Математическая модель с сосредоточенными параметрам

Эта система представляет собой математическую тепловую модель ЭМУ для средних температур его элементов, а исходная система из 11+Л тела (рис. 5.5) — ее топологическую интерпретацию, т.е. тепловую схему замещения, наглядно выражающую структурные связи при замене пространства с распределенными параметрами моделью с сосредоточенными параметрами. Данная ТС, представляя аналог, соответствующей электрической цепи, также позволяет в полной мере использовать методы и средства решения задач электротехники. [c.126]

Математические модели нестационарных режимов тепло- и массообменных процессов химической технологии можно подразделить на два класса модели с сосредоточенными параметрами и модели с распределенными параметрами. [c.5]

Известно, что задачи теплопереноса относятся к классу краевых задач, решение которых практически может быть осуществлено на моделях различной физической природы. Несмотря на большое разнообразие моделирующих устройств, следует отдать предпочтение электрическим моделям. Построенные на основе математической аналогии специализированные электрические модели обладают не только возможностью решения уравнений с частными производными (типа уравнений Фурье, Лапласа, Пуассона), но и высоким быстродействием и точностью решения. До настоящего времени многие теоретические и практические вопросы проектирования, производства и эксплуатации электрических моделей с сосредоточенными параметрами освещены в отечественной и зарубежной литературе недостаточно. [c.4]

Математические модели парогенераторов как систем с сосредоточенными параметрами получаются из распределенных систем путем замены уравнений (2-12) или (2-13) уравнением (2-14), а уравнений (2-15) — (2-17) соответственно уравнениями (2-26) — (2-28). Все остальные эмпирические зависимости сохраняются теми же. В моделях с сосредоточенными параметрами также возможно сочетание подсистем во всех комбинациях, рассмотренных ранее. [c.51]

В связи с этим все большее внимание уделяется математическому моделированию на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Описание СОТР системой обыкновенных дифференциальных уравнений эквивалентно переходу к модели с сосредоточенными параметрами или к так называемой узловой модели, когда система разбивается на ряд изотермических узлов и для каждого из них записывается уравнение теплового баланса. [c.181]

В одномерной части тракта современных ОЭП, как правило, не встречаются звенья с распределенными параметрами. Вопросы построения математических моделей звеньев и эле иентов цифровой техники достаточно подробно освещены в литературе, поэтому в дальнейшем изложении основное внимание уделено аналоговым системам и звеньям с сосредоточенными параметрами. [c.70]

В конце раздела 2.2. уже был приведен простой пример отыскания весовой и передаточной функций объекта, описываемого обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Теперь будут изложены основные способы определения весовой, переходной и передаточной функции линейных объектов с сосредоточенными параметрами, математическая модель которых включает только обыкновенные дифференциальные уравнения. Рассмотрим общий случай, когда коэффициенты уравнений являются произвольными функциями времени, т. е. объект не является стационарным. [c.82]

Математические модели для расчета колебаний структур содержат большое количество параметров, определяемых на основе усреднения свойств элементов реальных конструкций. Соответствие расчетных амплитудно-частотных характеристик и форм колебаний натурным зависит как от выбора модели, так и от точности задания параметров. Выбранной расчетной модели можно поставить в соответствие параметры или вектор параметров, обеспечивающий минимальное отклонение расчетных значений от действительных в заданном диапазоне частот. При конкретном расчете могут быть приняты несколько иные значения параметров, т. е. может быть реализован неоптимальный вектор параметров. Предположим, что ошибки реализации не систематические, а случайные, тогда оптимальным будет некоторое среднее значение вектора параметров. Каждой реализации соответствует система собственных частот и форм колебаний. Для общего случая системы с сосредоточенными параметрами отклонения собственных частот и форм колебаний можно определить на основании теории возмущений линейных алгебраических уравнений [41 при условии, [c.13]

Большинство задач, связанных с исследованием АСР тепловых объектов, решается на основе инерционной, детерминированной, одномерной (многомерной), линейной, стационарной математической модели объекта с сосредоточенными параметрами. Такая модель позволяет применять при исследовании принцип суперпозиции и исполь-.зовать эффективные математические методы теории аналитических функций и обеспечивает достаточную для практики точность результатов. [c.441]

