Примеры странных аттракторов

Рис. 11.2. Пример странного аттрактора

Не все из перечисленных свойств легко увидеть из одного при.мера. Сейчас мы рассмотрим первый пример странного аттрактора— модель Лоренца [283]. В 7.4 мы снова вернемся к этому примеру для того, чтобы изучить физическую систему, из которой он возникает. В 7.1 рассмотрены другие примеры, позволяющие шире взглянуть на различные явления, связанные с хаотическим движением в диссипативных системах. [c.76]

Примеры странных аттракторов [c.416]

Примером странного аттрактора — притягивающего множества, на котором нет устойчивых траекторий и где все они ведут себя сложно [c.305]

В п. 3 приводятся примеры странных аттракторов в трехмерном фазовом пространстве (для неавтономных систем с одной степенью свободы). [c.237]

Принадлежащие странному аттрактору сложные, запутанные траектории расположены в ограниченном объеме пространства состояний. Классификация возможных типов странных аттракторов, которые могут встретиться в реальных гидродинамических задачах, в настоящее время неизвестна неясны даже критерии, па которых должна была бы основываться такая классификация. Существующие знания о структуре странных аттракторов основаны в основном лишь на изучении примеров, возникающих при [c.165]

Представляет большой интерес выяснение сценариев перехода от периодического режима, отвечающего наличию устойчивого цикла на торе, к режиму непериодических колебаний, которому может соответствовать странный аттрактор. Это важно, в первую очередь, потому, что численное и лабораторное или даже натурное исследование большого количества физических и других задач (течение Куэтта, конвекция в плоском слое жидкости, генерация колебаний и радиотехнических и СВЧ генераторах и т. д.) показывает, что возникновение стохастических колебаний при разрушении двумерного тора, на котором число вращения рационально, — широко распространенное явление. Прежде, чем инвариантный тор разрушится, он должен потерять гладкость, оставаясь еще некоторое время топологическим подмногообразием фазового пространства. Способы потери удобно демонстрировать на примере отображения кольца в себя, которое при начальных значениях параметров имеет гладкую инвариантную кривую. Конкретный вид отображения здесь несуществен, например, оно может быть таким, как в [34], или [c.49]

Асимптотически устойчивое множество траекторий L в фазовом пространстве динамич. системы наз. аттрактором, если оно 1) компактно и неразложимо на отдельные структурные элементы 2) инвариантно относительно Т Т L = L 3) оператор Т рекуррентен на L, т. е. для сколь угодно больших времён (о>0 траектория y t) = T x произвольной точки xsL при r>fo пройдёт в сколь угодно малой окрестности точки х, В случае замкнутых траекторий последнее требование означает бесконечнократное прохождение системой каждой точки траектории, т. е. периодич. движение (в силу теоремы Коши см. Коши задача). Примеры аттракторов асимптотически устойчивые стационарные состояния для ур-ния (4) — это точка. с = 0] устойчивые предельные циклы странные аттракторы (отвечающие стохастическим колебаниям в нелинейных диссипативных системах). [c.254]

Сценарий Фейгенбаума (1978— 79) появление странного аттрактора в результате бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода. Рассмотрим такие бифуркации сначала на примере одномерного необратимого (однозначного и непрерывного) отображения л п+1 = П хп, 1) отрезка О л 1 в себя, причем этом отрезке один квадратичный [c.132]

Функция распределения на странном аттракторе — пример фрак-талин. Рассмотрим последовательность точек (х , у ) на плоскости (х, у), порождаемую отображением (Д3.8). Они образуют при п оо некоторое [c.254]

Данная глава посвящена рассмотрению некоторых нелинейных процессов в классических сложных физических системах. Речь идет, фактически, об открытых системах, через которые могут протекать потоки энергии и информации (негэнтропии). На простейшем примере конвекции жидкости показано, как может возникать неустойчивость, приводящая при превышении надкритичности к сложному нелинейному поведению, в частности, к странному аттрактору. [c.317]

