Тензор ковариантный

Контравариантные компоненты можно получить при помощи операции поднятия индекса, используя метрический тензор. Ковариантные и контравариантные векторы поля V/ иногда обозначают символами Dif и D f соответственно. [c.31]

Конечно, выражения (IV. 148) и (IV. 150) представляют компоненты одного тензора — ковариантной производной вектора а. Это можно доказать на основании формулы (1.74). Но фактическое проведение вычислений требует установления правил абсолютного дифференцирования тензоров более высокого ранга, чем первый. [c.386]

Как мы видели выше, алгебраические операции над тензорами приводят снова к тензорам, чего нельзя утверждать, как убедимся ниже, относительно их дифференцирования. Частные производные компонентов тензора составляют тензор лишь в декартовой системе координат. В криволинейных системах координат дело обстоит сложнее. Здесь приходится вводить так называемое ковариантное дифференцирование, действие которого на тензор снова даст тензор. Ковариантная производная совпадает с обычной, когда тензор отнесен к декартовой системе координат. [c.21]

В тензорном анализе вводится понятие ковариантной производной, которая представляет собой тензор. Ковариантная производная ковариантного вектора Л равна [c.129]

В теории поверхностей рассматривают и так называемый дискриминантный тензор, ковариантные и контравариантные компоненты которого определяются соотношениями [c.251]

Из последней строки видно, что для любого инварианта (скаляра, вектора либо тензора) ковариантная производная совпадает с обычной частной производной. [c.25]

Важнейшим примером тензора поверхности второго ранга является метрический тензор, ковариантные контравариантные (а ) и смешанные (Ор) компоненты которого определены формулами (1.1.2). Метрический тензор позволяет рассматривать задачи вычисления длин кривых, лежащих на поверхности, углов между двумя, заданными в точке поверхности, направлениями, определения площадей областей поверхности [72, 203 ]. Так, формулой [c.17]

Замечание. Ковариантные компоненты тензора деформаций определяют два тензора, один в метрике g ,, другой в метрике, у этих тензоров ковариантные компоненты совпадают, а остальные отличаются друг от друга. Получим выражение для через вектор смещения. Для этого выполним следующие преобразования [c.215]

Для координатных систем, не являющихся ортогональными, также можно говорить о физических компонентах при условии, что выбран векторный базис, составленный безразмерными векторами единичной длины. Однако в этом случае выбор неоднозначен. Можно взять векторы единичной длины, имеющие те же самые направления, что и векторы естественного базиса. В качестве альтернативы можно выбрать также векторы, имеющие направления векторов дуального базиса. В соответствии с этим мы определяем физически контравариантные компоненты или физически ковариантные компоненты векторов. Аналогичные замечания можно высказать и в отношении тензоров. Мы не будем использовать каких-либо компонент такого типа. [c.81]

Рассмотрим теперь ковариантные компоненты тензора Коши в точке Xj. По определению [c.97]

Из уравнения (3-4.3) следует, что компоненты метрического тензора yij (т) совпадают в любой момент с ковариантными компонентами тензора деформации Коши [c.112]

Здесь использован (и будет использоваться в дальнейшем) специальный символ <=> для того, чтобы подчеркнуть особый смысл равенства правой и левой частей уравнения. Фактически Уи (т) суть ковариантные компоненты единичного тензора в системе координат величины же ( )j суть ковариантные компоненты тензора Коши в системе координат х Хотя их две матрицы совпадают при любом т, ясно, что речь идет о двух различных тензорах равенство компонент двух тензоров еще не означает равенства тензоров, если компоненты не рассматриваются в одной и той же системе координат. [c.112]

Метрический тензор yij (т) можно вычислить согласно правилу преобразования ковариантных компонент тензоров, определяемо- [c.112]

Из уравнения (3-4.16) следует, что r ij можно отождествить с матрицей ковариантных компонент нижней конвективной формы тензора J [c.114]

Из ковариантных компонент и метрического тензора в точке Х< можно получить другие типы компонент тензора С. Особую роль играют физические компоненты. Учитывая уравнение (2-7.20), имеем [c.126]

Контравариантный, ковариантный, симметричный, сферический, единичный. .. тензор. [c.88]

Как пример рассмотрим мультипликативный тензор с компонентами а б . Умножая этот тензор на метрический тензор получим смешанный тензор четвертого ранга, дважды ковариантный и дважды контравариантный. Произведем свертывание по двум парам индексов. Ранг тензора снизится на четыре единицы, и мы получим тензор нулевого ранга, или скаляр [c.58]