Итак, аппроксимирующие передаточные функции, коэффициенты которых найдены по методу площадей, дают приближение более высокого качества, чем характеристики математической модели теплообменника с сосредоточенными параметрами. Этого следовало ожидать, так как при аппроксимации точного решения эффект реальной распределенности параметров учитывается, хотя и приближенно, интегрально. При сосредоточении параметров этот эффект, существенно влияющий на точность динамической информации, теряется полностью. [c.307]

Вид составляющих математических моделей в значительной степени зависит от объекта проектирования и вида проектных работ, г. е. от уровня автоматизации проектирования. Можно построить иерархию математических моделей по иерархии объекта проектирования и по иерархии автоматизированных проектных работ. Так, для различных уровней иерархии объекта проектирования структурная модель может иметь вид формы, схемы, компоновки и структуры. Параметрические модели на уровнях иерархии объекта проектирования могут быть с распределенными параметрами, с сосредоточенными параметрами, непрерывные и дискретные. Поскольку структура данной книги построена по иерархии автоматизации проектных работ, в дальнейшем будут рассмотрены математические модели, соответствующие каждому уровню автоматизации проектирования с учетом особенностей, накладываемых уровнями иерархии объекта проектирования. [c.28]

Большинство задач, связанных с исследованием АСР теплотехнических объектов, решается на основе инерционной, детерминированной, одномерной (многомерной), линейной, стационарной математической модели объекта с сосредоточенными параметрами. Такая модель, обеспечивая достаточную для практики точность результатов, позволяет применять при исследовании принцип суперпозиции и использовать эффективные математические методы теории аналитических функций. Возможность широкого использования линейных моделей при исследовании АСР теплотехнических объектов определяется тем, что имеющие место нелинейности непрерывны и монотонны, а отклонения переменных от некоторых фиксированных состояний ограниченны. Это позволяет осуществлять линеаризацию уравнений статики и динамики. [c.521]

После выбора динамической модели исследуемой машины (механизма) необходимо (для последующих исследований динамики) получить соответствующую ей математическую модель (уравнения движения). Для этого обычно пользуются (см. п. 5.1.6) для систем с сосредоточенными параметрами уравнениями Лагранжа П рода, для систем с распределенными параметрами — уравнениями Эйлера—Лагранжа [4]. [c.852]

Во втором издании книга подвергалась существенной переработке. Исключены главы Некоторые сведения из теории автоматического регулирования и Некоторые нелинейные задачи динамики ЖРД . Полностью переработаны главы, посвященные гидравлическим и газовым трактам, методам расчета и особенностям динамических характеристик ЖРД. Основное внимание во втором издании книги уделено формированию математических моделей отдельных агрегатов ЖРД и ЖРД в целом, так как именно достаточно точные модели объекта регулирования позволяют правильно выбрать структуру и параметры системы автоматического регулирования (САР). В отличие от первого издания во втором издании показаны методы формирования математических моделей гидравлических и газовых трактов для двух диапазонов частот— для низких частот, когда эти элементы ЖРД можно рассматривать как объекты с сосредоточенными параметрами, и для высоких частот, когда необходимо учитывать волновые процессы. [c.3]

Математические модели гидравлических трактов,- так же как модели газовых трактов, подразделяются на два класса для области низких частот и для области более высоких частот, т. е. до 400 Гц. Для области низких частот в основном участки гидравлического тракта рассматривают как элементы с сосредоточенными параметрами, учитывая при этом инерцию и вязкость жидкости и пренебрегая ее сжимаемостью. Но для участков тракта, длина которых не превышает определенный предел, для участков, скорость жидкости на которых невелика, учитывают и сжимаемость жидкости, оставаясь при этом в [c.9]

