Стационарной фазы метод точки

Поле рассеяния объемных отражателей (сферы, цилиндра) можно рассчитать на основе формулы Кирхгофа (1.71), интегрируя по той части поверхности отражателя, которая одновременно видна из центров излучателя и приемника (освещенная область). Вычислив интеграл методом стационарной фазы, получим [c.109]

Есть два способа построения геометрической оптики. Первый, наиболее общий, связан с уравнением эйконала [1, 7, 8]. Второй — с вычислением интеграла Френеля — Кирхгофа методом стационарной фазы. Преимущество этого способа состоит в том, что он позволяет рассматривать геометрические и дифракционные эффекты с единой точки зрения (см. приложение 1). Именно таким образом строится дифракционная теория аберраций [7]. В нелинейной оптике первому способу соответствует [c.57]

Если, напротив, "(у) 0 на интервале (а, р), то к (17) можно применить метод стационарной фазы, который является разновидностью метода перевала (см. Л. и Ш., стр. 472). Мы получим, что в этом случае волны затухают со скоростью порядка (см. [14]). [c.321]

Корни уравнения (16.37) называются точками стационарной фазы. Если таких точек на контуре несколько, то интеграл (16.35) приближенно равен сумме интегралов (16.40), взятых около всех таких точек. Вообще говоря, применение этого метода вычисления интегралов с большим параметром в фазе (так называемого метода стационарной фазы) требует предварительной деформации контура интегрирования, так чтобы он проходил через все точки hs, притом в направлении, в котором ( (/г) меняется быстрее, чем в соседних направлениях. В нашей задаче это имеет место уже для первоначального контура — точка h = hs лежит на вещественной оси, и именно вдоль вещественной оси ф(А) меняется быстрее всего. [c.167]

Сначала, в 21, рассматривается лучевая структура полей в средах, свойства которых медленно изменяются в пространстве. Лучевое строение поля рассмотрено двумя способами. Волновые фронты и нормали к ним, т. е. лучи, можно построить, если решить дифференциальное уравнение эйконала. Показано, что лучи, имеющие разную амплитуду и идущие параллельно друг другу, обмениваются энергией. Мы можем также получить лучи, препарируя интегральное представление поля, определяя поле в точке наблюдения методом стационарной фазы. Этот подход позволяет сформулировать условие применимости геометрической оптики. [c.217]

В более общем случае неоднородной среды и двух радиусов кривизны волнового фронта в выбранной на луче точке Гу также существует область вокруг луча, влияющая на формирование поля в точке л. Форма этой области, которая находится двумерным методом стационарной фазы, может быть довольно сложной. [c.228]

Вычислим этот интеграл методом стационарной фазы. Это означает , что при больших 0 основной вклад в интеграл дает то значение угла, для которого = 0. Таким образом, мы имеем [c.468]

В подынтегральном выражении содержится большая экспонента. Мы применим к этому интегралу метод стационарной фазы. Стационарные точки экспоненты определяются условием [c.214]

Обычно в методе стационарной фазы оставляют лишь первый член, пропорциональный /. Но здесь надо соблюдать осторожность, ибо в точках p v kvi = 0. Ввиду этого мы оставляем и член с / . Если kVa =0, то получаем [c.214]

Интеграл под знаком, гиперболического тангенса нри выполнении условий (38.17) можно оценить методом стационарной фазы [21], считая, что в рассматриваемом интервале отсутствуют точки, стационарной фазы (х( )=5 0) [c.123]

Если 1х 1>1 (большой градиент неоднородности в области фазового синхронизма), интеграл в (38.21) под знаком гиперболического тангенса можно оценить методом стационарной фазы. Точка стационарной фазы определяется из уравнения d[a OVd l=l откуда следует с = 0. Таким образом, эта точка, об- [c.124]

О < 2 С Интегрирование по Хз и г/ можно выполнить методом стационарной фазы (приложение 14Б, пример I). Стационарная точка определяется уравнениями [c.18]

В случае (1) двумерного распространения, когда 15 является кривой в плоскости ( 1, к , интеграл (284) нетрудно оценить для больших XI при помощи одномерного метода стационарной фазы, описанного в разд. 3.7. Фаза —к х стационарна на 5 + в любой точке [c.443]

