Условие критического состояния равновесия

Условие критического состояния равновесия [c.342]

Для определения критического состояния равновесия в условии (4.7) варьируется размер площади поверхности излома S при постоянной нагрузке. [c.42]

Как уже упоминалось, наличие пластической деформации у конца трещины приводит к увеличению затрат работы па ее продвижение. Эта работа должна быть определена экспериментально, но иногда ее можно вычислить аналитически, пользуясь некоторой моделью трещины и небольшим числом экспериментальных данных. В частности, как отмечалось выше ( 26), для плоского напряженного состояния пластическая область (работа пластической деформации в этой области отождествляется с работой разрушения) имеет удобную для расчета форму в виде узкой зоны перед краем трещины. Остальной объем тела находится в упругом состоянии. Используем энергетическое условие (4.6) для определения критических состояний равновесия. В дальнейшем это условие будет использовано для расчета докритических состояний ( 29) и долговечности при повторном нагружении ( 30). [c.231]

В работе [110] для описания критического состояния равновесия упруго-вязких тел с трещинами из глобального энергетического критерия Гриффитса получено локальное условие разрушения, включающее только мгновенные реологические характеристики. Из этого следует, что в зависимости от приложенной нагрузки трещина либо не развивается t = ос), либо быстро растет сразу же по приложении нагрузки ( = 0). Случай О < < ос отсутствует. Такой результат получен из линеаризованной задачи, в которой напряжения, деформации и их градиенты имеют особенность у конца трещины. В этом случае естественна зависимость критерия разрушения только от мгновенных характеристик, так как любой малой скорости конца трещины отвечают бесконечные скорости деформации у конца. [c.203]

Следовательно, уравнение (14.90) является условием безразличного критического состояния равновесия стержня. Из соотношений (14.86) и (14.90) определяется критический крутящий момент [c.446]

При исследовании устойчивости стержня нагрузки неизвестны и требуется найти такие нагрузки, которые удовлетворяют нелинейным уравнениям равновесия (3.10) —(3.14) и линейным уравнениям (3.24) — (3.27) при однородных краевых условиях. Численное решение уравнений (3.10) — (3.14) для каждого шага нагружения изложено в 2.3. Возможны различные варианты нагружения стержня а) пропорциональное увеличение нагрузок б) последовательное нагружение, например вначале стержень нагружается силами, при которых нет потери устойчивости, а затем дополнительно нагружается или распределенной нагрузкой, или сосредоточенной силой или моментом. Возможны, конечно, и более сложные варианты нагружения, когда стержень дополнительно нагружается несколькими силами или моментами (распределенными или сосредоточенными). Во всех перечисленных случаях можно выделить одиу нагрузку и, увеличивая ее, довести стержень до критического состояния. Это существенно при численном счете, когда надо определять собственные значения (критические силы) краевой задачи. [c.123]

Условия равновесия в растворах. 14.2. Идеальные растворы. 14.3. Разбавленные растворы. 14.4. Критические состояния. [c.482]

Имеется вторая возможность. Пусть ф О, и маятник, следовательно, отклонен от вертикали. Тогда условие равновесия выполняется при Р=с11, и вблизи исходного состояния равновесия обнаруживается второе состояние равновесия, сколь угодно близкое к первому. Силу, соответствующую этой, как говорят, бифуркации форм равновесия, мы принимаем за критическую. [c.417]

ВЫВОДЯТСЯ из условия устойчивости равновесия вещества в критическом состоянии и могут быть объяснены, в частности, принципом Ле-Шателье. [c.127]

Для выяснения условий, при которых становятся возможными различные состояния равновесия, рассмотрим пример (задача Эйлера) о сжатии стержня (рис. 14.5). Критическая сила в этой задаче будет равна такой осевой силе, при которой стержень может находиться в слегка изогнутом состоянии. [c.234]

