Лоренцева модель турбулентност

Согласно положениям синергетики (гл. 13), которая исследует закономерности, общие для различных научных дисциплин, возможны далеко идущие аналогии в поведении совершенно различных систем независимо от природы их составных частей. Эти аналогии становятся особенно отчетливыми в тех случаях, когда качественно меняется макроскопическое поведение системы. В физике лазеров примером таких качественных изменений может служить возникновение лазерной генерации с ростом параметра накачки и возникновение детерминированного хаоса . В гидродинамике известен не только переход к турбулентности, который описывается моделью Лоренца. И теоретические и экспериментальные исследования показывают, что здесь может проявиться целая иерархия различных неустойчивостей, прежде чем будет достигнуто хаотическое состояние. [c.211]

Оказывается, что конвекция в модели Лоренца выражает основные общие черты диссипативных нелинейных процессов в приближении небольшого числа параметров порядка. А именно, с ростом неравновесности (т.е. разности Гщ — То) сначала, при некотором критическом значении этого управляющего параметра, появляются сами собой новые ненулевые параметры порядка (в данном случае Т и v). По мере дальнейшего роста надкритичности эти параметры возрастают, т.е. развивается стационарная бифуркация (360) с соответствующим возрастанием скорости диссипации, т.е. Se. Затем, при дальнейшем возрастании надкритичности - То, наступает вторая бифуркация, так что параметры порядка X, Y, Z становятся динамическими переменными сложной нелинейной системы (359). При дальнейшем возрастании Гт — То г — 1 в рамках системы (359) различные моды могут сменять друг друга. А в реальной физической системе могут появляться новые параметры порядка, описывающие более высокие гармоники движения жидкости. По мере роста числа гармоник движение становится все более и более сложным для простоты его называют просто турбулентным. Такое турбулентное движение вместе с теплопереносом от нагревателя к холодильнику представляет собой сложный сценарий приближения к равновесию в сильно неравновесной системе. [c.324]

Модель Лоренца и ее странный аттрактор уже рассматривались в 1.5 и выше в этой главе. Здесь же нас интересует вопрос в какой мере эта модель представляет поведение жидкости в задаче Рэлея—Бенара На первый взгляд обе системы очень далеки друг от друга, поскольку модель Лоренца является чрезвычайно упрощенной с ее всего лишь тремя людами для двух функций состояния жидкости 1 ) и 0. Увеличение числа мод до пяти, семи и даже четырнадцати сохраняет некоторые черты поведения модели, включая и образование странного аттрактора. Однако переход к хаотическому движению может происходить при этом через разные последовательности бифуркаций [98 [ (дополнительную библиографию см. в работе [180]). Более того, численное моделирование двумерной конвекции, согласно (7.4.7), показывает отсутствие турбулентного движения ). В этом состоит существенное отличие от трехмерной конвекции Рэлея—Бенара, в которой турбулентность наблюдается экспериментально. [c.477]

Численное моделирование квадратичного отображения подтверждает такое поведение [112]. Оно существует и для модели Лоренца в некотором интервале параметров [293 ]. Подобный переход к турбулентности наблюдался во многих экспериментах, включая конвекцию Рэлея—Бенара [273 ] и так называемую химическую турбулентность [352] (см. также дополнение А). Однако в этих случаях перемежаемость связана с переходом между [c.484]

Если не считать логистического уравнения, то модель Лоренца юнвективной турбулентности (см. гл. 1 и 3), по-видимому, является наиболее исследованной системой уравнений, допускающей хаотические решения. Тем не менее большинство математиков сосредоточили свои усилия на очень ограниченном множестве значений Ираметров. Система Лоренца имеет вид [c.165]

Перефразируя известные слова Пуанкаре о периодических решениях, можно сказать, что бифуркации, как факелы, освещают путь от исследованных динамических систем к неисследованным. Эту роль теории бифуркаций использовали Л. Д. Ландау и позже Э. Хопф, предложившие эвристическое описание перехода от ламинарного течения к турбулентному при возрастании числа Рейнольдса. В сценарии Ландау этот переход осуществлялся через бифуркации торов все возрастающей размерности. После того, как зоопарк динамических систем и их бифуркаций необозримо разросся, появилась масса работ, описывающих, в основном на физическом уровне строгости, переход от регулярного (ламинарного) движения к хаотическому (турбулентному). С помощью исследования цепочки бифуркаций объяснено хаотическое поведение трехмодовой модели Лоренца конвективного движения это объяснение не вошло в настоящий обзор, поскольку в него, по соображениям объема, [c.9]

