Задача Принцип Гамильтона

Для данной задачи принцип Гамильтона имеет вид [c.215]

Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение колебаний струны. [c.377]

Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебаний подвешенной за один конец нити. [c.377]

Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, получить граничные условия в задаче о поперечных колебаниях консольной балки длины I. [c.378]

Вернемся теперь к принципу Гамильтона и выясним, какого типа стационарная точка — максимум, минимум или точка перегиба — достигается действием на прямом пути. Ответ на этот вопрос тесно связан с указанными в начале этого параграфа особенностями краевой задачи, которая возникает при проведении прямого пути. [c.283]

Возникает вопрос о непосредственном применении вариационных принципов механики для определения закона движения системы материальных точек без интегрирования соответствующей системы дифференциальных уравнений движения. Ответ на этот вопрос можно найти в прямых методах вариационного исчисления. Не рассматривая этот вопрос подробно, так как такое рассмотрение выходит за пределы содержания этой книги, остановимся на некоторых частных случаях непосредственного применения принципа Гамильтона — Остроградского к решению задач динамики. [c.210]

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Гамильтона-Остроградского в форме [I] [c.323]

Таким образом, принцип Гамильтона-Остроградско] о (42. Ij принимает конкретную формулу, пригодную для решения задач механики разрушения " [c.326]

Для решения динамических задач применяют вариационный принцип Гамильтона [4] [c.11]

Принцип Гамильтона и принцип наименьшего действия приводят, как мы знаем 1), составление уравнений движения динамической задачи при некоторых условиях к отысканию минимума определенного интеграла. Однако это приведение к минимуму в общем случае не имеет места. [c.316]

Эта книга представляет собой небольшой том, в котором изложены первые исследования автора. Многообразие различных химических, термодинамических и электрических задач автор пытается охватить здесь одним методом — посредством составления лагранжиана. Однако он не применяет этого метода к силовым полям, т. е. не рассматривает наиболее плодотворного в настоящее время принципа Гамильтона. Современному читателю изложение этой книги может показаться несколько бледным. [c.71]

Мы уже говорили, что вариационные принципы не вносят в механику нового физического содержания и редко упрощают практическое решение той или иной механической задачи. Их главное достоинство состоит в том, что они служат отправными точками новых теоретических концепций в классической механике. В этом отношении особенно плодотворен принцип Гамильтона, а также принцип наименьшего действия, хотя и не в такой степени. Что касается других принципов, то они имеют заметно [c.260]

Модифицированный таким путем принцип Гамильтона показывает, что гамильтониан рассматриваемых 2п + 2 переменных всегда равен нулю (см. задачу 6 гл. 7). Показать, что получающиеся 2/1 + 2 уравнений Гамильтона можно свести при этом к 2п обычным уравнениям Гамильтона плюс уравнение (7.19) и уравнение [c.297]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа L (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала У далее — в теории относительности, когда L нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль кинетической части принципа наименьшего действия играет выражение [c.277]

Формализм Гамильтона. В механике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых силовая функция зависит не только от положения частиц, но и от времени. Для подобных систем закон сохранения энергии не выполняется и принцип Эйлера — Лагранжа не применим, однако применим принцип Гамильтона. [c.17]

Роль принципа Даламбера в механике. Принцип Даламбера дает полное решение задачи механики. Все остальные принципы механики — это просто математически другие формулировки принципа Даламбера. Наиболее развитый вариационный принцип механики, принцип Гамильтона, может быть получен из принципа Даламбера путем некоторого математического преобразования. В тех случаях, когда оба принципа применимы, они эквивалентны. Однако принцип Гамильтона относится лишь к голономным системам, в то время как принцип Даламбера равно применим и к голономным и к неголономным системам. [c.116]

Задача. Показать то же самое при помощи принципа Гамильтона. [c.167]

