Эйри интеграл

Эйконала уравнение 235 Эйри интеграл 425 [c.613]

Это — уравнение функций Эйри его общий интеграл есть [c.619]

Функция напряжений Эйри. Эйри ) предложил искать решение системы (9.96) в следующем виде. Учитывая, что эта система линейна, можно представить обш,ий ее интеграл как сумму обш,его интеграла соответствуюш,ей однородной системы [c.663]

Отыскание общего вида функции Эйри. Найдем интеграл уравнения (9.127), представив частное решение в форме [c.675]

Если q (z) имеет два близко расположенных простых нуля Zi J, то t(s) = Яд 4- os 4 /3, о —> о, яд — постоянная. Эталонный интеграл выражается через Эйри функцию. Если сг конечна, то надо учитывать вклады каждого нуля отдельно (случай 1). [c.556]

Здесь Д — расстояние между двумя стационарными точками. Интеграл в правой части выражения (5.4.1) — это функция Эйри (см. разд. 3.3. и рис. 5.9). Таким образом, мы можем написать [c.361]

В предыдущем разделе мы показали, что структура поля вблизи простой каустики, создаваемая распространяющейся цилиндрической волной, имеющей сферические аберрации, зависит от кривизны каустики. При этом изменение поля в перпендикулярном каустике направлении выражается через интеграл Эйри. Вблизи острия (точки возврата) каустики (см. рис. 2.15 и 2.16 в гл. 2) из-за интерференции трех или более лучей распределение поля становится значительно более сложным. Эту ситуацию можно описать, рассматривая дифракционный интеграл, у которого три стационарные точки функции h(s) близки друг к другу. В соответствии с этим мы можем изучить поле, анализируя сравнительный интеграл [c.363]

В 1835 г. Р. Поттер указал, что пересечение различных групп световых лучей в капле приводит к образованию каустики. На основе этих данных Эйри в 1838 г. удалось найти распределение интенсивности в монохроматической радуге, причем в своих расчетах он использовал знаменитый интеграл радуги, известный теперь как функция Эйри. Метод, которым воспользовался Эйри (рис. 6.22), состоял в применении принципа Гюйгенса к волновому фронту, огибающая которого описывается кубической функцией. [c.472]

В 1838 г. Эйри получил дифракционный интеграл, который описывает изменение каждой цветовой (частотной) компоненты поля электромагнитной волны в поперечном направлении в радуге. Для действительного аргумента эта функция Эйри определяется интегралом [c.686]

При и = 0 интеграл определенный (86), характеризует возмущение 2/1 а)/о в фокальной плоскости свободной от аберрации системы (картина Эйри), а Пг легко вычислить с помощью (11). Для нахождения 1/г, из,. .. мы должны снова выразить произведения круговых полиномов через соответствующе ю их линейную комбинацию. В частности, с помощью табл. 9.1 можно доказать, что [c.437]

Функция Эйри может быть выражена в виде интеграла [c.74]

В однородных системах, изучаемых методом стационарной фазы, такая локальная трудность возникает (разд. 3.7, 4.8 и 4.9) там, где вторая производная от фазы (или главная вторая производная, когда число измерений больше, чем одно) обращается в нуль вместе с самим градиентом. Вблизи такой точки интеграл Эйри играет ту же роль, что и интеграл Гаусса в обычной точке. В окрестности этих точек лучи сходятся, так как групповая скорость стационарна. Геометрическое место таких точек представляет каустику, которая отделяет область без лучей от области, дважды покрываемой лучами. Однако допущения лучевой теории теряют силу в окрестности каустики. [c.465]

В неоднородных системах, таких, как звуковые волны в стратифицированной атмосфере или воздушном потоке (разд. 4.6), также возможно, чтобы лучи сходились, образуя огибающую , вне которой, согласно лучевой теории, находится зона тишины. Внутренние волны также обычно имеют каустику с двумя системами лучей ниже ее и с отсутствием лучей выше ее это может быть либо огибающая (рис. 80, б), либо геометрическое место точек возврата лучей (рис. 80, а). Во всех этих случаях исцеленный вариант лучевой теории может быть получен из свойств интеграла Эйри, на этот раз из его дифференциальных свойств. [c.466]

Чтобы оценить (363), нам нужен не интеграл Гаусса с экспонентой от квадратичного выражения, а другой стандартный интеграл — интеграл Эйри с экспонентой от суммы линейного и кубического членов. При помощи подстановки [c.469]

Интеграл Эйри (368) легко вычисляется, и результаты приведены на рис. 97. Характер этого графика можно объяснять [c.469]

Рис. 97. Сплошная кривая — интеграл Эйри А (X). Штриховая кривая — его асимптотические формы (373) для X > О и (374) для X < 0.