Однородное состояние равновесия при достижении некоторых критических условий теряет устойчивость, и в системе возникают неоднородности, получившие название диссипативных структур [46]. Возникающее после перехода к новым диссипативным структурам новое неоднородное состояние открытой системы становится устойчивым по отношению к малым возмущениям. В открытой системе рассматривают два вида устойчивого состояния — однородное и неоднородное. Непрерывная эволюция открытой системы происходит при смене диссипативных структур в условиях преимущественно неоднородного устойчивого состояния. Поэтому под устойчивым положением открытой системы в определенный период времени подразумевают сохранение неизменным в течение рассматриваемого интервала времени ведущего механизма накопления повреждений, который описывают единственным доминирующим типом диссипативной структуры металла. [c.119]

Для выяснения деталей закритического поведения идеальной системы обратимся к соотношению (18.142). В критическом состоянии, когда Ро = Ро = 0. Это значит, что процесс закритического деформирования начинается с бесконечно малого поворота стойки вокруг точки Ь, лежащей на оси стержня 1. В этот момент стержень 1 не деформируется, а стержень 2 догружается. По мере увеличения нагрузки нейтральная ось смещается вправо, т. е. стержень 1 разгружается, а стержень 2 догружает-ся. В пределе, когда Р = Рг, положение нейтральной оси определяется условием = v/(l +v). Если, удерживая стойку в вертикальном положении, довести нагрузку до уровня Рг < Ро < Рг, а затем связь удалить, то траектория закритического деформирования будет иметь вид кривой ВЕ на рис. 18.84, а. С ростом наклона стойки растет и параметр [c.429]

Ввиду того, что динамический подход определяет критическое состояние условием = О и коэффициент П< не связан с распределением массы системы, критическая нагрузка не зависит от этого распределения. Следовательно, при динамическом анализе устойчивости равновесия системы под [c.437]

На рис. 1.17 схематично поясняются два варианта вывода уравнений (1.29). В первом варианте (рис. 1.17, а) использовали условие стационарности полной потенциальной энергии системы в состоянии равновесия, смежном с исходным. Во-втором варианте (рис. 1.17, б) исследовали знак изменения полной потенциальной энергии кЭ при отклонениях системы от исходного состояния равновесия. Оба варианта решения приводят к одной и той же критической точке бифуркации Ai- [c.29]

Критическим является такое значение параметра нагрузки Р р. при превышении которого начальное состояние равновесия перестает быть устойчивым. Поэтому при Р > Р р условие (2.39) для любых возможных отклонений не выполняется и, вообще говоря, имеются такие отклонения, при которых АЗ = 0. Следовательно, Ркр можно разыскивать как нижнюю границу тех значений Р, при которых возможны отклонения системы от начального состояния, приводящие к условию ДЗ = 0. [c.51]

Для определения критического значения параметра нагрузки Р р нужно подсчитать изменение полной потенциальной энергии системы А5 с точностью до квадратов перемещений, описывающих переход системы в новое, отклоненное состояние, смежное с начальным состоянием равновесия, устойчивость которого исследуется. Собственные значения параметра нагрузки Р можно-найти либо из условия стационарности АЗ [c.52]

Из сказанного здесь выявляются границы области практического приложения полученных выше выражений числа М, формул критической скорости и закономерностей ее изменения. В пределах этой области структура и состояние среды должны удовлетворять условиям сохранения фазового равновесия системы. В быстродвижущихся потоках и вообще при больших продольных градиентах давления обстановка, требуемая для сохранения термодинамического равновесия, складывается, во-первых, в чистом паре после его первоначального увлажнения, возникающего в скачке конденсации, и, во-вторых, в смеси паров за скачком конденсации компоненты, обладающей относительно высокими параметрами насыщения. [c.96]