В общем случае для анализа особенностей течения жидкости в тракте конкретного типа необходимо учитывать ряд физических свойств жидкости—сжимаемость, инерцию, вязкость. Нестационарное движение жидкости с учетом всех ее свойств описывается уравнениями гидромеханики (см. подразд. 2.2), решение которых вызывает большие трудности. Поэтому для упрощения анализа динамики пневмогидравлических систем целесообразно формировать математические модели, описывающие нестационарное течение жидкости, отдельно для низких частот (до 50 Гц) и для более высоких частот (до 500 Гц). Для низкочастотной области можно рассматривать участки гидравлических и газовых трактов ЖРД как системы с сосредоточенными параметрами, что существенно упрощает их математическое описание. При анализе динамики ЖРД в более широком диапазоне частот необходимо учитывать акустические эффекты. Соответственно приходится решать уравнения гидромеханики в частных производных, т. е. рассматривать участки трактов как системы с распределенными параметрами (см. подразд. 2.4, 3.3). [c.32]

Если трубопровод имеет достаточно большую длину (оценки применимости отдельных моделей будут даны в подразд. 2.3), то в его математической модели необходимо учитывать как инерцию, так и сжимаемость жидкости. Эта модель является приближенной, но позволяет оставаться в оговоренных ранее рамках низкочастотных моделей агрегатов и систем ЖРД как элементов с сосредоточенными параметрами. Кроме инерции и сжимаемости учтем также и потери на трение о стенки тракта, [c.50]

Если взять больший из отброшенных членов й /З , то при ю=1 этот член дает погрешность 1/6 0,17 (т. е. 17%), а при резонансной частоте, при ш=1,57, этот член равен 0,645, т. е. погрешность существенная. Таким образом, приближенные соотношения (2.1.50), (2.1.51) и др. для участка тракта как системы с сосредоточенными параметрами второго порядка (колебательного звена), описывают динамические характеристики на участке тракта с более или менее приемлемой точностью только в диапазоне относительно низких частот, удовлетворяющих условию ю < 1. Частота собственных колебаний в тракте, определяемая этой простейшей математической моделью, меньше частоты, полученной по более точным акустическим зависимостям. Вблизи акустических частот собственных колебаний приближенными зависимостями пользоваться нельзя из-за больших погрешностей. [c.58]

Естественно, если использовать более сложную математическую модель, разбив участок тракта как систему с сосредоточенными параметрами на ряд элементов и записав зависимости типа формулы (2.1.50) для каждого из элементов, можно достаточно точно описать динамические характеристики тракта в более широком диапазоне частот, в том числе и вблизи частоты собственных колебаний [М]. Однако повышение точности описания достигается за счет существенного усложнения модели. [c.59]

Полученные формулы определяют математическую модель участка тракта в частотной области как элемента с сосредоточенными параметрами. В разд. 2.1.6. аналогичная модель была получена другим способом. Учитывая, что при переходе в частотную область первая производная по времени заменяется коэффициентом т, а вторая — коэффициентом со , сопоставляя уравнение (2.1.50) с (2.3.17), а (2.1.51) с (2.3.20), убеждаемся в их эквивалентности. Правомочность использования полученных упрощенных зависимостей для описания динамических характеристик гидравлических трактов подтверждается тем, что результаты расчетов по приближенным формулам в области ш<1 близки к данным экспериментов (см. рис. 2.6). [c.78]

Метод решения задачи о переходном процессе существенно зависит от вида дифференциальных уравнений, входящих в Математическую модель системы. Остановимся вначале на более простом случае, когда объект рассматривается как система с сосредоточенными параметрами, т. е. описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Используем в качестве примера дифференциальное уравнение тракта (2.1.50), [c.83]

Все приведенное ранее относилось к использованию сигнальных графов для формирования математических моделей ПГС, состоящих из агрегатов, описываемых как элементы с сосредоточенными параметрами. В ряде случаев такое приближение оказывается недостаточно обоснованным из-за большой длины трактов или расширения диапазона исследуемых частот. В настоящем разделе ограничимся рассмотрением ПГС ЖРД, участки трактов которых описываются как линейные элементы с распределенными параметрами. Для других ПГС этот вопрос рассмотрен далее. [c.137]

Если ограничиться областью низких частот, то в математических моделях газовых трактов ЖРД можно пренебречь акустическими эффектами, так как для таких частот длина акустических волн Х = а [ (где а—скорость звука /—частота колебаний) существенно больше характерной длины тракта (камеры сгорания) При этом (рис. 3.1) отклонение давления в каждый момент практически одинаково по длине тракта и тракт можно рассматривать как элемент с сосредоточенными параметрами, т. е. как емкость с характерной постоянной времени, равной времени пребывания газа в тракте. [c.153]