Пусть, например, известны контравариантные компоненты тензора Т . Ковариантные компоненты этого тензора можно вычислить но формулам [c.59]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Отметим некоторые особенности найденных выражений абсолютных дифференциалов. Эти выражения показывают, что величины da и ёа , рассматриваемые в отдельности, не подчиняются формулам преобразования контравариантных или ковариантных векторов. Также можно убедиться в том, что символы Кристоффеля не принадлежат к тензорным величинам, так как закон их преобразования при переходе к новой системе координат не является законом преобразования компонент некоторого тензора. Мы не будем здесь рассматривать эти формулы преобразования. Они будут приведены в т. II настоящей книги ). [c.94]

Тензор называется ковариантной или абсолютной производной вектора а. Следовательно, можно положить [c.386]

Если рассматривать символы V как ковариантные компоненты символического вектора V, то величины и можно рассматривать как компоненты некоторых мультипликативных тензоров второго ранга. Но сравнение формул (IV. 146), (IV. 148) и (IV. 150) приводит к выводу, что введение вектора у не встречает препятствий лишь при применении системы прямолинейных декартовых координат, так как лишь в этой системе символы Кристоффеля равны нулю. [c.386]

Рассмотрим дифференцирование ковариантного тензора второго ранга Ти,. [c.386]

В правой части равенства (е) второе и третье слагаемые — скаляры. Левая часть — тоже скаляр. Следовательно, первое слагаемое правой части тоже должно быть скаляром. Вспоминая действие свертывания тензоров, видим, что коэффициенты при произведениях Л В являются ковариантными компонентами тензора второго ранга Эт от тензор можно назвать абсолютным дифференциалом тензора Тщ. Следовательно, можно написать [c.387]

Таким же образом рассмотрим ковариантную производную от контравариантного тензора второго ранга. Аналогично предыдущему найдем [c.387]

Ковариантная производная смешанного тензора может быть записана так [c.387]

Ковариантный тензор второго ранга gaь является метрическим тензором пространства конфигураций. Заключение о возможности введения такой метрики вытекает из рассмотрения кинетической энергии точки в трехмерном пространстве. Действительно, кинетическая энергия точки с массой, равной единице, определяется так [c.159]

Выражения в круглых скобках представляют собой компоненты ковариантного симметричного тензора второго ранга [c.503]

Рассмотрим ковариантный тензор кривизны [c.508]

Из формулы (IV. 89) видно, что ковариантный тензор кривизны антисимметричен относительно индексов XV и ра [c.508]

Контраварпантные компоненты, а также другие типы смешанных компонент тензора Va получаются поднятием второго индекса в уравнениях (1-4.9) и (1-4,14) соответственно. Символы и а, - называются контравариантными производными контрава-риантного и ковариантного векторов соответственно. [c.33]

Для читателей, знакомых с тензорным исчислением, сделаем следующее важное дополнительное замечание. Одним из исходных предположений в механике является утверждение о том, что все механические величины характеризуются тензорами нулевого, первого или второго ранга, а все законы и уравнения механики представляют собой тензорные равенства. Это значит, что в каждом законе должны содержаться слагаемые, представляющие собой тензоры одного и того же ранга, и из самого определения тензора следует, что любые равенства, выражающие законы и уравнения механики (как для замкнутых, так и для незамкнутых систем), ковариантны по отношению к повороту координат. В отличие от этого ковариантность по отношению к другим преобразованиям не является свойством законов механики, а скорее определяется формой их записи. Одни и те же законы механики могут быть представлены и в ковариантной, и в нековариантной записи. Преимущество ковариантной записи состоит в том, что она не зависит от выбора систем отсчета в пределах соответствующего класса преобразований. [c.47]

Теперь мы можем обобщить понятие тензора, введенное нами первоначально в ортогональной системе декартовых координат. Рассмотрим сначала тензоры второго ранга. Применяя контрава-риантные и ковариантные компоненты векторов а и Ь, можем построить четыре мультипликативных тензора второго ранга. Эти тензоры имеют следующие компонешы [c.55]

Первый тензор имеет контравариантные компоненты, второй и третий — смешанные, четвертый — ковариантные ). Поэтому построенные здесь тензоры называются соответственно контравариантными, смешанными и ковариантными тензорами второго ранга. Закон преобразования компонент этих тензоров можно непосредственно найти на основании формул (1.50а), (1.50Ь), (1.51а) и (1.51Ь). Пользуясь этими формулами и распространяя закон преобразования компонент мультипликативных тензоров на все тензоры соответствующего ранга и строения, найдем, что контравариантные компоненты тензоров второго ранга преоб )азуются по формулам [c.55]

Величины VJTih являются компонентами ковариантного тензора третьего ранга. Он называется абсолютной (ковариантной) производной тензора ТцР [c.387]

Из основ тензорного исчисления следует, что обобщенные скорости у и обобщенные и.мпульсы Р] являются соответственно компонентами контрава-риантного и ковариантного вектора (тензора первого ранга) в системе обобщенных координат. Это, в частности, видно из содержания 61—64. [c.389]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...