больше информации. Здесь случайный процесс определяется вероятностью того, что динамическая переменная может принять любое значение из некоторой области фазового пространства. [c.179]

Для значений т], близких к 1 — г (т] = 1 — г — асимптота для и=-и(г])), будет и>и. Точка пересечения кривых и = и ц) и у = 1 (т]) будет поэтому существовать, если г/1 < Уо. Граница области существования неподвижной точки преобразования и соответствующего ей устойчивого предельного цикла определяется условием г/1 = г/о. [c.407]

Для ограниченного двумерного потока на плоскости, согласно теореме Пуанкаре—Бендиксона, имеются только два типа аттракторов 1) устойчивые неподвижные точки, или устойчивые фокусы, и 2) простые замкнутые кривые, или предельные циклы (кривая на рис. 7.1). Покажем, как образуется предельный цикл для системы [c.416]

Введем фазу в качестве новой независимой переменной (нового времени). Рассмотрим два отображения в себя То — отображение сдвига за (новое) время 2я для усредненной системы. Г —такое же отображение для точной системы, преобразованной с помощью замены переменных первого приближения, построенной в пункте 1.2. Отображения То и Т сдвигают точку на величину порядка е, а отличаются друг от друга на величину порядка е. У отображения То имеется невырожденная неподвижная точка J,. По теореме о неявной функции у отображения Т при достаточно малом е имеется неподвижная точка /=/,+0(е). Очевидно она служит начальным условием для искомого предельного цикла. > [c.163]

Для выяснения устойчивости найденного предельного цикла построим на единой диаграмме кривые г = г ( ) и = г 1 ( ) (если по оси ординат откладывать не г и г 1, а и г ,, то мы получим две прямые, изображенные на рис. 147). Точка их пересечения является неподвижной точкой точечного преобразования. Зада- /и =г11 Г)Ц-1) димся любым V (на рис. 147 для определенности взято г г ) по прямой (3.43а) определим и затем по прямой (3.436) определим по как по новой, исходной точке преобразования найдем и и т. д. Построенная лестница Ламерея сходится к неподвижной точке в силу того обстоятельства, что прямая г/ = [c.221]

И наоборот, из сходимости последовательности (5) к неподвижной точке 5 мы можем сделать вывод, что соответствующая ей фазовая траектория стремится к предельному циклу при /->--[-00. [c.332]

Если траектория L стремится к Lq при t - +00 то последовательность (1) стремится к S, и, наоборот, если последовательность (1) стремится к S, то траектория L стремится к о. Неподвижная точка S точечного отображения s=f s) называется устойчивой, если существует такая ее окрестность, что все последовательности вида (1) с начальными точками si в этой окрестности стремятся к этой точке, и неустойчивой, если в любой сколь угодно малой ее окрестности найдется хотя бы одна такая точка, что соответствующая последовательность не сходится к этой точке. Устойчивому предельному циклу соответствует устойчивая неподвижная точка отображения, а неустойчивому или полуустойчиво-му (см. 4)— неустойчивая точка. [c.97]

Устойчивость неподвижной точки и соответствующего предельного цикла нетрудно определить, пользуясь теоремой Кенигса и заметив, что в неподвижной точке [c.506]

Качественное исследование системы (П.22) состоит в изучении основных элементе фазового портрета - особых точек, сепаратрис и предельных циклов. Но замкнутые фазовы траектории (в частности, предельные циклы) на фазовом цилиндре могут быть двух типов охватывающие и не охватывающие цилиндр. Для изучения замкнутых траекторий второ типа пригодны все методы и результаты, изложенные выше для систем на фазовой плоскости Отыскание предельных циклов, охватывающих цилиндр, можно проводить с помощь точечного преобразования какой-либо образующей цилиндра 0 = бц в себя. Если через точки некоторого отрезка образующей 0 = Оц проходят фазовые траектории, охватывающие цилиндр (рис. П. 9), то эти точки имеют последующие на том же отрезке, и можно пытаться построить функцию последования у = / у) данного точечного преобразования. (Как и в случае фазовой плоскости, вычисление функции последования наиболее просто Щ)оводигся для кусочно-линейных систем.) Неподвижные точки у, определяемые уравнением у = / у), являются точками пересечения [c.337]