Таким образом, при формировании математических моделей газовых трактов ЖРД, предназначенных для анализа процессов в области низких частот, в которой можно пренебречь акустическими эффектами, необходимо участок рассматривать и как элемент с сосредоточенными параметрами (емкость), и как элемент с распределенными параметрами (т. е. с учетом энтропийных волн). Далее будут выведены уравнения для неизотермического движения газа с использованием общих физических закономерностей. [c.155]

При экспериментальном исследовании машин и транспортных средств нередко получаются сложные динамические характеристики, которые затруднительно воспроизвести с помощью математических моделей из небольшого числа участков простейшей формы с распределенными параметрами и набора сосредоточенных масс и жесткостей. При увеличении количества и размеров участков и количества сосредоточенных масс и жесткостей сложность вычислений быстро возрастает, достигая того предела, за которым невозможно просто воспользоваться какой-либо стандартной процедурой. Далее приходится прилагать все больше усилий для преодоления специфических трудностей вычислительной математики [1]. В этих условиях значительный интерес представляет построение специальных сложных структур и изучение их свойств с попыткой феноменологического подхода к выбору математической модели. [c.69]

Математическая модель с сосредоточенными параметрами включает в себя переменные, которые зависят только от времени и не зависят от координат. Поэтому при описании нестационарных режимов процессов химической технологип математическая модель с сосредоточеппыми параметрами имеет вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основная физическая предпосылка, которая обычно приводит к модели с сосредоточенными параметрами,— предположение об идеальности перемешивания фаз. [c.5]

Процессы в механической системе.на основе динамической модели с сосредоточенными параметрами могут быть описаны при помощи системы обыкновен ных дифференциальных уравнений. Эта система представляет собой математическую модель реальной механической системы. Математическая и динамическая модели реальной системы всегда однозначно соответствуют друг другу. [c.8]

С каждым годом электрическое моделирование все щире входит в практику инженерных расчетов во многих областях техники. Изложенное в работе применение теории математического моделирования к электрическому моделированию тепловых процессов показывает широкие возможности электрического моделирования нестационарного теплообмена па специализированных моделях с сосредоточенными параметрами. Решения уравнений математической физики, которые широко используются в различных областях пауки и техники, достаточно эффективно могут быть осуществлены с помощью аналоговых электрических моделей. [c.409]

Простейшая математическая модель динамическич продеосо1в в парогенераторе представляется системой обыкновенных дифференциальных уравнений либо для всей установки, либо для каждого из входящих в нее элементов. В этом случае получение аналитической временной зависимости изменения технологических параметров в переходном процессе относительно несложно. В такой модели не учитывается реальная протяженность элементов парогенератора и связанная с ней зависимость параметров от кооординат (модель с сосредоточен-н ым и п ар ам етр а м и). [c.8]

При аналитическом определении динамических характеристик теплообменника труба в трубе приходит ся сталкиваться с большими математическими трудно стями, избежать которых в 5-3 удалось благодаря ис пользованию модели с полным перемешиванием (см рис. 5-18). Возможны и другие модели, приближенно за меняющие при анализе теплообменник труба в трубе Динамическую ошибку, возникающую при таких заме нах, исправить трудно, но можно добиться, по крайне мере, совпадения отклонений температур точной и при ближенной моделей в новом стационарном режиме. Для этого, как и в случае учета изменения теплоемкости, к динамическим характеристикам приближенной модели надо ввести статические поправки, равные отношению коэффициентов усиления по отдельным каналам точной (табл. 5-8 и 5-9) и заменяющей моделей. Заменяющей моделью является модель с полным перемешиванием (см. табл. 5-3 и 5-4) или модель с сосредоточенными по обоим потокам параметрами (см. табл. 4-2 и 4-3). [c.208]

