Ортонормированные волновые функции

Мы всегда используем ортонормированные волновые функции и поэтому всегда получаем унитарные представления группы симметрии. [c.77]

Ортонормированные волновые функции. Волновые функции г] и представляют полный набор ортогональных и нормированных (сокращенно ортонормированных) волновых функций. Прилагательное полный означает, что любая гармоническая бегущая волна может быть представлена суперпозицией функций и с соответствующими постоянными комплексными коэффициентами и А - Прилагательное ортонормированный означает, что имеют место равенства = (26) где звездочка соответствует комплексно-сопряженному выражению (т. е. выражению, в котором I заменено на —г)- Проверим равенства (26) [c.361]

Различные представления состояния поляризации. Наиболее общее состояние поляризации может быть представлено суперпозицией волн, линейно-поляризованных по х и у. Естественно, что существует бесконечное число направлений, которые можно выбрать для X, и, соответственно, существует бесконечное число представлений состояния с линейной поляризацией. Переходя к комплексным величинам, можно сказать, что существует бесчисленное число полных наборов ортонормированных волновых функций ч з1 и г1)2, которые >южно использовать для получения суперпозиции, определяющей Е . Для примера положим, что единичные векторы С1 и ез получаются из первоначальных векторов х и у поворотом х и у на некоторый угол ф (направление вращения от х к у). Легко показать, что в этом случае справедливы соотношения [c.362]

Полный набор ортонормированных волновых функций, соответствующий линейно-поляризованным колебаниям по направлениям Сх и Сг, имеет вид [c.362]

Теперь мы можем указать еще один полный набор ортонормированных волновых функций, описывающих состояния круговой поляризации [c.363]

Так как Hg действует только на электронные координаты, мы можем выполнить интегрирование по х непосредственно, и так как из-за ортонормированности волновых функций гармонического осциллятора [c.376]

Пусть Ф ) есть полная система ортонормированных волновых функций, удовлетворяющих граничным условиям и требованиям симметрии задачи. Тогда [c.245]

Рассмотрим какой-нибудь вырожденный уровень энергии невозмущенной системы. Ортонормированные волновые функции, принадлежащие этому уровню, обозначим через Фъ Фг .., фк- Как известно, поправки Д к энергии в первом порядке теории возмущений определяются из векового уравнения [c.217]

Введенная таким образом величина (г) называется вторично квантованной волновой функцией. Отметим, что N и р г) как операторы физических величин являются эрмитовыми, тогда как операторная волновая функция ф г) не является эрмитовым оператором. Разложим оператор ф(г) в ряд по ортонормированной системе одночастичных волновых функций [c.351]

Из вида формулы (68.8) ясно, что операторы пк = Ок имеют смысл операторов числа частиц в к-м состоянии. Соотношение а ак = = пк несколько напоминает разложение некоторой волновой функции (г) по произвольному ортонормированному базису (рк(> ), где квадраты модулей представляют собой вероятности нахождения системы в состояниях (рк )- [c.351]

Прежде всего введем полную ортонормированную систему волновых функций ф (.. ., Пт, ), характеризующихся опре- [c.37]

Уточним наши утверждения. Пусть состояние системы определено волновой функцией F (ж), где х означает совокупность пространственных координат N частиц. Эту волновую функцию можно разложить по ортонормированным базисным функциям аналогично разложению (1.4.5) либо (1.4.16) [c.60]

Рассмотрим квантовую систему, состоящую из N одинаковых частиц, и введем некоторый полный набор ортонормированных одночастичных состояний /). В координатном представлении эти одночастичные состояния описываются волновыми функциями х 1) = (/ Дж) , где символом х обозначен набор координат частицы (включая спиновую переменную). Например, можно использовать волновые функции свободного движения частицы в объеме V [c.32]

Пусть Фп ортонормированная система собственных функций гамильтониана И. Введем обращенные во времени волновые функции Фп = Тогда из (5.2.19) [c.362]

Понятие величины запутанности легко обобщается на более сложные квантовые системы [39]. Если, например, система А, имеющая набор N ортонормированных состояний ai), а2)..... a,v), находится в запутанном состоянии с системой В, то в системе В можно найти такой набор ортонормированных состояний ( 2), , , что совместная волновая функция Ч А,В) систем А, В может быть представлена в виде [c.129]