В однородных системах, изучаемых методом стационарной фазы, такая локальная трудность возникает (разд. 3.7, 4.8 и 4.9) там, где вторая производная от фазы (или главная вторая производная, когда число измерений больше, чем одно) обращается в нуль вместе с самим градиентом. Вблизи такой точки интеграл Эйри играет ту же роль, что и интеграл Гаусса в обычной точке. В окрестности этих точек лучи сходятся, так как групповая скорость стационарна. Геометрическое место таких точек представляет каустику, которая отделяет область без лучей от области, дважды покрываемой лучами. Однако допущения лучевой теории теряют силу в окрестности каустики. [c.465]

Интеграл теперь вычисляется методом стационарной фазы. Чем больше х, тем быстрее осциллирует подынтегральная функция, и существенный вклад в интеграл дают лишь стационарные точки для величины % в функции у. Это означает, что при х > 1 наибольший вклад в интеграл дают значения у в окрестности точки уо, в которой [c.79]

Отсюда, так же как и ранее, следует, что Хо — седловая точка функции Ке Л. В то же время поскольку 1т к является нечетной функцией у, то Хо — точка перегиба функции 1т Л в направлении, параллельном мнимой оси. Можно предположить, что интеграл будет уменьшаться, если контур деформировать, направив его в сторону больших значений 1т Н. Ошибочность этого предположения связана с тем, что, хотя в направлении мнимой оси функция 1тЛ имеет перегиб в точке Хо, эта точка все же является седловой точкой функции 1т к. Поэтому нельзя сместить контур от точки х и при этом не пройти через точки, в которых 1т к принимает меньшие значения. В методе стационарной фазы предполагается, что основной вклад в интеграл дает окрестность точки Хо, но направление скорейшего спуска специально не выбирают. Возникающий интеграл гауссовского типа обычно вычисляют таким, каким он получается. Однако при этом отыскание направления скорейшего спуска просто скрыто в вычислении интеграла гауссовского типа. Чтобы вычислить его правильно, нужно выбрать такое направление, чтобы показатель экспоненты был дей-ствительным, а это направление и является направлением скорейшего спуска. [c.99]

ТО при 1 —схэ разность между ними стремится к нулю. Однако этого недостаточно. Прежде всего в этом пределе функция (г, ) сама также стремится к нулю, но не равномерно относительно г. В то же время если Е) имеет максимум при Е = Ео, то из соображений, используемых в методе стационарной фазы (гл. 1, 3, п. 1 и гл. И, 2, п. 2), следует, что [ (г, 1) максимально в точке г, положение которой изменяется во времени согласно соотношению [c.167]

Так как ti является малой величиной (как указывалось в п. 1), то эти интегралы можно вычислить методом стационарной фазы при Й 0 результат переходит в точный. В соответствии с этим при заданном угле 0 основной вклад в интегралы, содержащие дают такие значения J, при которых [c.526]

Вдоль этих направлений вблизи ро будет наиболее быстро изменяться 1т к. Мы пришли, таким образом, к методу стационарной фазы, основанному на том, что вследствие все более быстрых осцилляций ехр (v/i) (при V —> оо) в значение интеграла вносит основной вклад лишь малая окрестность точки Ро> где фаза I у т к (аргумент экспоненты) стационарна (22.36). [c.117]

Интегралы такого вида характерны для различных задач дифракции. Рассмотрим один из часто используемых методов их приближенного вычисления — метод стационарной фазы. Сущность его состоит в том, что в мнимый показатель экспоненты, стоящей под интегралом, входит безразмерный большой параметр рг > I. Поэтому с изменением переменной г подынтегральная функция быстро осциллирует, так что существенный вклад в интеграл вносит лишь малый учя юк оси г. включающий точку, где производная от подынтегральной функции по г обращается в нуль (отсюда название метода). [c.175]

Для Фтах 1 (на рзсстояниях Lф) ширина спектра импульса определяется главным образом ФСМ, амплитуду при этом можно считать медленно меняющейся. Указанное обстоятельство позволяет для расчета (8) воспользоваться методом стационарной фазы. В точке [c.78]

Подсказка. Используйте метод стационарной фазы, учитывая то, что Jj v) = J vsq (i) при /3 = 0. В этом случае фаза/(0) = 0 — se /3 sin 0, введенная в предыдущей задаче, является стационарной в граничной точке = О интегрального представления функции Бесселя. Кроме того, f"(0) = О и / "(0) = 1. В соответствии с этим используйте выражение (5.2.18) при р = 3 и 7 = 0. [c.397]