Общий принцип моделирования состоит в том, чтобы теоретическая модель или манекен имели те же динамические характеристики, что и тело человека. В принципе, с математической точки зрения задача определения конечного числа парамет ров модели по известным частотным характеристикам является переопределенной Для того чтобы наилучшим образом приблизить свойства модели к свойствам моде лируемого объекта, искомые параметры определяют из условия минимума ошибки За критерий ошибки принимают некоторый функционал от вектора разности К — К где У — вектор функций, характеризующий динамические свойства объекта, уста новленные из эксперимента У — вектор функций, описывающий динамические свойства модели. В качестве ошибки чаще используют классические критерии, среди которых можно выделить минимум среднеквадратическою отклонения [245]. В этом случае задачу ставят, например, следующим образом. Задан входной механический импеданс тела человека в виде графиков (или таблиц) модуля Z (ко) I и фазы Ф (со), полученных нэ эксперимента. Требуется построить динамическую модель тела человека в классе линейных механических систем с сосредоточенными параметрами. [c.394]

К примеру, для диапазона относительно низких частот (приблизительно до 50 Гц), характерных для многих задач динамики и управления ЖРД, его агрегаты и узлы можно в основном рассматривать как элементы с сосредоточенными параметрами, т. е. описывать обыкнрвенными дифференциальными уравнениями. Если же расширить диапазон рассматриваемых частот, то большинство узлов ЖРД (в том числе все его агрегаты и части с протоком жидкости или газа) необходимо рассматривать как элементы с распределенными параметрами и соответственно решать уравнения в частных производных. Решение же уравнений в частных производных—задача существенно более сложная, чем решение обыкновенных дифференциальных уравнений, сами решения оказываются существенно более громоздкими, требующими большего времени работы на ЭВМ. В то же время в области низких частот решения уравнений в частных производных совпадает с решением более простых обыкновенных диф ренциальных уравнений, т. е. никакого уточнения усложнение математической модели в этом случае не дает, но создает ощутимые трудности с решением. [c.8]

Гидравлические тракты связывают между собой ряд агрегатов, элементов ЖРД, которые ранее были описаны как элементы с сосредоточенными параметрами. Для формир10вания математической модели гидравлического тракта ЖРД, в которой участки тракта рассматриваются как элементы с распределенными параметрами, удобно и уравнения элементов с сосредоточенными параметрами, входящих в тракт, представлять в форме уравнений четырехполюсников. Например, уравнение для местного гидравлического сопротивления (2.1.16) при 6(ц7 ) = 0, где ц — коэффициент расхода, в обозначениях, принятых ранее для четырехполюсников, запишется (для амплитуд вариаций) в виде [c.125]

Порции газа с неизменной энтропией при перемещении вдоль тракта образуют энтропийные волны [28]. Эти волны иногда называют температурными волнами, но это название недостаточно строго, так как в адиабатическом течении при сохранении неизменной энтропии температура газа изменяется при изменении давления (адиабатическое сжатие или расширение). Волны энтропии (в отличие от акустических волн) распространяются со скоростью газа, причем характерное ремя их распространения на участке тракта это время пребывания газа на данном участке. Это же время является одновременно характерным временем участка газового тракта как емкости, т. е. как элемента с сосредоточенными параметрами. Характерное время распространения энтропийных волн и характерное время участка тракта как емкости совпадают. Это необходимо учитывать при формировании низкочастотной математической модели тракта для неизотермического движения газа. [c.155]

Для формирования математической модели газового тракта в матричной форме в виде уравнений шестиполюсников записываются и уравнения элементов с сосредоточенными параметрами. [c.203]

Составленпе математических моделей, отвечающих поставленным целям, в достаточной степени адекватных объекту и пригодных для эффективной реализации иа ЭВМ, представляет собой основную проблему при динамических расчетах парогенераторов. Трудность ее решения по сравнению с моделированием стационарных режимов вызвана не только большей сложностью процессов и отражающих их уравнений, но и значительно меньшей практикой таких расчетов. Методы динамических расчетов до недавнего времени были ориентированы в основном на использование аналоговых вычислительных машин (АВМ). Среди них широко известными являются метод сосредоточенных параметров и метод, основанный на аппроксимации трансцендентных передаточных функций. Однако, несмотря на значительные достоинства моделирования иа АВМ, заключающиеся в простоте исследования процессов, наглядности результатов, [c.68]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...