Следовательно, график функцнй последования для Т, имеет вид, показанный на рис. 4.30. Нанесем теперь найденные кривые для точечных отображений и на одной диаграмме, тогда получим диаграмму Ламерея, показанную на рис. 4.31. Проведенное исследование показывает, что в рассматриваемом случае (О < < оо, О < 2 < 1) существует единственная неподвижная точка отображения Т = Ti-Ta, которая является глобально устойчивой. Таким образом, на фазовой плоскости ху имеется только один предельный цикл, устойчивый в большом, т, е. к этому [c.103]

Бифуркации орбит диффеоморфизмов в главном семействе (1+) изобр1ажены на рис. 17. При отклонении е вправо от нуля неподвижная точка исчезает, а при отклонении влево распадается на две гиперболические притягивающую н отталкивающую. Этой перестройке в соответствующем семействе дифференциальных уравнений на плоскости отвечает столкновение двух предельных циклов — устойчивого и неустойчивого с образованием на мгновение полуустойчивого цикла и последующим его исчезновением при е>0. [c.44]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

Кроме указанных бифуркаций, в сшитых системах могут быть также некоторые специфические для таких систем бифуркации. В силу того, что в сшитых системах аналогами состояний равновесия могут быть дуги притяжения или отталкивания (см. рис. 193, а), состоящие из неподвижных точек, илп область, заполненная замкнутыми траекториями, и т. п., то, естественно, встречаются также бифуркации таких образований, аналогичные рождению предельного цикла из фокуса. Однако мы не будел их здесь рассматривать особо, а рассмотрим их, если они встретятся в конкретных примерах. Ниже мы приведем рассмотрение некоторых из перечисленных выше простейших бифуркаций. [c.368]

Для разыскания предельных циклов, охватываюш их фазовый цилиндр, нужно рассмотреть преобразование Ь = 1 Ьг, ото-бражаюш ее полупрямую 1 в <5з (8з отождествляется с б" ) по траекториям системы. Неподвижным точкам этого преобразования соответствуют предельные циклы, охватываюш ие цилиндр и расположенные в верхней части фазового цилиндра у > 0. Для отыскания этих неподвижных точек надо найти точки пересечения кривых <51 = <51 (<52) и <5з = <5з(<52), рассматривая кривые на совмещенных плоскостях ( 2, <5 и (8г, 8з) (рис. 209). [c.401]

В общем случае отображение имеет много инвариантных распределений. Из них выделенным является равновесное распределение, которое получается итерированием отображения и для которого среднее по времени равно фазовому среднему. Для предельного цикла периода п распределение дискретно и представляет собой сумму б-функций в неподвижных точках с коэффициентом 1/п. Для хаотического движения распределение Р (х) может быть разрывным, однако в типичном случае имеются конечные интервалы по л с ненулевым Р (х). [c.444]

Следовательно, при любом движении балансира в последовательности его скоростей V, Юх, г, , г з,. .. в моменты смены контактирующей палетты каждая последующая скорость определяется предыдущей найденной функцией последования. Это дает возможность проследить за ходом любой выбранной фазовой траектории. Неподвижная точка V точечного преобразования, т. е. точка, для которой г) = г = гi, очевидно, соответствует симметричному предельному циклу, являясь точками пересечения этого предельного цикла с полупрямыми (г ) и V ). Для неподвижной точки имеем [c.220]

Соотношения (3.51 а) и (3.51 б) являются функцией последования для рассматриваемого точечного преобразования, записанной опять в параметрической форме функция последования для точечного преобразования полупрямой (г ) в полупрямую (г>), осуществляемого фазовыми траекториями на листе (II), имеет тот же вид в силу указанной выше симметрии фазовых траекторий на листах (/) и (11). Эта функция последования определяет в последовательности точек пересечения любой выбранной фазовой траектории с полупрямыми (г ) и (г ) (в последовательности V, , г 2,. ..) каждую последующую точку по предыдущей. Неподвижная точка преобразования г (для нее г = г , = ) Соответствует симметричному предельному циклу (рис. 151). [c.225]

Существенно, что функция последования позволяет не только найти предельные циклы, но и решить вопрос об их устойчивости, так как характер ее поведения вблизи неподвижной точки полностью [c.332]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...