Дополнительные замечания о методе стационарной фазы. Метод стационарной фазы позволяет находить простые решения задач об излучении и дифракции звука поверхностями, размеры которых велики по сравнению с длиной звуковой волны. Однако далеко не все задачи подобного типа могут быть решены указанным методом. Для того чтобы этот метод был применим, необходимо, чтобы в области интегрирования фазовая функция изменялась на большое количество, длин волн. Поэтому методом стационарной фазы нельзя, например, вычислить диаграмму направленности излучателя, помещенного в фокусе (или вблизи фокуса) параболического рефлектора. В этом случае сумма расстояний г, + в пределах рефлектора будет постоянной (или слабо меняющейся) величиной. Кроме того, метод нельзя использовать для определения диаграммы остронаправленного излучателя, поскольку в направлении главного максимума диаграммы волны, приходящие в точку наблюдения из различных участков поверхности, будут складываться практически синфазно. Для направлений, далеких от оси главного максимума, волны, приходящие в точку наблюдения, имеют большие фазовые сдвиги. Однако точка стационарной фазы будет находиться вне излучающей поверхности и в приближении, определяемом методом стационарной фазьи в указанном диапазоне углов поле будет равно нулю. Таким образом метод не позволяет находить дифракционную картину добавочных максимумов диаграмм направленности. [c.57]

Примёним метод стационарной фазы к нашей задаче, в которой T j(A) дано в (16.36). Точка стационарной фазы согласно (16.37) [c.167]

Положение существенного участка интегрирования на плоскости h определяется координатой ф той точки пространства, для которой производится вычисление поля. С аналогичной ситуацией мы встретились в п. 16.4. Для области (16.22) существенной была, окрестность точки h k. Заметим, что хотя метод этого пункта, согласно (16.336), не применйм при ф = О, но формально (16.41) при ф = О дает ту же точку h = к. Это совпадение не случайно. Если перейти к плоскости комплексной переменной х (вместо А), то поле и в области (16.22) вычислялось бы методом стационарной фазы. Это преобразование мы делать не будем. [c.168]

Следует заметить, что в общем случае вектор Пойнтинга (Кг) Е X Н составляет некоторый угол с волновым вектором нормальной моды. Если рассматривать распространение пучка лучей, например гауссова лазерного пучка, то его направление не совпадает с вектором распространения центральной компоненты плоских волн, составляющих пучок. С.М. Рытов показал, что пучок лучей распространяется вдоль направления вектора Пойнтинга, вычисленного для центральной компоненты волнового пакета плоских волн. Этот результат довольно легко получить, если представить поле в виде дифракционного интеграла (см. гл. 4), который можно вычислить с помощью метода стационарной фазы, рассматриваемого в гл. 5. [c.41]

Все асимптотические методы, которые мы обсудим, можно считать модификащ131ми методов Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ) и стационарной фазы (СФ). Первый из них (ВКБ) более применим к дифференциальным уравнениям, а во втором (СФ) рассматриваются интегралы, содержащие быстро осциллирующие функции. В некоторых случаях метод стационарной фазы удобнее заменить методом наибыстрейшего спуска (НС), который позволяет точно учесть локализацию на комплексной плоскости стационарных точек фазового множителя. [c.340]

Однако вернемся к основному интегралу (28) теории дифракции. Когда точка ( , 1- ) пробегает область интегрирования, функции /(g, т]) изменяется на очень много длин волп поэтому вещественная и мнимая части подынтегрального выражения многократно изменяют знак. В общем случае вклады от различных элементов фактически уничтожают друг друга (деструктивная интерференция). По для элементарного участка, окружающего точку (назовем ее критинеской тошюй или полюсом), где /( , т ) постоянна, положение другое. Здесь подынтегральное выражение изменяется значительно медленнее, и можно ожидать, что его вклад станет заметным. Поэтому, если длина волны достаточно мала, величина интеграла, по существу, определяется поведением f вблизи точек, где f постоянно. Это является основой метода стационарной фазы, позволяющего определить асимптотическое поведение ннге1 рялов определенного класса (более подробно он разбирается в приложении 3). Ниже мы [c.355]

Следствия, вытекающие из метода стационарной фазы и из метода наибысг-рейшего спуска, весьма сходны. Так, если путь интегрирования в (14) начинается в седловой точке г и уходит в бесконечность вдоль кривой v x, у) = = onst, не встречая другой седловой точки, то приближение, соответствующее (12), имеет вид [c.692]