При исследовании систем, находящихся вдали от состояния равновесия, неожиданно обнаруживается зависимость между кинетикой идущих в системах химических реакций и их пространственно-временной структурой. Конечно, верно, что взаимодействия, определяющие величины констант скоростей химических реакций и параметров переноса, в свою очередь определяются величинами близкодействующих сил (имеются в виду валентные связи, водородные связи, силы Вап-дер-Ваальса). Тем не мепее решения кинетических уравнений зависят, кроме того, и от глобальных характеристик. Эта зависимость, тривиальная для термодинамической ветви вблизи равновесия, для химических систем, находящихся в условиях, далеких от равновесных, становится определяющей. Например, диссипативные структуры, как правило, возникают лишь в таких системах, размеры которых превышают некоторые критические значения. Значения этих критических величин являются сложной функцией параметров, определяющих идущие в системе химические реакции и диффузию. Поэтому мы можем сказать, что химические нестабильности сопряжены с упорядочением па больших расстояниях, благодаря которому система функционирует как единое целое. [c.137]

Термодинамическое условие равновесия системы жидкость—пар в критическом состоянии [c.188]

В равновесной термодинамике гетерогенных систем обычно поведение каждой из фаз рассматривается порознь. Метод раздельного анализа однородных составляющих системы позволяет выяснить многие важные свойства однокомпонентных систем, в частности условие взаимного равновесия соприкасающихся фаз, связь между термодинамическими параметрами равновесных фаз и видом агрегатного превращения, изменения внутренней энергии, энтропии и энтальпии при агрегатных переходах, некоторые свойства веществ вблизи критического состояния и т. д. Этот же прием используется в технической термодинамике парожидкостных систем, в частности для табличных расчетов процессов во влажном паре. [c.9]

Для замкнутой в окружном направлении цилиндрической оболочки в соответствии с порядком полученной системы уравнений на каждом из торцов должно быть задано по четыре граничных условия два граничных условия относительно нормального прогиба w и его производных и два граничных условия относительно тангенциальных перемещений и и и их производных. Следует подчеркнуть, что входящие в систему уравнений (8.11) бифуркационные перемещения и, V, w описывают отклонения срединной поверхности оболочки от начальной до-критической формы равновесия. Поэтому однородные граничные условия для этих перемещений непосредственно не связаны с граничными условиями начального докритического состояния и должны формулироваться независимо от.них (примеры формулировки граничных условий будут рассмотрены в следующих параграфах при решении конкретных задач устойчивости оболочек). [c.223]

Не останавливаясь на деталях вывода представим энергетическое условие равновесия упругого тела в критическом состоянии (называемое часто состоянием безразличного равновесия) в форме [c.132]

Выполнение неравенства (V.5) возможно лишь при догружении оболочки контактным давлением, поэтому возникает задача об отыскании такого значения параметра нагружения конструкции, превышение которого ведет к потере устойчивости процесса нагружения. Для того чтобы пояснить это положение рассмотрим в качестве примера задачу о потере устойчивости кольца, под действием сжимающего его одностороннего кругового основания. В основном (осесимметричном) состоянии равновесия контактное давление, действующее на кольцо, qk — с W — а) i , причем а<0 ш — а>0 1 з 1в силу осевой симметрии. Подчеркнем, что величина w — а имеет конечное значение, поэтому бесконечно малые отклонения бш(Р) от радиального перемещения w не могут привести к отрыву кольца от основания и, как показано выше, зоны контакта в смежном и основном состояниях совпадают. Если отбросить условие (V.5), получим критическую нагрузку для кольца, спаянного с основанием в зоне контакта, возникшей в докритическом состоянии. Такой подход отвечает задаче о потере устойчивости состояния равновесия. [c.81]

Во II, III и V главах дано решение задачи о предельном равновесии цилиндра с внешней кольцевой трещиной, когда такой цилиндр подвергнут осевому растяжению или изгибу. При этом для указанной задачи установлены значения коэффициентов интенсивности напряжений, условия существования состояния плоской деформации в окрестности контура трещины и т. п. Задача о растяжении цилиндра с кольцевой трещиной рассмотрена также в рамках б -модели и установлены соотношения, связывающие критическое раскрытие трещины 6 с силовыми и геометрическими параметрами этой задачи. Рассмотрена динамическая задача о растяжении цилиндрического образца с мелкой кольцевой трещиной. Для некоторых случаев приведено сопоставление теоретических и экспериментальных данных. [c.7]

