Фазовая плоскость системы

Пусть плоскость ху будет фазовой плоскостью системы уравнений (6.13). Выясним, в каком случае при достаточно малом 1-1 движение динамической системы будет происходить в окрестности кривой Q (х, у) = О, т. е. в каком случае. можно не учитывать малых параметров при составлении уравнений движения. В соответствии с уравнениями (6.13) имеем [c.225]

Продолжаем уравнение (7.40) из области 1 на всю фазовую плоскость системы (ху, х ). Сопряженное ему уравнение имеет вид [c.290]

На фазовой плоскости системы (3.23) рождается предельный цикл его фазовый портрет и осциллограмма колебаний скорости показаны на рис. 3.4. Релаксационные колебания происходят при S, +1 > D] >0 в следующих ситуациях [c.94]

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ СИСТЕМЫ [c.98]

I графическому методу построена фазовая плоскость системы в слу- 0,88 чае дросселя, установленного на входе и на выходе. Построение по- g g2 называет, что система на режиме рис. 5.7 динамически устойчива и что параметры воздуха в ресивере очень быстро (с точки зрения числа колебаний) приближаются к их равновесным значениям. [c.179]

И система, и функция х + у определены во всей фазовой плоскости Система х = х, у = у имеет локальный первый интеграл С х, у) = у/х, определенный всюду за исключением прямой х = 0. Глобальных первых интегралов у этой системы нет. [c.120]

В главе 2 (следствие из леммы 2.6) показано, что вокруг точек (А я,0), А е2, (как в полосе П, так и в полосе П ) не существует замкнутой характеристики векторного поля системы (1.17), т.е. не существует простых и сложных предельных циклов. В силу наличия двух видов симметрий, на фазовой плоскости системы (1.17) вообще не существуют замкнутые характеристики, стягиваемые по фазовому цилиндру в точку. [c.165]

Если хотим найти приближенное расположение исходящей из точки ( о> Уо) дуги положительной полутраектории на фазовой плоскости системы [c.566]

На плоскости х, у) (т. е. на фазовой плоскости системы (40)) эта система задает векторное поле, примерно изображенное на рис. 8, а при [c.43]

Пример. В случае ге = 1 это — фазовая плоскость системы f = --, рассмотренной в 4. [c.65]

Имеется в виду сохранение не энергии, а площади на фазовой плоскости системы х, х). Заметим, что последнее сразу следует из того, что при / = О рассматриваемая система является гамильтоновой (1.3.28) в переменных X, X.— Прим. ред. [c.45]

Учет высокочастотных диссипации н дисперсии позволяет исследовать характер изменения поля на фронте ударной волны, т. е. структуру разрыва, в рамках приближения стационарной волны. Поскольку вне ударного фронта все переменные в среде меняются очень медленно, можно считать, что они вообще остаются постоянными, т. е. этим значениям соответствуют состояния равновесия на фазовой плоскости системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей стационарные волны. Тогда задача исследования структуры фронта ударной волны сводится к нахождению той единственной фазовой траектории, которая соединяет эти состояния равновесия. [c.392]

На рис. 405 изображено разбиение на траектории фазовой плоскости системы судно- -двухпозиционный авторулевой с жесткой обратной связью. Можно показать, например, путем сведения задачи к некоторому точечному преобразованию прямой в прямую, что все траектории при ->- -оо стремятся к устойчивому состоянию равновесия лг = 0. Это означает, что судно при любых начальных условиях будет выходить на заданный курс, причем на последнем этапе 19 Теория колебаний [c.577]

Несколько примеров разбиений фазовой плоскости системы урав-не1 ий (10.15а) на траектории в предельном случае — 0 приведено на рис. 520—523. На рис. 520 изображен тот случай, когда на линии медленных движений (на линии Р+) имеется устойчивое состояние равновесия системы, которое и устанавливается после [c.761]

Рассмотрим произвольную автономную систему дифференциальных уравнений (1) на плоскости. Будем сопоставлять данной системе уравнение, фазовые траектории которого параметризованы по-другому, а также последние отображены с расширенной фазовой плоскости системы на сферу Римана (или Пуанкаре). При этом, как уже отмечалось, бесконечно удаленные точки перейдут в северный полюс сферы. [c.222]

Если известна совокупность интегральных кривых на фазовой плоскости системы, то нетрудно охватить всю картину возможных движений при различных начальных условиях. В данном случае это сделать легко, так как переменные в (2.39) разделяются и из (2.39) легко находится первый интеграл [c.79]

На фазовой плоскости системы [c.148]