Чтобы решить эту задачу, можно вычисленное с помощью уравнения (20) пятнадцатой лекции давление, производимое жидкостью на элемент поверхности тела, ввести в дифференциальное уравнение движения неизменяемого тела. Эго можно сделать более коротким путем, если исходить из принципа Гамильтона, который применим также и к настоящему случаю, как мы это показали в 6 одиннадцатой лекции, и который применялся Томсоном и Тэтой в подобных случаях. [c.198]

Пример 2 (Движение материальной точки в однородном поле тя-ЖЕСТИ ). Эта задача была рассмотрена в п. 219 для иллюстрация принципа Гамильтона-Остроградского. Здесь мы ее применяем для иллюстрации принципа Мопертюи-Лагранжа, что поможет яснее представить разницу между этими принципами. [c.485]

Принцип Гамильтона представляет большой теоретический интерес, но практическое значение его для решения задач невелико. По суш еству, он выражает основное уравнение в проинтегрированном виде. Результаты, получаемые с помош ью принципа Гамильтона, практически обычно могут быть получены более быстрым путем непосредственно из основного уравнения, В 3.9 приведены два примера, относящиеся к системам с непрерывно распределенной массой они это достаточно ясно иллюстрируют. Результаты, полученные в 3.9 из основного уравнения, могут быть получены и из принципа Гамильтона, но, как легко видеть, первый путь является более коротким. [c.49]

Подобно принципу Гамильтона ( 3.7), принцип наименьшего действия выражает необходимые и достаточные условия движения. Поэтому из пего можно вывести уравнения движения. Однако это сделать значительно трудней, чем из принципа Гамильтона, вследствие ограничения Е = h, накладываемого на движения вдоль варьированных путей. В этом случае мы имеем вариационную задачу Лагранжа. Мы приведем здесь этот вывод для натуральной системы. Согласно принципу наименьшего действия функционал h [c.546]

Подобные общие принципы, в которых выставляется требование, чтобы интеграл некоторой функции состояния, распространенный на время, в течение которого происходит изменение состояния, имел экстремальное значение, иногда обязательно минимальное, выдвигались неоднократно. Эти принципы имели различную форму, соответствующую тем или другим условиям, налагаемым на варьирование, но при правильном выполнении требуемых варьирований все эти принципы приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям для рассматриваемых процессов. Первым из этих интегральных принципов был предложенный Мопертюи принцип наименьшего действия, в котором утверждалось, что при всех происходящих в природе явлениях среднее значение живой силы имеет минимальное значение. Условия варьирования, имеющие при этом место для механических задач, найдены только Лагранжей, и тем самым этот принцип был только им научно обоснован. Эти условия с современной точки зрения могут быть выражены требованием, чтобы полная энергия варьированного движения оставалась равной полной энергии действительного движения. Впрочем, к тем же результатам приводит принцип Гамильтона, при котором имеет место другое условие, а именно, что время не затрагивается варьированием. Это последнее условие имеет то преимущество, что мы имеем возможность присоединить к Я добавочные члены, относящиеся к внешним силам. Поэтому мы оставляем форму Гамильтона, которая теперь при сохранении прежнего условия варьирования гласит [c.465]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, так как этот принцип позволяет получить не только дифференциальные уравнения задачи, но также и краевые условия, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. [c.842]

В связи с развитием термодинамики и молекулярно-кинетической теории тепловых явлений в середине XIX в. перед сторонниками механистического мировоззрения возникла задача свести этот новый круг проблем к механике. В первую очередь речь шла о втором начале термодинамики, которое, с характерной для него и глубоко чуждой классической механике идеей необратимости, вносило новый элемент в физическую картину мира. Первые попытки вывести второе начало термодинамики из механических принципов были сделаны Больцманом ), Клаузиусом ) и Чили ) в 60—70-х годах XIX в. Чили ошибочно полагал, что он вывел второе начало прямо из принципа Гамильтона, в то время как Больцман и Клаузиус видели, что для решения этой задачи надо внести в принцип Гамильтона существенное изменение, которое расширит сам принцип, придав ему, однако, по существу, различный смысл внутри механики и вне ее. [c.850]