Устойчивые и неустойчивые состояния тела с трепанной. Тело с трещиной находится в состоянии механического равновесия, когда в любом элементе объема тела (как и для всего тела в целом) соблюдаются условия равновесия. Это означает, что нагрузка постоянна, нет движения элементов объема, следовательно нет распространения трещины (трещина неподвижна). Для того чтобы трещина стала распространяться, необходимо либо увеличить внешнюю нагрузку, либо (при постоянной нагрузке) снизить работу разрушения материала. С медленным ростом нагрузки трещина медленно растет. Малому приращению нагрузки соответствует малое приращение длины трещины, и, следовательно, рост нагрузки сопровождается соответствующим ростом длины трещины. Такое состояние тела с трещиной называется устойчивым (иногда квазистатическим или до-критическим) ростом трещины (или трещину называют устойчивой). Для устойчивости трещины соблюдается условие dP/dl > О, т. е. в предельном состоянии равновесия (нри соблюдении критериев разрушения) нагрузка является возрастающей функцией длины трещины. [c.112]

Из рассмотренного примера видно, что оценка устойчивости равновесия, а в случае независимости положения равновесия от величины силы определение критического состояния и критической силы может быть произведено путем рассмотрения изменений условий равновесия при отклонении от положения равновесия. Условия равновесия могут быть сформулированы в виде уравнений равновесия или же в виде требования, чтобы положению равновесия соответствовало экстремальное значение потенциальной энергии рассматриваемой системы (т. е. максимум или минимум). Данное положение равновесия устойчиво, если ему соответствует минимум потенциальной энергии, т. е. если последняя при достаточно малых отклонениях от рассматриваемого положения возрастает, в противном случае равновесие неустойчиво. Так, в рассмотренном выше примере при повороте стойки на угол 0 потенциальная энергия скручивающейся при этом пружины возрастает на величину [c.340]

Если положение равновесия не зависит от величины Р, то критическому состоянию соответствует условие ) [c.341]

Подчеркнем, что в этом условии фигурирует полная энергия системы — наряду с энергией деформации и включает в себя потенциальную энергию-нагрузки. Встречаются, однако, и такие случаи, когда внешние силы не имеют потенциала, т. е. понятие потенциальной энергии для нагрузки лишена смысла (подобным образом, например, будет обстоять дело для стержня,, изображенного на рис. 213, если действующая на него сила будет следящей , т. е. направленной вдоль оси стержня в любом его положении). В этих случаях оказывается непригодным и приведенное энергетическое условие достижения критического состояния, и вместо этого условия приходится использовать другое, вытекающее из рассмотрения колебаний системы около исследуемого состояния равновесия и применения к таким колебаниям критериев-устойчивости движения. [c.341]

При исследовании статической устойчивости стержней требуется определять приращения внешней нагрузки, которая, например, при потере сте )жнем устойчивости остается по модулю неизменной, а изменяет только свое направление по отношению к подвижной (связанной системе координат, т. е. ао] = = 1а1). Если считать, что состояние а (рис. П.15,а) соответствует критическому состоянию равновесия стержня, а состояние б — новому состоянию равновесия стержня после потери устойчивости, то требуется определить приращения компонент вектора а при условии, что а = 1ао1. В этом случае приращения компонент вектора а вызваны только изменением направления вектора Эо по отношению к связанной системе координат при переходе в новое состояние. Вектор [c.309]