Построим график функции V (q) и ниже него изобразим фазовую плоскость q, q системы (рис. VI.9). Точки, соответствующие положениям устойчивого и неустойчивого равновесия, отмечены на фазовой плоскости точкой и крестиком. Зададим поочередно Ш. [c.229]

В простейшем случае фазовая поверхность представляет собою обычную плоскость с декартовыми координатами л , у, а функции Р х, у) я Q х, у) являются аналитическими на всей плоскости. Основная задача исследования динамической системы состоит в том, чтобы выяснить качественную картину разбиения фазовой плоскости на траектории [c.41]

Особые траектории разделяют фазовую плоскость на конечное число ячеек, поскольку из аналитичности правых частей системы (3.1) вытекает, что число особых траекторий конечно. Граница каждой ячейки состоит из особых траекторий, причем точки одной и той же траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. Все ячейки заполнены неособыми траекториями, поведение которых одинаково. Если все траектории, принадлежащие одной и той же ячейке, не замкнуты, то они имеют одни и те же предельные множества. Если же внутри какой-нибудь ячейки существует хотя бы одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадлежащие этой ячейке. Основной топологической характеристикой, отличающей одну ячейку от другой, является ее связность. [c.42]

Из всего многообразия динамических систем второго порядка полезно выделить системы, в которых может осуществляться периодическое изменение состояния системы. На фазовой плоскости периодическому движению соответствует замкнутая траектория. Если эта замкнутая траектория является одной из континуума вложенных одна в другую кривых, то мы имеем дело с консервативной системой. В такой системе период и амплитуда периодических колебаний зависят от начальных условий, а сама система является негрубой. [c.46]

Если замкнутая траектория на фазовой плоскости является изолированно , она называется предельным циклом. Наличие устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости говорит о том, что в системе возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы. Такие периодические движения А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, в которых возможны такие процессы, — автоколебательными [ 1 ]. В отличие от вынужденных или параметрических колебаний, возникновение автоколебаний не связано с действием периодической внешней силы или с периодическим изменением параметров системы. Автоколебания возникают за счет непериодических источников энергии и обусловлены внутренними связями и взаимодействиями в самой системе. Одним из признаков автоколебательной системы может служить присутствие так называемой обратной связи, которая управляет расходом энергии непериодического источника. Из всего сказанного непосредственно следует, что математическая модель автоколебательной системы должна быть грубой и существенно нелинейной. [c.46]

Эти критерии относятся к системе дифференциальных уравнений (3.1), правые части которых являются аналитическими функциями на всей фазовой плоскости. Сформулируем сначала критерий Бендиксона, указывающий достаточное условие отсутствия замкнутых контуров, целиком составленных из фазовых траекторий если в некоторой односвязной области на фазовой плоскости выражение [c.48]

Заметим, что в автономной системе второго порядка, состояние которой изображается точками на фазовом круговом цилиндре, может встретиться новый тип бифуркации, который невозможен в случае фазовой плоскости, а именно бифуркация, связанная с рождением или исчезновением предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр. В отличие от фазовой плоскости, где устойчивый предельный цикл отображает автоколебательное движение в системе, устойчивый предельный цикл, охватывающий фазовый цилиндр, соответствует периодическому ротационному (вращательному) движению. [c.52]

Проведем на фазовой плоскости через неособые точки отрезок без контакта АВ, т. е. такой отрезок прямой или дуги некоторой гладкой кривой, в каждой точке которого фазовые траектории системы (4.2) пересекают его, нигде не касаясь. Рассмотрим фазовую траекторию Г, проходящую через некоторую точку М отрезка АВ, где М отлична от точек А или В. Пусть в момент времени / = О изображающая точка, движущаяся на траектории Г согласно уравнениям (4.2), совпадает с точкой М. Если при дальнейшем движении изображающей точки вдоль фазовой кривой Г она будет вновь и вновь пересекать отрезок без контакта АВ, то говорят, что точка М имеет последующие. Тогда на основании теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных условий все точки на отрезке АВ, достаточно близкие к точке М, также имеют последующие. Пусть S и S — координаты точки /И и ее последующей (рис. 4.1). Согласно сказанному выше, будет существовать функциональная зависимость [c.71]

Рис. 15, Распадожение н-уль-изо-клип на фазовой плоскости системы с квадратичной активацией продуктом (3.53)

Следовательно, nj н — седла, а — песедло. Поэтому искомому решению 7.12) па фазовой плоскости системы 7.11 соответствует сепаратриса, идушая из седла о, в седло Известно Андронов и др., 1959 Андронов и др., 1966), что это — негрубый случай, осуществляющийся при одном значении параметра а, которое [c.158]