Рассмотренная нами картина конвекции является типичным примером самоорганизации по мере увеличения параметра неравновесности г жидкость становится неустойчивой при 1, затем в ней устанавливается стационарная конвекция, а при больших г возникают различные моды стохастического движения типа странного аттрактора. Существует огромное количество других типов нелинейной самоорганизации, с которыми можно познакомиться по книгам [40, 101 -105] и цитированной там литературе. [c.324]

Макроскопические величины, такие как скорость, плотность, температура и концентрация химических веществ, являются непрерывными функциями точки, т.е. физическими полями. Поэтому формально такие поля имеют бесконечное число степеней свободы. Однако при появлении порядка или развитии структур возбуждается только конечное число степеней свободы. Особенно хорошо это видно на примере ячеек Бенара или вихрей Тейлора. Поэтому системы с упорядочением часто можно рассматривать как системы с конечным числом степеней свободы, они допускают моделирование (по крайней мере, численное) простыми динамическими системами. Напомним, что именно на примере описания конвекции жидкости были найдены странные аттракторы. [c.341]

Хотя в экспериментах и наблюдается до четырех [158] независимых частот, резкий переход к непрерывному спектру не согласуется с моделью Ландау ). Помимо этого, теоретически было показано (см. работу [112]), что последовательность бифуркаций Хопфа, как и само квазипериодическое движение, не являются типичными. Судя по рассмотренным выше примерам резкого ) возникновения непрерывного спектра, связанного с образованием странного аттрактора, можно ожидать, что именно такой механизм [c.479]

Жесткий режим возникновения стохастических автоколебаний. Один из механизмов возникновения странного аттрактора при непрерывном изменении параметра проиллюстрируем на конкретном примере — системе Лоренца. Э. Лоренц обнаружил детерминированное непериодическое течение [23] в простой диссипативной системе с трехмерным фазовым пространством. Эта система, пришедшая из гидродинамики, как сейчас выяснилось, имеет многочисленные иные приложения [7], и ее динамика подробно исследована с помощью качественных и численных методов. [c.483]

Другие примеры гиперболических странных аттракторов Глава 9. Эргодическая теория одномерных отображений (М. В. Якоб [c.114]

В п. 2 рассматривается простейший и весьма наглядный пример, когда странный аттрактор обнаруживается на фазовой плоскости в некотором смысле — это исключительный случай, потому что, как правило, странные аттракторы возможны при условии, что фазовое пространство системы имеет размерность не менее трех. [c.237]

Заключительные замечания. Среди различных способов выявления странных аттракторов в конкретных динамических системах одним из основных следует считать численное интегрирование соответствующих дифференциальных уравнений. Именно так были получены результаты, приведенные в табл. на с. 240. Там было отмечено, что вычисления производились с точностью до десятого знака после запятой, но для большей компактности представленной таблицы в нее внесены значения скорости, округленные до третьего знака. При этом особо подчеркивалось, что совпадение некоторых табличных значений скорости (например, при п = 1 ш /г = 41)—лишь кажущиеся и поэтому последующие значения скорости (в том же примере начиная с г = 8 и /г = 42) расходятся уже в третьем знаке. Тем самым обнаруживается некая неупорядоченность движения, которую можно трактовать как признак хаотичности и наличия странного аттрактора (разумеется, это признак недостаточно убедителен, хотя бы потому, что вычислениями охвачены лишь первые пятьдесят шагов процесса). [c.244]

В качестве примера рассмотрим трехмерное множество точек, порожденное отображением Пуанкаре системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка с диссипацией. Если аттрактор странный, то [c.227]