Критерии устойчивости, или принципы оценки устойчивости, могут меняться в зависимости от обстоятельств. Поэтому часто, чтобы отвлечься хотя бы терминологически от расчетной схемы, употребляют термин сила выпучивания. Это — сила, при которой возникают заметные отклонения от исходного состояния равновесия. Критическая же сила — это понятие, свойственное избранной расчетной схеме идеального стержня. Даже при чисто упругих деформациях сила выпучивания и критическая-сила — не одно и то же. Ведь в расчете по Эйлеру было принято, что стержень идеален, однороден и не имеет начальной погиби. А в реальных условиях этого нет, сколь бы точно не изготовлялся стержень. Поэтому при испытаниях сжатого стержня фактически измеряется не критическая сила, а сила выпучивания, которая лишь близка по своему значению к критической. [c.157]

Начальное развитие трещины до критического состояния может протекать стабильно в процессе возрастанир статической нагрузки. Соответствующие условия равновесия элементов с постепенно прорастающими трещинами вытекают из энергетических и деформационных представлений. [c.34]

Дифференциальное уравнение равновесия и граничные условия. Используя определение эйлеровой критической силы как наименьщей из сил, способных удержать стержень в искривленном состоянии, полагая в качестве такового положение нейтрального (безразличного) равновесия, составим такое дифференциальное уравнение равновесия стержня, находящегося в отмеченном выще состоянии, т. е. уравнение относительно бо-возмущения (прогиба) первоначально прямолинейного очертания оси, из которого можно найти нетривиальное для 8v рещение. Уравнением, удовлетворяющим этому условию, является уравнение равновесия, составленное с учетом поворота, но без учета деформации элемента стержня ). [c.329]

Рассмотрим вопрос о критических состояниях валов, несущих несколько дисков (рис. 111.21), и определим критические скорости вращения из условий упругого равновесия изогнутого вала, нагруженного центробежными силами т1(0крГь тзсо рГг,. . ., [c.181]

Во втором варианте критическая нагрузка разыскивается как наименьшее из значений нагрузки, при которых у системы суще ствуют состояния равновесия, смежные с тем начальным состоянием устойчивость которого исследуется. Следуя этому определению линеаризованные уравнения устойчивости обычно получают непо средственно из условий равновесия системы в отклоненном от на чального состоянии. Однако часто оказывается удобнее (например для сложных систем типа многослойных конструкций) линеари зованные уравнения устойчивости получать с помощью принципа возможных перемещений. [c.79]

Согласно приведенному определению наименьшее из всех возможных значений F, даваемых поелёдним выражением, равно критическому значению Напомним, что Д5, W и V являются функционалами, зависящими от перемещений первого порядка малости, переводящих систему в состояние, смежное с начальным состоянием равновесия. Необходимое условие минимума параметра F дает [c.30]

Тривиальное решение полученной системы уравнений Сг s О соответствует начальному состоянию равновесия пластины. Для существования отличных от нуля решений этой системы, т. е. для существования новых состояний равновесия, отличных от начального, определитель системы (7.32) должен быть равен нулю. Из этого условия можно найти те значения Fn нагрузки, при которых возможны состояния равновесия пластины, отклоненные от начального. Наименьшее из таких значений приближенно равно критическому Рппйа - кр- [c.201]

Для идеального продольно сжатого упругого стержня, если сжимающая сила не превышает критического зйлерова значения стержень будет возвращаться в первоначальную прямолинейную форму, если ему задать малый прогиб в виде sin (па /0 и затем отпустить состояние стержня, предшествовавшее заданию в нем перемещений, опишем как условие устойчивого равновесия. Если силу Р можно было бы довести до значения, намного превышающего критическое, не допуская выпучивания, а затем стержню задали бы некоторое смещение и снова отпустили, toi он стал бы неограниченно изгибаться дальше, т. е. выпучиваться , говорят, что это было условие неустойчивого равновесия. Если нагрузка Р в точности равна критическому значению и стержню-придаются прогибы небольшой величины, а затем его отпускают, то стерн ень останется в состоянии равновесия в изогнутом положении будем говорить, это есть условие нейтрального равновесия при малых перемещениях. [c.81]