В 1866 г. Больцман поставил вопрос о механическом значении второго начала теории теплоты . Для того чтобы ответить на него, он рассматривал средние значения силовой функции и живой силы системы, в которой движения являются периодическими, и вариации этих средних значений, когда изменяются внешние воздействия на систему. В такой постановке задача, естественно, приводится к принципу Гамильтона. Обобщая принцип Гамильтона, найдем [c.851]

Принцип Гамильтона применим к описанию явлений в любом поле, отличающемся от обычной задачи динамики тем, что в последней есть одна независимая переменная I и несколько зависимых переменных в то время как в случае поля д, и t являются независимыми переменными, а величины, характеризующие поле, являются зависимыми переменными. Поле и заряженные тела образуют систему, подчиняющуюся гамильтоновой динамике. [c.857]

Необходимо здесь отметить, что формулировка законов механики в форме принципа Гамильтона имеет и то значение, что он позволяет установить, как нужно описывать немеханические системы с той же математической строгостью, которая характерна для классической механики. Принцип Гамильтона нельзя рассматривать как чисто механический принцип. Здесь интересно отметить, что есть закон, который во многом аналогичен принципу Гамильтона и который имеет очень общий характер. Этот закон часто служит физику трамплином для перепрыгивания провалов в экспериментальных данных. Он гласит, что всякая система стремится к состоянию с минимумом потенциальной энергии. Такое состояние, вообще говоря, будет равновесным, хотя и не обязательно. Это — важный эвристический метод физики. Например, в теории Бора мы говорим, что электрон спонтанно переходит из возбужденного в нормальное состояние, так как он стремится к состоянию с минимумом энергии. Впрочем, аналогичную формулировку можно дать и второму началу термодинамики, особенно в его вероятностной трактовке. Важен следующий факт если задано исходное состояние физической системы и ее энергетический баланс, то можно указать, в общем, направление, в котором будет происходить изменение состояния системы. Таким образом, этот, по сути дела, вариационный принцип минимума потенциальной энергии лежит в основе исследования задач устойчивого равно- [c.865]

Что же касается принципа Гамильтона, то с его помощью вариационные задачи в классической механике рассматриваются двумя различными методами. [c.867]

Вариационная задача для анализа развития трещин в однородных твердых телах была поставлена в работах /98-100/. Как обычно, при подобных процедурах /99, 100/ строится некоторый характеристический функционал, вариация которого приравнивается к нулю. Исследуемая система не является консервативной, т.е. в этом случае работает принцип Гамильтона-Остроградского. Характеристический функционал имеет следующий вид t [c.139]

В своих Лекциях Якоби значительно развил теорию канонических уравнений Гамильтона, существенно расширив класс механических систем, к которым она применима. Изложив принцип Гамильтона и выведя канонические уравнения для любых механических систем, обладающих силовой функцией, в которую может входить время, Якоби применяет к этим уравнениям теорему С. Пуассона, открытую им в связи с другими задачами механики. [c.212]

Аналитическое решение динамических задач теории температурных напряжений может быть получено при помощи принципа Гамильтона [71]. [c.214]

Развитые методы распространяются на динамические задачи теории упругости путем учета сил инерции. Таким образом, принцип виртуальной работы для динамических задач выводится с помощью понятия кинетической энергии. Принцип виртуальной работы преобразуется в новый вариационный принцип, если предположить, что существуют функция энергии деформации и функции потенциалов внешних сил. Полученный таким образом вариационный принцип можно рассматривать как принцип Гамильтона, распространенный на динамические задачи теории упругости. Он может быть далее обобщен с применением правила множителей Лагранжа. [c.19]