Каустика есть нечто подобное ране для простой теории лучей, которая предсказывает возрастание амплитуды до бесконечности на каустике, разрыв и затем убывание до нуля. Решение в виде интеграла Эйри (375) залечивает эту рану, делая возможным вполне конечный и непрерывный переход от одного режима к другому. [c.472]

Но при этом нарушались бы также предположения теории лучей (медленное изменение к). Интеграл Эйри еще раз залечивает рану . [c.474]

Эту функцию исцелителя снова выполняет интеграл Эйри (368).. Действительно, (368) показывает, что [c.478]

Когда интеграл Эйри применяется для того, чтобы залечить решение теории лучей в указанном смысле, он всегда дает определенный и чрезвычайно полезный результат, утверждающий, что если два решения (406) должны сводиться к (405), то [c.479]

Заметим, что я/2 появляется в (417) в силу того, что Q достигает своего максимума непосредственно перед каждой каустикой с фазой, отстающей на я/4 от этого максимума к моменту времени, когда достигается каустика. У основной моды ге = О (для внутренних волн — моды высшей частоты, соответствующей волнообразным колебаниям океанического термоклина) эти два максимума совпадают. Теория лучей, даже когда ее залечили при помощи интеграла Эйри, в этом случае может дать только грубое представление формы волны, однако условие (417) для частоты во многих случаях оказывается довольно точным. [c.480]

Большие значения п соответствуют числу пересечений оси графиком Q (z), которое, как было подчеркнуто при обсуждении уравнения (71), различно для разных решений типа захваченных волн. Формы волн при и >> 1 часто очень хорошо выражаются при помощи двух представлений интеграла Эйри (404) [c.480]

Интеграл Эйри является регулярным решением дифференциального уравнения [c.84]

Фиг. 3.6. График интеграла Эйри Ai х).

Поскольку несобственный интеграл от функции Эйри, взятый вдоль всей вещественной оси, сходится [c.27]

Частный интеграл неоднородного уравнения Эйри (3.3.2), в котором отсутствуют экспоненциально растущие на линии (3.1.18) члены, имеет вид [c.63]

Исследование выражения (4.19) при > А г , когда становится возможным заменить функции Эйри их асимптотикой, показывает, что функция п(г, ф ) экспоненциально убывает на контуре С при 0< ф <п, и, следовательно, при 0<е< < ф < п — е интеграл (4.16) равномерно сходится. Исследуем быстроту убывания функции п(г, ф ) в окрестности точки = кр. Это позволит установить величину участка контура интегрирования С, существенного при интегрировании. [c.353]

Интеграл (4.28) представляет собой линейную суперпозицию решений (2.6) из главы 6 с тем лишь отличием, что вместо функции Эйри и(2) под знак интеграла (4.28) входят функции Wl(Z) и W2(Z) и, кроме того, корень функции Эйри—/р заменен переменной интегрирования [c.356]

Асимптотические выражения, рассмотренные выше, становятся сингулярными, когда Л" (5, ) = О или стационарная точка подходит близко к граничной. Для того чтобы избавиться от этих сингулярностей и получить асимптотически правильное представление дифракционного интеграла, мы можем заменить его сравнительным интегралом, который в асимптотическом представлении, приведенном в предыдущем разделе, имеет те же самые сингулярности. Этот интеграл обычно выбирают из класса известных специальных функций, таких, как комплексный интеграл Френеля функция Эйри Ai(л ) или функция параболического цилиндра В окрестности тех значений параметров, для которых обычное разложение расходится, дифракционный интеграл нужно представить в виде произведения сравнительного интеграла на асимптотический ряд, который принимает конечное значение при выполнении условия сингулярности. В большинстве случаев точное вычисление суммы ряда не требуется, так как сравнительный интеграл с достаточной степенью точности равен искомому полю, что, однако, верно лишь до тех пор, пока мы находимся достаточно далеко от критических областей, так что обычные разложения справедливы. Иными словами, выражение, полученное с помощью сравнительных интегралов, постепенно и непрерывно переходит в ряд Лунеберга — Клейна. Поэтому представление, основанное на сравнительных интегралах, называют однородным, а соответствующий подход — однородной асимптотической теорией, В следующих разделах мы рассмотрим наиболее интересные частные случаи. [c.353]