В первом параграфе этой главы обсуждаются основные свойства диссипативных систем, такие, как сжатие фазового объема и регулярное движение на простых аттракторах. Затем вводится понятие странного аттрактора со стохастическим движением. В 1.5 уже приводился пример странного аттрактора. Здесь же обсуждаются два других примера диссипативных систем со странными аттракторами система Рёслера и отображение Хенона. Особое внимание обращается на те свойства хаотического движения, которые связаны с возможностью перехода к одномерному отображению, а также с геометрической структурой странного аттрактора. Эта геометрия описывается в терминах канторовых множеств дробной фрактальной размерности. Обсуждаются способы вычисления такой размерности и ее связь с показателями Ляпунова. [c.410]

Примеры странных аттракторов в неавтономных системах. На рис. 16.2, а показан сжатый, нотерявщий устойчивость упругий стержень, па который действует в поперечном направлении вынуждающая сила Р sin wi. Если амплитуда этой силы мала, то стержень будет совершать малые колебания около показанного на рисунке изогнутого положения. В противоположность этому, если амплитуда силы весьма значительна, то установятся большие колебания — такие, что в течение одного цикла стержень будет проходить все три положения равновесия 1) изображенное на рисунке сплошной линией 2) положение, симметричное первому (при прогибе стержня вверх) 3) среднее положение, отмоченное па рисунке штриховой [c.242]

BOM пространстве даже весьма простых течений. Наиб, известный пример—конвекция в подогреваемой тороидальной полости, расположенной в вертикальной плоскости. Образом хаотич. колебаний вращат. движения жидкости внутри такой полости служит странный аттрактор— аттрактор Лоренца. По совр. представлениям, в фазовом пространстве для ур-ний Навье—Стокса при определ. условиях должен существовать странный аттрактор, движение по к-рому соответствует режиму установившейся Т. [c.183]

Принципиально новая ситуация, касающаяся непрерывной зависимости решений от параметров, возникла в связи с развитием теории странных аттракторов [29]. Хотя теория аттракторов сравнительно далеко продвинута только для достаточно простых динамических систем [176], первоначальные сомнения в том, что она применима в гидродинамике, были рассеяны как прямыми экспери-мептальпыми подтверждениями [93, 198, 201], так и теоретически, когда было обнаружено развитие хаотической динамики сразу после потери равновесия состояния покоя при возникновении смешанной тепловой и концентрационной конвекции [154]. В построенных примерах непрерывная зависимость решений от параметров нарушается уже не при отдельных их значениях, а на множестве значений параметров положительпой меры. [c.13]

Аттрактор - это 1 онечное состояние или конечный ход эволюции диссипативной системы, т.е. финальное состояние любой траектории в пространстве. При этом его изображение, как показал Н. Пригожин, может быгь не только линейным (или точечным), но и поверхностным или объемным. Странный аттрактор характеризуется не целыми, а дробными размерностями и относится к фрактальным объектам. Примером такого объекта в трибологии является конструктивная пара седло клапана - клапан. [c.434]

Проведем апалпз условий возникновения и свойств странного аттрактора па примере одного класса задач, возникающих в теории колебаний [203, 204]. [c.251]

Если теперь увеличивать масштаб, то возникает расслоение линий странного аттрактора и соответствешю расслоение хребтов рельефа на рис. Д3.6, порождаемое каиторовой структурой аттрактора. Пример такого расслоения в окрестности границы аттрактора В дан на рпс. Д3.7. [c.256]

Если диссипативная система имеет много степеней свободы, то у нее может быть много зон притяжения в фазовом пространстве. Если они составлены из устойчивых фокусов, то система будет стремиться к одной из точек устойчивого равновесия. В этом случае говорят о мультиравновесной системе — это простейший пример запоминаю-шего устройства для компьютера. Предельное состояние может быть также одним из многих предельных циклов — такие запоминающие устройства также существуют (например, циклическая цепочка бегущих друг за другом цилиндрических магнитных доменов). В более общем случае система может стремиться к одному из многих возможных аттракторов, включая странные аттракторы. При выведении такой системы из заданного аттрактора с помощью внешнего [c.340]