Второй этап соответствует моменту возникновения потери устойчивости и состоит в исследовании условий, при которых нагруженная цилиндрическая оболочка может находиться в равновесии, у чи в деформированном состоянии. Обычно такому состоянию равновесия соответствует множество различных форм, по которым происходит деформация, поэтому здесь требуется найг ти такую форму., которой бы соответствовала наименьшая из возможных нагрузок, после чего можно считать, что потеря устойчивости произойдет именно при этой нагрузке. Как уже говорилось в 2.5 применитель но к более простому случаю сжатых стержней, теоретически действительно соверщенный образец, не имеющий дефектов, мог бй находиться в равновесии и не выпучиваться даже тогда, когда нагрузки становятся равными или даже превышают критические значения, при тсоторых образец мог бы находиться в равновесий потеряв устойчивость однако, нужно быть реалистами и допускать возможность существования малых oJ клoнeний от идеальной формы, которые будут способствовать возникновению выпучивания, хотя их величины являются слишком малыми, чтобы оказывать замер ное влияние на критическую нагрузку (ем. обсуждение продольно сжатых идеальных стержней в 2 5) . - [c.489]

Развитие трещин до образования критических состояний может протекать стабильно в процессе возрастания нагрузки. Соответствующие условия равновесия элементов с постепенно прорастающими трещинами вытекают из энергетических представлений [10, 19, 20 21, 33]. Для тонкой пластины С трещиной, растягиваемой напряженц- [c.234]

Пусть дано кольцо радиуса а. Пусть его меридиональное сечение имеет ось симметрии, параллельную оси симметрии кольца, так что ось симметрии меридионального сечения вместе с перпендикулярной к ней осью, проходящей через центр тяжести меридионального сечения, представляют главные оси поперечного сечення. Так как мы предполагаем, что размеры поперечного сечения в сравнении с диаметром 2а кольца малы, то к рассматриваемому кольцу можно применить формулы теорик изгиба бруса малой кривизны. Пусть нагрузка распределена равномерно вдоль круга радиуса а и направлена к центру этого круга. Пусть 1) все силы нагрузки будут направлены к этой неподвижной течке также и при бесконечно малом отклонении кольца от его круглой формы и пусть 2) на единицу длины окружности приходится нагрузка р кг см, так что центральному углу da соответствует нагрузка р айч. При очень большой нагрузке кольца образуется восьмерка , т. е. плоская форма равновесия переходит в искривленную. Так как в данном случае мы имеем задачу об устойчивости, то мы должны исходить из деформированного состояния кстльца, бесконечно близкого к состоянию равновесия, и выразить, что для этого близкого состояния также получается равновесие. Это дает нам условие, которому должна удовлетворять критическая нагрузка р , при переходе через которую начинается потеря устойчивости плоской формы равновесия. [c.378]

Коэффициент ф1 является безразмерным коэффициентом усиления, который равен единице при а1=0 и неогранйченно возрастает, когда величина аЬ стремится к я. Итак, вновь находим, что существует критическая величина ниже которой балка является устойчивой и достигается состояние равновесия. Эта критическая величина задается соотношением а/.=л, или Ь=, а условие устойчивости совпадает с приведенным выше условием (6.39). В общем случае можно показать, что это условие устойчивости сохраняется для свободно опертой балки независимо от типа нагрузки, создающей начальный прогиб. [c.245]

Поведение сжатого стержня при сжимающей силе, превосходящей критическую. Исходя из уравнения (12.1), можно определить критическую силу для сжатого стержня, т. е. силу, при превышении которой равновесие оказывается неустойчивым. Однако мы не сможем ответить на вопрос о том, как будет вести себя стержень при сжимающей силе, равной критической или превосходящей последнюю, так как уравнение (12.1) является приближенным, справедливым лишь при малых прогибах, почему критическое состояние определялось из условия безразлич- [c.357]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...