Аналогичное знакомство и последующая реакция несколько позднее произошли и в ряде других стран. Можно утсазать на семинары 1976—1977 гг. по турбулентности и уравнению Навье — Стокса, семинар по точечным отображениям и их приложениям 1973 г. в Тулузе. Если на школах 1972—1973 гг. по колебаниям и волнам основным стимулом послужили лекции, базирующиеся на исследованиях горьковской школы теории нелинейных колебаний (о них уже говорилось в гл. 1) и сибирской группы физиков, представители которых впервые познакомились тогда друг с другом, то тематическим стержнем семинаров по турбулентности и уравнению Навье —Стокса 1976—1977 гг, стали работа Лоренца 1963 г. [563] о непериодическом характере движений трехмодовой модели конвективной турбулентности и работа Рюэля и Такенса 1971 г. [627], содержавшая новые предположения о природе турбулентности. Эти работы были переизданы и именно вокруг них сконцентрировались многие из последующих работ. [c.80]

Как уже говорилось, система уравнений Лоренца является простейшей (трехмодовой) моделью конвективной турбулентности. В классической задаче о плоском слое жидкости, подогреваемом снизу, эта система выделяется из более полной системы уравнений, если ограничиться первыми прос гранственными гармониками компонент скорости, нулевыми, первыми и вторыми пространственными гармониками температуры [217]. Очевидно, что вследствие этих ограничений система Лоренца справедлива лишь вблизи порога возникновения конвективных валов, т. е. при значениях г, близких к единице. При больших г надо учитывать более высокие пространственные гармоники, и уравнения типа Лорепца становятся неадекватными. Такой учет произведен в работе [574], где показано, что характер решения существенно зависит от числа учитываемых мод. [c.334]

Баталова 3. С, Дубровина И. А., Неймарк Ю. И., Орлова Е. Е. О структуре фа.эового пространства и бифуркациях в дискретной модели конвективной турбулентности Лоренца Ц ПММ.—1981.— Т. 45, вын. 4.— С. [c.397]

Странные аттракторы. Первые простейшие моделп (см. гл. 2), в которых исследовались ус.ювия появ.1епия стохастичности, уже были не гамильтоновыми. Однако наиболее интенсивное изучение диссипативных систем началось после работы Лоренца [200]. Работа была посвящена анализу возникновения турбулентности в процессе термоконвекции в так называемом конечномерном приближении ). Численный анализ, проведенный Лоренцем, показал, что прп некоторых условиях в модели возникает хаос. Как и полагается, переход к нему (т. е. к турбулентности) происходит через ряд бифуркаций решения (их исследование см. в [201]). Однако, если можно так выразиться, хаос имеет весьма необычную структуру. Опишем ее следующим образом. [c.250]

Появление странных аттракторов в трехмерных потоках, таких, как модель Лоренца, указывает на один из возможных механизмов возникновения гидродинамической турбулентности. Это стимулировало исключительно точные экспериментальные измерения вблизи перехода от ламинарного к турбулентному течению в реальных жидкостях. Модель Лоренца была получена фактически из задачи о конвекции Рэлея—Бенара в подогреваелюм снизу слое жидкости с учетом только трех мод движения. Хаотическое движение в трехмерной модели Лоренца представляет возможную картину турбулентности и в некоторых реальных гидродинамических системах, которая оказывается проще, чем первоначальные представления Ландау [251 I. Динамика диссипативных систем рассматривается в гл. 7, включая одномерные и двумерные отображения, а также гидродинамические приложения. [c.20]

Наконец, в 7.4 рассматривается переход к предельному случаю непрерывной среды. Приводится краткий вывод уравнений Лоренца в задаче Рэлея—Бенара о движении подогреваемого снизу слоя жидкости и обсуждаются условия применимости этих уравнений. В заключение описываются различные модели перехода к турбулентности в жидкости и проводится сравнение с имеющилшся экспериментальными данными. [c.411]

Тот факт, что достаточно простые динамические системы, наряду с циклами, демонстрируют очень сложное и нерегулярное поведение, был, по-видимому, установлен более двадцати лет тому назад в классической работе Е. Лоренца. Однако лишь с 1971 г., когда понятие странный аттрактор , введенное Рюэлем и Такен-сом, было связано с моделью Лоренца, появилась надежда, что такие, например, сложные явления, как турбулентность, могут быть о бъяснены с помощью концепции странного аттрактора . [c.271]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...