Вольтерра формула

Внешние задачи колебания 306 Внутреннее вращение 17 Внутренние задачи колебаний 281 Вольтерра формула 344 [c.661]

Изображение ядер полинома Вольтерра по сигналу ошибки для нелинейной системы с обратной связью общего вида даны в п. 5 прил. I. Чтобы получить формулы для вычисления изображения ядер, определяющих Фурье-образ сигнала на выходе нелинейной системы с обратной связью, подставим выражения для изображения ядер по сигналу ошибки в (115) и затем в (111). [c.106]

Для иллюстрации применения метод статистического анализа нелинейных систем с использованием полиномов Вольтерра определим математическое ожидание и спектральную плотность мощности сигнала на выходе фотоприемника, когда на его входе действует случайный стационарный гауссовский сигнал. Считаем, что полезная информация о сигнале содержится в амплитуде лучистого потока, к оторый попадает на чувствительную площадку фотоприемника. Тогда в соответствии с изложенным в п. 2 гл. 3 модель фотоприемника представим последовательным соединением нелинейного и линейного звеньев. Спектр сигнала на выходе такой системы, как следует из формул (106) и (107), определяется выражением [c.115]

Здесь оператор Я называется резольвентным. Ядро Л I, т) оператора Л называется резольвентой ядра К (1, т). Интегральный оператор Вольтерра однозначно определяет свое ядро. Определим последовательность ядер Л I, а) с помощью формул [c.19]

Отметим, что резольвентой В (г, т) оператора Вольтерра (1.1.12) с ядром Е (т) К t, т), где К дается формулой (5.16), служит функция [15,17] [c.65]

Соотношение (2.5) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно г t). Определив e(i) из этого уравнения, можно по формулам (2.1), (2.2) найти поле напряжений в наращиваемом вязкоупругом теле. [c.85]

Перейдем к определению погонного угла закручивания к, для стержня из наследственно-упругого материала. Снова применяя принцип Вольтерра, получаем вместо вышеприведенной формулы для следующую формулу [c.96]

Нетрудно видеть, что задача об ударе свелась к определению двух независимых потенциалов Ф и Ч , причем эти задачи эквивалентны частным задачам разд. 2.4, решаемым обобщённым методом Вольтерра в пространстве х, у, t, когда поверхность D плоская, ограниченная кривой t = t x), а поверхность S совпадает с геометрическим местом точек фронта продольной волны в случае определения Ф и фронта поперечной волны в случае определения Поэтому в соответствии с формулами (2.72) и (2.73) для потенциалов Ф и Ч получим выражения [c.83]

Устремляя в формулах (5.62) точку (Хо, Уо, 4) к точкам поверхности D, получим интегральные уравнения типа Вольтерра для определения ф и 1)3 в точках поверхности D или в точках контура С в зависимости от времени to. [c.142]

Решение задачи по определению смещения v будем искать при помощи обобщенного метода Вольтерра, причем для этого воспользуемся формулой (2.84) и получим [c.150]

Формула (12) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра 1-го рода относительно Q ( - ) с ядром [c.11]

Тогда из формулы (11.11) с помощью теоремы о свертке оригиналов [48] получим в пространстве оригиналов интегральное уравнение Вольтерра I рода относительно и г, [c.264]

ИЛИ (г, S) (s) = г, S) г Для функции/Сд представление через интеграл Лапласа приведено в третьей главе (формулы (3.76)). С их помощью строятся оригиналы функций (s), Z (r,s). Тогда, пользуясь теоремой о свертке оригиналов, получаем интегральное уравнение Вольтерра I рода относительно и (г, 0 [c.285]

В основе метода построения ядер для динамических процессов лежат следуюпще соображения. Пусть даны два ядра Ql(t,т) и г( Т) операторов Вольтерра, резольвенты Gl t т) и С2( ,т) которых известны. Введем далее ядро К 1,т) по формуле [c.28]

Последнее соотношение имеет характер формулы теории последействия Больцмана-Вольтерра (2.12.52), осложненной дополнительными членами в правой части равенства. Оно справедливо, пока точка (е, а) находится выше граничной прямой а = /ге + а. При обратной задаче, когда задано изменение деформации е = е( ) и требуется найти, как меняется напряжение, можно, поступая совершенно аналогично предыдущему, прийти к формуле [c.366]

Входяш ие в операторы новые эффективные параметры, такие как модули упругости, коэффициенты теплопроводности, коэффициенты диэлектрической проницаемости и другие, являются постоянными, найденными эмпирически. В действительности, в случае, когда матрица композита полимерная, последние, как и многие другие материалы, способны при длительной постоянной нагрузке или при переменных нагрузках проявлять неупругие свойства и поэтому являются операторными величинами. Аналогичными свойствами обладают диэлектрические и другие проницаемости при высоких частотах изменения электромагнитного поля. Для умеренной интенсивности полей указанные операторы могут быть построены в линейном приближении. Пользуясь принципом Вольтерра и заменяя в формулах физические постоянные соответствуюш ими линейными операторами, удается расширить область применимости уравнений состояния. В частности, опе- [c.168]