При этом гауссов интеграл, приводящий к выражению (6.13.37), заменится функцией Эйри. Картина поля, характерная для монохроматической радуги, определяется распределением поля вблизи каустики и выглядит как ряд полос на освещенной стороне капли. Вычисления, проделанные на основе рядов Ми, развеяли оставшиеся сомнения о фактическом присутствии резких полос. Недавно в работе [37] к интегралу, аналогичному интегралу из выражения (6.13.32) и полученному при вычислении амплитуды рассеяния методом Ватсона — Редже, авторы применили метод Честера — Фридмана — Урселла (ЧФУ). Метод ЧФУ дает выражение, в котором функция Эйри входит в комбинации со своей производной А таким образом, нули функции Эйри компенсируются присутствием функции А . Как видно из рис. 6.23, эти изменения приводят к значительно более высокой точности расчетов. [c.473]

Заметим, что интеграл действия 3 квантован в долях полуцелых значений 2тгЙ. Такое квантование по полуцелым, а не по целым значениям следует из фазового сдвига а = тг/4, который, в свою очередь, обязан своим происхождением приближённому выражению волновых функций в виде функций Эйри. Это утверждение становится ясным, если проследить происхождение множителя 1 /2. Данный результат был получен Г. Крамерсом в 1926 г. [c.191]

Как и в случае (Д.6) при ж > О, здесь тоже есть два вклада от двух точек стационарной фазы. Но поскольку эти точки чисто мнимые, а в экспоненте содержится множитель г, то вместо осциллируюш,их вкладов теперь получаются экспоненциально возрастаюш,ий и убыва-юш,ий члены. Более того, второй интеграл в выражении (Д.9) расходится. Если численно проанализировать поведение функции Эйри, то выясняется, что она экспоненциально убывает при положительных значениях х. Следовательно, вторым членом в формуле (Д.9) надо пренебречь. Тогда, взяв оставшийся гауссовский интеграл, получаем следуш,ее асимптотическое представление функции Эйри при положи- [c.689]

Отметим, что вторая производная с входит в знаменатель подкоренного выражения. Поэтому приближённое выражение для исходного интеграла I теряет смысл, когда вторая производная функции д обращается в ноль. В этом случае следует учитывать кубичные члены в разложении функции д, что приводит к интегралу, выражающемуся через функцию Эйри. Такое разложение обычно называют равномерным асимптотическим разложением. [c.699]

Это преобразование представляет г в качестве регулярной функцип р в окрестности г и г1 и приводит к асимптотическому разлол- епию, выраженному чере интеграл Эйри и его первую производную по аргументу /г 3. [c.691]

На протяжении всего развития понятий групповой скорости и лучевой теории (начиная с разд. 3.6 и далее) мы до сих пор откладывали исследование локального поведения волн вблизи каустик. Здесь мы вводим это слово впервые каустика представляет собой границу между областью со сложной волновой картиной, являющейся результатом интерференции двух групп волн, и соседней областью, не содержащей ншкакжх волн. Каустики являются известными локальными особенностями многих различных конфигураций волн в жидкостях, причем все они могут быть исследованы вместе, так как ключом к их пониманию является одно математическое понятие — интеграл Эйри. Обычная лучевая теория неприменима вблизи каустики, но интеграл Эйри позволяет нам создать исцеленный вариант, в котором эта локальная трудность преодолевается. [c.465]

Рис. 96. а — типичное поведение (вблизи любой стационарной точки /сд фазовой функции г] к), где г з" (к ) = О, а г 5" (к ) > 0) кривых в комплексной плоскости, вдоль которых г (к) имеет постоянную мнимую часть +6. Мы преобразуем путь интегрирования в интеграле (356) в такой, на котором мнимая часть тр (к) равна +6, за исключением окрестности к , где для перехода с одного такого пути на другой используется звено Ь б — комплексная плоскость 5, определяемая заменой (364) (1) — соответствующий Ь пзть интегрирования, используемый для вычисления интеграла Эйри А1 (X) (11) — преобразованный путь интегрирования, используемый для получения асимптотического выражения (371) интеграла А (X) при больших отрицательных X (111) — преобразованный путь интегрирования, используемый для получения асимптотической формы (373) интеграла А1 (X) для больших положительных X. [c.468]

Звуковые волны могут распространяться значительно выше спокойного холодного озера в условиях инверсии , когда температура воздуха возрастает с высотой приблизительно по линейному закону. Причиной такого поведения может быть захваченная волна. Граничное условие, согласно которому дре дг обрап],ается в нуль на поверхности озера 2 = 0, может удовлетворяться при максимуме (X = —1,02) решения в форме интеграла Эйри (404). Это дает [c.481]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...