Допустим теперь, что мы имеем квантовую систему при температуре Т. Пусть функции j/j представляют собой базис, т.е. полный набор ортонормированных состояний. Тогда произвольную волновую функцию j/) можно представлять в виде [c.370]

Собственные функции, соответствующие любой наблюдаемой физической величине, образуют полный набор ортонормированных функций, так что мы можем, например, разложить волновую функцию, взятую в данный момент времени, по собственным функциям [c.70]

Так как волновая функция представима в виде ряда по любому набору ортонормированных собственных функций, нам необходимо установить способ перехода от одного набора к другому. Для этого рассмотрим разложение волновой функции по двум полным наборам ортонормированных собственных функций в форме [c.74]

Введем набор ортонормированных собственных функций и разложим по ним волновые функции [c.96]

Выберем полную систему ортонормированных одночастичных волновых функций ф((г) ( =1,2,...) и будем считать, что они каким-то образом упорядочены. Состояние системы многих частиц будет задано, если мы зададим числа заполнения П каждого одночастичного состояния. В соответствии с этим запишем волновую функцию системы в виде [c.355]

Можно потребовать, чтобы волновые функции образовы-вали ортонормированную систему [c.356]

Кроме того, использование матрицы плотности допускает большую общность, чем использование детерминантов Слэтера. Мы можем, например, рассмотреть электронный газ, взаимодействующий с внешней средой. Волновая функция системы тогда содержит не только координаты электронного газа, но и все координаты, описывающие его окружение. Из-за взаимодействия с окружением волновая функция собственно электронного газа не существует. Тем не менее мы можем проинтегрировать по всем координатам внешней среды и получить матрицу плотности, описывающую электронный газ, или одночастичную матрицу плотности. Подобным же образом довольно просто обобщить одноэлектронные матрицы плотности, которые мы только что определили. Систему можно описать линейной комбинацией детерминантов Слэтера тогда матрица плотности оказывается равной сумме матриц плотности, соответствующих каждому из детерминантов, и перекрестных членов, построенных из всех этих детерминантов с соответствующими весовыми множителями. Таким образом, мы получаем статистическую одноэлектронную матрицу плотности, которую мы будем использовать в дальнейшем. В наиболее общем виде эту матрицу плотности можно выразить через ортонормированную базисную систему функций следующим образом [c.326]

В любой момент времени волновая функция Ч полностью изолированной системы может быть представлена как линейная суперпозиция полной ортонормированной системы (или набора) стационарных волновых функций Ф [c.204]

В статистической механике мы всегда имеем дело с системами, находящимися во взаимодействии с внешней средой. Полностью изолированной системой можно считать при этом нашу систему плюс все внешние системы. Волновая функция Ч этой полной системы будет зависеть как от координат рассматриваемой нами системы, так и от координат внешнего мира. Если Ф обозначает полный набор ортонормированных стационарных волновых функций системы, то функцию Ч формально можно представить в виде (9.1), но коэффициент с следует интерпретировать как волновую функцию внешней среды. Он зависит от совокупности координат внешних систем, а также от времени. [c.204]

Для определенности рассмотрим макроскопическую систему, которая, не будучи полностью изолированной, тем не менее столь слабо взаимодействует с внешним миром, что ее энергию можно приближенно считать постоянной. Пусть число частиц в системе равно М, а объем системы равен V пусть, далее, значение энергии системы лежит между и Ё + А ("Ри этом Д Е). Пусть Н есть гамильтониан системы. Для такой системы удобно (но не обязательно) выбрать стандартную полную ортонормированную систему волновых функций Ф , в которой каждая функция Ф есть волновая функция N частиц, находящихся в объеме V, и является собственной функцией оператора Н, соответствующей собственному значению Е [c.205]

Теорема. Пусть Н есть эрмитов оператор Гамильтона системы. Пусть (Ф ) — произвольная ортонормированная совокупность волновых функций 2) системы. Тогда статистическая сумма С удовлетворяет следующему неравенству [c.244]

Если для краткости обозначить через а набор квантовых чисел Ра> аЬ через Иц(1) — функцию Иа(Г1, 01), то (А. 14) определяет полную ортонормированную систему волновых функций совокупности N фермионов, а (А. 38) продолжает оставаться справедливым. Пусть г 12 = б(Г1 — Гг) и не зависит от спиновых координат. Тогда [c.492]