Уравнения (1.5.1), приводящие к возникновению странного аттрактора, зависят обычно от некоторого параметра (аналогичного величине возмущения в гамильтоновых системах), изменение которого меняет характер движения. На примерах модели Хенона— Хейлеса и ускорения Ферми мы видели, что в гамильтоновых системах при увеличении возмущения траектории из регулярных становятся стохастическими. Подобно этому, и в диссипативных системах при изменении параметра возможен переход от периодического движения к хаотическому на странном аттракторе. Во гао-гих случаях такой переход происходит путем последовательного удвоения периода движения вплоть до некоторого критического значения параметра, за которым структура аттрактора изменяется и движение становится хаотическим. Дальнейшее увеличение параметра может привести к обратному процессу или к появлению простого аттрактора другой симметрии. Еще одна интересная особенность таких систем заключается в том, что обычно можно найти поверхность сечения, на которой движение сводится приближенно к необратимому одномерному отображению. Необратимость означает здесь многозначность обратного отображения. Такие отображения возникают во многих физических задачах и будут подробно рассмотрены в 7.2. [c.76]

Наименьшая размерность фазового пространства, в котором возможен странный аттрактор, равна трем, как в модели Лоренца, описанной в 1.5. Еще более простая система была рассмотрена Рёслером [350], и мы опишем ее ниже. Интересные свойства двумерного отображения со странным аттрактором будут рассмотрены на примере отображения Хенона [187]. [c.416]

Численные данные для отображения Хенона показывают, как мы видели выше, что структура аттрактора повторяется на все более и более мелких масштабах. Ее можно сопоставить с канторовым лгаожеством, свойства которого позволяют значительно лучше понять природу странного аттрактора. Рассмотрим вначале размерность кантор она множества. Для этого нам понадобится общее определение фрактальной размерности. Затем мы рассмотрим простой пример канторова множества и найдем его размерность. И наконец, обсудим некоторые методы вычисления и измерения фрактальной размерности странных аттракторов, уделяя основное внимание ее связи с показателями Ляпунова. Наше изложение следует частично обзорам Треве [411 ] и Отта [324]. [c.422]

Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в pa ютpeнa модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе. [c.453]

Модель Рюэля—Тэкенса исследовалась численно на примере простого двумерного отображения [100]. Были обнаружены переходы от устойчивого фокуса к предельному циклу, затем к двухчастотному движению и, наконец, к странному аттрактору. В этой связи важно отметить, что в отличие от модели Лоренца с тремя модами в модели конвекции Рэлея—Бенара, использующей 14 мод, также обнаружен квазипериодический аттрактор на некоторой двумерной поверхности в 14-мерном фазовом пространстве [98]. [c.480]

Отображения Пуанкаре-, эффекты затухания. Если затухание в системе недостаточно сильно, точки хаотического аттрактора будут стремиться однородно заполнить некоторую область фазового пространства и структура канторовского множества, характерная для странного аттрактора, не проявится. На рис. 2.11 показан пример такой ситуации при колебаниях изогнутого стержня. Сравнение отображений Пуанкаре, полученных при слабом и сильном затухании, показывает, что иногда усиление затухания может вызвать по явление фрактальной структуры. [c.138]

Другие примеры гиперболических странных аттракторов. -В. Н. Белых [12] рассмотрел отображение, имеющее гиперболический аттрактор и не сводящееся, ни в каком смысле, к од-ломерному. Этот пример также возник при исследовании конкретных динамических систем, возникающих в физике, — так называемых дискретных систем фазовой синхронизации. Для наглядности мы рассмотрим простейшую ситуацию, когда соответствующее отображение кусочно линейно и имеет место свойство 6). [c.203]

Траектории странного аттрактора могут порождаться (при надлежащем выборе параметров) очень простыми дифференциальными уравнениями. Простейший из известных примеров — аттрактор Ресслера. Его дифференциальные уравнения содержат лишь одну нелинейность и имеют вид [c.56]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...