Однако здесь необходимо отметить одно различие между обоими методами. При использовании метода наибыстрейшего спуска с путем интегрирования, начинающимся в седловой точке и не уходящим иа бесконечность, вклад в асимптотическое разложение от концевой точки пути оказывается бесконечно малым по сравнению со вкладом от седловой точки, поскольку первый содержит дополнительный экспоненциальный множи1ель. Вместе с тем при использовании метода стационарной фазы вклад от концевой точки пути иитегрирования равен но порядку величины вкладу от седловой точки, деленному на й / поэтому он не входит в асимптотическое приближение только в том случае, если учитывается лишь первый член разложения. [c.693]

Таким образом, методы наибыстрейшего спуска и стационарной фазы (если отвлечься от их математического представления) состоят в выборе такого пути интегрирования, вдоль которого подынтегральное выражение, содержащее экспоненциальный множитель, вносит пренебрежимо малый вклад в интеграл везде, за исключеиием окрестностей некоторых критических точек, являющихся либо седловыми, либо концевыми точками пути интегрирования. [c.693]

Если X > 1, то Вгеом можно вычислять методом стационарной фазы, как и в 5, п. 2. Это приводит к выражению для амплитуды, соответствующему предельному случаю геометрической оптики при q = — 1. Если имеет место поглощение, то главным будет член, обусловленный излучением, сразу отраженным от рассеивателя. Таким образом, в пределе сильного поглощения выделенная часть Son как раз описывает вклад, обусловленный скользящими лучами, или ползущей волной. [c.91]

Возмож1юсть такой замены обоснована в п. 2. Следовательно, функция х ( ) является приближенным выражением фазового сдвига, соответствующего угловому моменту I. Его связь с фазовым сдвигом, вычисленным по методу ВКБ, определяется формулой (18.7). Если в ней разложить функцию Р в ряд по степеням У/Е и заменить нижний предел интегрирования Гд на Ь, то в результате получим выражение (18.33). Поэтому для малых углов рассеяния приближение (18.32) эквивалентно такому приближению ВКБ, в котором интегрирование по прицельным параметрам с помощью метода стационарной фазы еще не проведено. Преимущества рассматриваемого приближения состоят в следующем 1) простота выражения (18.33) по сравнению с (18.7) 2) так как при выводе (18.32) не использовался метод стационарной фазы, то можно ожидать некоторого расширения энергетической области, в которой справедлива формула, и 3) в форме (18.31) приближение применимо и к нецентральным силам. Основной недостаток рассматриваемого приближения состоит в том, что оно применимо, по-видимому, лишь в ограниченной области углов. Однако, как будет видно из дальнейшего, это не является существенным ограничением. Полное сечение [c.534]

НЫХ участках своей орбиты. Возможен и другой случай (В), когда на аналогичных участках орбиты электрон движется против поля. В обоих случаях электроны испытывают сильное взаимодействие с приложенным полем. Если уменьшить магнитное поле вдвое, электронная орбита продеформируется таким образом, что на одном ее продольном отрезке электрон будет двигаться вдоль поля волны, а на другом — против поля. Эти два эффекта стремятся скомпенсировать друг друга, и в результате суммарное воздействие оказывается существенно ослабленным. Следовательно, когда мы меняем магнитное поле, звуковая волна последовательно чувствует то сильно, то слабо проводящую среду. Затухание волны непосредственно зависит от э( х))ективной проводимости среды оно оказывается наибольшим, когда среда, так сказать, ее податлива. Таким образом, осцилляция затухания ультразвука как функция магнитного поля дает нам непосредственную информацию о размерах важных электронных орбит в металле, или соответственно о важных сечениях ферми-поверхности. Используя метод стационарной фазы при вычислении коэффициента поглощения, можно убедиться, что эти сечения являются экстремальными. Если мы производим измерения при различных напряженностях магнитного поля, периодически меняя его направление, мы получаем последовательные сечения ферми-поверхности. Соответствующие результаты для ферми-поверхности алюминия приведены на фиг. 41. Несколько иной масштаб по сравнению с ферми-поверхностью для свободных электронов связан с геометрией эксперимента. Подобные эксперименты служат хорошим подтверждением правильности той картины, которую мы нарисовали. [c.139]

Итак, мы убедились в том, что из решения Ми способом асимптотических разложений и методом стационарной фазы можно получить ряд формул, тождественных формулам, даваемым лучевой оптикой. Но нельзя ли пойти дальше в этом направлении и получить формулы, являющиеся заметно более точными, чем приближение лучевой оптики, и в то же время столь же пригодными в случае частиц очень больших размеров Поиски решения этой важной задачи были предприняты рядом авторов, в особенности Ван дер Полем и Бреммером, Юнггреном и Францем. [c.251]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...