Для удобства практических вычислений введем полную ортонормированную систему одночастичных волновых функций Ио(г) [c.497]

Простые, но громоздкие вычисления (задача 2) показывают, что, если энергия (17.8) определяется для состояния вида (17.13) с ортонормированными одноэлектронными волновыми функциями 1)31,. . ., то результат таков [c.332]

Задача. Предположим, что мы имеем полный ортонормированный набор состояний а>, и пусть <х а> = Иа(х) суть волновые функции этих состояний. Написать формулы, выражающие операторы а+ (х) и а(х) через операторы а и а , и формулы обратных преобразований. [c.203]

В заключение отметим, что для резонатора другой формы, например, для цилиндрического, эллиптического или конфокального резонатора, модовые функции имеют другой вид. Тем не менее, благодаря граничным условиям (10.24), волновые числа принимают дискретные значения. Кроме того, соответствующие модовые функции удовлетворяют условию ортонормированности (10.36). [c.302]

Поэтому, по Дираку, состояние квантовой системы описывается бра-вектором (ifi или сопряженным ему кет-вектором 1113) = = (( ф )" " состояния (с волновой функцией j)(q, /)=) в бесконечномерном гильбертовом (функциенальном) пространстве. В этом линейном пространстве в качестве базиса используются ортонормированные т т ) — 6fnm ) собственные функции il3m = = (q m) (Щт) = т т)) любой физической величины, представляемой эрмитовым оператором M = / i+, при этом Ст(0=( ф)-Условие полноты базиса т) (т-представления) символически можно записать в виде [c.188]

Одним из основных в статистической механике и кинетической теории газов является понятие о функции распределения. Здесь и всюду ниже будем рассматривать газ, сэстоя-щий из р, компонентов. Каждому компоненту отвечает свой набор так называемых ортонормированных собственных волновых функций. В кинетической теории нереагирующего газа, состоящего из бесструктурных частиц, достаточно считать, что компоненты различаются по массам. [c.8]

К процессам рассеяния (релеевского и комбинационного) следует также добавить процессы, при которых возбуждённые состояния кристалла выступают только как виртуальные (даже в условиях резонанса). При релеевском рассеянии процессы поглощения и излучения когерентно связаны между собой и оно является процессом упругого рассеяния фотонов в кристалле. Следующее из теории возмущений участие в рассеянии промежуточных (виртуальных) возбуждённых состояний кристалла не отражает реальный процесс перехода в возбуждённое состояние. Действительно, согласно теории возмущений волновая функция кристалла, взаимодействующего с фотоном, представляется в виде суперпозиции волновых функций возбуждённых состояний невозмущённого гамильтониана. Однако эту же функцию можно разложить и по любой другой полной ортонормированной системе функций, определённых в том же пространстве независимых [c.19]

Ортонормированность модовых функций. Согласно выражениям (10.32), пространственная часть у(г) векторного потенциала описывается тригонометрическими функциями. Компоненты кх, ку и kz волнового вектора являются целыми 1х, 1у и lz кратными, соответ- [c.300]

Допустим, что мы имеем систему из N невзаимодействующих частиц, которые могут находиться в каких-то состояниях с волновыми функциями pi (i), ФзСО > образующими полную и ортонормированную систему. Здесь обозначает любые переменные, характеризующие состояние частицы, обычно это — координаты и проекция спина. Вместо полной волновой функции для описания системы, очевидно, могут быть заданы числа частиц, находящихся в состоянии срр срз,. .. Это означает переход к новому представлению, называемому представлением вторичного квантования. Роль переменных в нем играют числа yVj,. . Начнем со случая частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Полная волновая функция системы бозе-частиц, как известно, симметрична относительно перестановки переменных, соответствующих различным частицам. Нетрудно проверить, что волновая функция, отвечающая [c.44]

Чтобы доказать соотношение ортонормированности (10.36) для мод в яш,ике, мы сначала заметим, что факт ортогональности двух модовых функций с разной поляризацией является тривиальным. Поэтому достаточно рассмотреть две модовые функции с одинаковым направлением поляризации и отличаюш,иеся, по крайней мере, одним из волновых чисел кх, ку или kz. Вычислим теперь интеграл [c.301]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...