ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Модель Лоренца из "Регулярная и стохастическая динамика " Не все из перечисленных свойств легко увидеть из одного при.мера. Сейчас мы рассмотрим первый пример странного аттрактора— модель Лоренца [283]. В 7.4 мы снова вернемся к этому примеру для того, чтобы изучить физическую систему, из которой он возникает. В 7.1 рассмотрены другие примеры, позволяющие шире взглянуть на различные явления, связанные с хаотическим движением в диссипативных системах. [c.76] Этот поучительный пример хаотического потока возник из гидродинамических уравнений, описывающих конвекцию Рэлея—Бенара. Слой жидкости конечной толщины подогревается снизу таким образом, что между верхней холодной и нижней горячей поверхностями поддерживается постоянная разность температур. Движение жидкости описывается уравнением Навье—Стокса. Предполагая поток двумерным, его можно охарактеризовать двумя переменными функцией тока г ) и отклонением В распределения температуры от стационарного (линейного по вертикали). [c.76] Уравнения в частных производных для возмущенного потока можно преобразовать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого следует разложить функции г ) и 0 в двойной ряд Фурье по X и г с амплитудами, зависящими только от времени t. Оставив ограниченное число членов, получим движение в конечномерном фазовом пространстве. Вывод этих уравнений движения из уравнения Навье—Стокса приведен в 7.4. [c.77] Модель Лоренца интенсивно исследовалась во многих работах (см. литературу в работе [180]). Значения параметров а и Ь обычно фиксированы (ст =10, Ь = 8/3), и поведение системы исследуется в зависимости от г. Перечислим некоторые элементарные свойства модели Лоренца [252, 283, 411]. [c.77] Непрерывность спектра отражает хаотичность движения. [c.79] Хаотическое движение на аттракторе можно изучать при помощи отображения Пуанкаре плоскости Z = 27. В работе [46] доказано, что это отображение является перемешивающим и эрго-дическим. Спектр мощности X (t) -приведен на рис. 1.20. Его непрерывность отражает непериодическое, хаотическое движение на аттракторе. [c.79] Заметив, что зависимость Z от t выглядит хаотической, Лоренц [283] придумал следующий эффективный метод анализа движения. [c.79] Он зафиксировал последовательные максимумы Zi, Z2,. . . и построил зависимость Zn+ от Zn, которая приведена на рис. 1.21. [c.79] Это одномерное отображение позволяет непосредственно понять хаотический характер движения на аттракторе Лоренца. Действительно, производная зависимости (2 ) везде больше единицы, а это, как легко показать (см. п. 7.2в), сразу приводит к экспоненциальной расходимости близких траекторий. Соответствие между странными аттракторами и одномерными отображениями будет использовано в гл. 7. [c.80] Вернуться к основной статье