Замечание 8.12.1. Использование принципа Гамильтона приводит к необходимости решать краевую задачу, то есть задачу о поиске решения системы дифференциальных уравнений движения, удовлетворяющего заданным краевым условиям q(системы дифференциальных уравнений определяется по начальным условиям q(to), Задача Коши в силу принципа [c.613]

Рассмотрим обратную задачу. Принимая аксиоматически принцип Гамильтона — Остроградского, получим из него уравнения движения (65.41). Так как [c.101]

Дифференциальные уравнения движения тела в жидкости, на которое действуют данные силы. Применение к этому случаю принципа Гамильтона. Движение тел при отсутствии внеитих сил. Упрощение задачи через предположение некоторой симметрии Шар. Тело вращения. Движение в жидкости двух бесконечно малых шаров. Силы взаимодействия между ними.) [c.198]

После того как дифференциальные уравнения движения написаны на основании вариационного принципа Гамильтона, возникает вопрос об их фактической интеграции. Для этой цели Гамильтоном и Якоби систематически развита специальная теория. Эта теория имела особое значение для небесной механики и для классической теории атома Бора—Зоммерфельда. Построение этой теории заключает в себе три последовательных этапа. Прежде всего необходимо найти возможно более простую форму дифференциальных уравнений движения. Эта форма была найдена в канонических уравнениях Галгильтона. Затем надо установить общие законы таких преобразований этих дифференциальных уравнений, при которых они сохраняли бы свою форму. Такими законами оказались канонические преобразования и теория важнейших их инвариантов. Наконец, надо развить собственно теорию интегрирования систем канонических уравнений. Решение этой задачи привело к установлению и интегрированию уравнения в частных производных Гамильтона—Якоби. [c.827]

М. Планк утверждал, что объединение различных областей физики в единое целое может быть выполнено с помощью принципа Гамильтона. С точки зрения М. Планка ), развитой им в первой четверти XX в., общим принципом всех обратимых процессов является принцип наименьшего действия, который лежит в основе построения единой физической картины мира, так как он совершенно симметрично заключает в себе четыре мировые координаты и инвариантен при всех лоренцовых преобразованиях. Принцип наименьшего действия возник в механике, но сфера его применимости охватывает термодинамику и электродинамику. Поэтому задача объединения [c.854]

Анализ характерного для развития физики XIX в. метода построения моделей всех немеханических явлений на основе механических аналогий был дан в 90-х годах XIX в. Г. Герцем и А. Пуанкаре. Герц прищел к выводу, что бесконечно много физических соверщенно различных систем могут быть моделями одной и той же системы и каждая система есть модель бесконечно многих, совершенно различных систем. Таким образом, механистическая картина мира не однозначна. К таким же выводам пришел А. Пуанкаре, исходя из рассмотрения механических моделей, которые строятся с помощью принципа Гамильтона. Таким образом, механистическое объяснение не выполняет своей главной задачи, так как оно не позволяет сделать сколько-нибудь однозначный вывод о сущности явлений природы. Это — необходимое следствие немеханической сущности явлений природы и фактически окончательное падение механицизма. Впрочем, как это часто бывает, исторически он пережил сам себя. А. Пуанкаре делает отсюда идеалистические выводы, которые подверг глубокой и справедливой критике В. И. Ленин. [c.857]

Для задач динамики конструкций с нелинейными определяющими соотношениями удобнее использовать вариационный принцип Гамильтона-Ост-роградского [c.105]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Целью настоящей статьи является анализ проблемы теплоотдачи при вынужденном движении (проблемы Грэтца) с учетом вязкой диссипации и внутреннего тенловыделения с помощью вариационного метода. Вариационные методы и раньше использовались для решения ряда задач теплообмена [3,]. Пользуясь математической терминологией, можно сказать, что основное дифференциальное уравнение чаще всего является самосопряженным. Вариационные формулировки обычно могут быть построены по образцу принципа Гамильтона, который приводит к уравнениям Эйлера — Лагран-н<а. Можно использовать также хорошо известные методы Рэлея — [c.325]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...