Фазовая плоскость системы х, у, гае у = х, разбивается прямыми лг = - -Р и х = — р на три области (/),(//) и (///) (рис. 405). Областью, в которой г = —1 (руль переложен в крайнее левое положение) и, следовательно, —р о, очевидно, является область (/) В этой области уравнениями движения системы будут уравнения (8.55). Областью, где г = 4" (руль переложен в крайнее правое положение) и Е = X 4- 0. является область (Я) х — р. В полосе — р < х< -[-Р (в области (III)) г не может равняться ни - -1, ни —1 (руль не может занимать ни одного из крайних положений) поэтому там = = X - Р г — О, — электрозолотник находится в нейтральном положении в то время, как руль плавно между крайними положе- [c.576]

В двугорбой потенциальной яме движется шарик (см. рис. 1.7). Изобразите фазовую плоскость системы. В системе есть небольшое трение. [c.19]

Критерий Дюлака для односвязной о б л а с т и. функция Fix,у) - непрерывная вместе с первыми частными производными. Пусть в некоторой односвязной области G на фазовой плоскости системы [c.65]

Выше отмечалось, что вопрос о существовании автоколебаний сводите к вопросу о существовании устойчивого предельного цикла соответств щей системы уравнений. Размеры предельного цикла определяют амп туду автоколебаний, а время прохода изображающей точкой по циклу период автоколебаний. В связи с этим возникают вопросы о существ вании, количестве, устойчивости и местоположении предельных цикло на фазовой плоскости системы (2.1). Сформулируем без доказательс некоторые результаты качественной теории. [c.74]

Пусть <7, и Pm —координатные оси прямоугольной декартовой системы координат. Плоскость этих перемен-ных называют фазовой плоскостью. Точка на этой плоскости с координатами qm, рт) называется изображающей точкой. При движении системы координаты Qm и Рш изменяются и изображающая точка на плоскости Сцпрт описывает кривую, которую называют фазовой кривой. [c.171]

Из физических соображений очевидно, что в дифференциальных уравнениях (3.1), описывающих движение реальной физической системы, ни один из учитываемых нами факторов не может оставаться абсолютно неизменным во времени. Следовательно, правые части уравнений (3.1), вообще говоря, изменяются вместе с входяпшми в них физическими параметрами. Однако если эти изменения достаточно малы, то, как показывает практика, физическая система как бы не замечает этих изменений, качественные черты ее поведения сохраняются. Поэтому, если мы хотим, чтобы уравнения (3.1) отобразили эту особенность, нужно придать им свойство грубости, а именно при малых изменениях параметров должна оставаться неизменной качественная структура разбиения фазовой плоскости на траектории. Тем самым выделится класс грубых динамических систем. Грубость динамической системы можно трактовать как устойчивость структуры разбиения ее фазового пространства на траектории по отношению к малым изменениям дифференциальных уравнений (3.1). [c.44]

Таким образом, рассматриваемая модель химического реактора имеет четыре существенных параметра Xq, уо, X, fi, которые являются положительными величннамп. В соответствии с физическим смыслом переменных х я у фазовым пространством системы является первый квадрант плоскости ху. [c.54]

С текущим параметром Уравнения (3.12) определяют на плоскости другую граничную кривую. Часть этой кривой, показанной на рис. 3.8, является границей устойчивости особых точек неседлового типа. Картина разбиения плоскости параметров г/о,х на области, различающиеся числом и устойчивостью состояний равновесия системы, показана на рис. 3.8, где кривая (3.10) показана сплошной жирной линией, а кривая (3.11) — сплошной тонкой линией. Область 1 соответствует наличню одной устойчивой особой точки на фазовой плоскости область 2 — одной неустойчивой особой точки типа узла или фокуса области 3 — 6 — трем особым точкам, из которых в области 3 две устойчивы, а третья — седло. В областях 4 и 6 неустойчивы две особые точки, а в области 5 неустойчивы все три особые точки. [c.57]

Во многих задачах не представляется возможным получить функцию последования, записанную в явном виде (4.3). В таком случае прибегают к параметрической форме этой записи, что часто облегчает не только нахождение функции последования, но и ее исследование. Пусть, например, фазовая плоскость ху рассматриваемой динамической системы разбивается прямой L, определяемой уравнением у = —kx, на две области I н И (рис. 4.3), в каждой из которых уравнения движения (4.2) различны, но линейны. Обозначим через х,, х абсциссы точек пересечения прямой у — —kx с некоторой фазовой траекторией, по которой изображающая точка движется в области I, [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...