На этот вопрос в данный момент легче всего ответить, опираясь не на формулы, выведенные в настоящем параграфе, а на формулы, выражающие компоненты смещения и, V через компоненты напряжения Кр, Ху при помощи криволинейных интегралов, взятых по произвольным линиям, соединяющим точки (а, Ь) и х г/1). Эти формулы легко получить из формул (4) 15 (формулы Вольтерра), положив в них го бг% = [c.98]

Отметим следующее важное свойство дислокаций, указанное Вольтерра. Если переместить купюры и изменить их форму, так, однако чтобы точки afi и оставались соответственно на контурах и j+j и чтобы купюры нигде друг с другом не пересекались, то величины е , fe, ft, определяемые формулами (3), останутся, очевидно, без изменения. Иными словами, величины эти не изменяются при замене одной системы купюр другой, топологически ей эквивалентной. [c.158]

Формулы (16), (17) вытекают из формул (8), (9) и (И). Правые части этих уравнений мы считаем известными величинами характеристиками дислокаций Вольтерры. [c.545]

Из формулы (4) отчетливо видно, что при отсутствии внешних сил = О, = 0), но при существовании дислокации Вольтерры работа деформации отлична от нуля. В теле возникает деформированное состояние. В этом частном случае [c.546]

Умножив обе части уравнения (6.179) на 8 /Со (гу) / 1 ( . з), перейдем по формуле обращения от изображений к оригиналам. В результате находим, что динамические температурные напряжения удовлетворяют таким интегральным уравнениям Вольтерра первого рода [c.240]

В соответствии с решением Вольтерра для краевой дислокации составляющие перемещения в плоскости ху определяются по формулам [c.91]

Подставляя функцию фо( , х), определенную по формуле (12.23), в (12.22), приходим к следующему уравнению Вольтерра [c.194]

Ha основании изложенного Фурьеюбраз функционала Вольтерра [ см. формулу (101) ] можно представить в виде [c.101]

В 11.4 были получены общие формулы, определяющие поле перемещений для дислокаций простейшего вида, а именно таких, которые соответствуют лишь поступательному относительному перемещению сторон разреза. Как это явствует из теоремы Вейнгартена и как предполагается в общей теории Вольтерра, относительное перемещение, вообще говоря, должно соответствовать движению твердого тела, т. е. содержать наряду с поступательным перемещением еще поворот. [c.456]

Приложение формулы (17.12.1) к обработке опытных д.шных было начато больше чем через пятьдесят лет после появления работы Вольтерра. Следует отметить, что во всех этих новейших работах исследовались материалы, поведение которых мало отличалось от линейного. Поэтому в разложении (17.12.1) было достаточно удержать два члена, соответствующих однократному и тройному интегралам. Двукратный интеграл обычно отбрасывается, так как поведение материала при растяжении и сжатии предполагается одинаковым. Даже при таких упрощениях определение вида ядра, зависящего от трех независимых аргументов, довольно затруднительно. Обращение соотношения (17.12.1) имеет тот же вид, но фактическое выполнение такого обращения встречает существенные трудности. Лишь относительно недавно (1957 г.) кратно-интегральное представление было распространено на случай трехмерного напряженного состояния. При сохранении интегралов до трехкратных включительно поведение изотропного материала описывается при помощи 12 независимых ядер. Многие авторы поэтому стремились упростить полученные соотношения, делая те или иные предположения. Мы не будем здесь касаться этих вопросов. [c.607]

В основе излагаемого метода лен ат следующие соображения. Пусть даны два ядра Ql I, т) и 2 t т) оператора Вольтерра, резольвенты 0 ( , т) и Ь, т) которых известны. Введем далее лдра 1, т) и Кз t, т) по формулам [c.70]

Б9. ГИРОСТАТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР ЧЛЕНОВ НЕГОЛОНОМНОСТИ. СиСТЕМЫ с НЕЗАВИСИМЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ПО ВоЛЬТЕРРА. ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО связи, среди которых обязательно есть неголономные, не зависят ОТ времени. В этом предположении будут тождественно равны нулю, и, следовательно, в силу соотношений (85) будут равны нулю и все Т]Л10 , так что формулы (87) примут вид [c.333]

Это интегральное уравнение для неизвестного распределения размеров капель / (D) представляет собой уравнение Вольтерра первого рода. Даже при известном аналитическом выражении для функции скорости счета (вместо таблицы числовых значений) аналитическое решение уравнения (13) отсутствует. Поэтому использовались численные методы. Кунц [22], Скарбороу [23] и другие разработали метод численного определения функции / D). По существу эти методы состоят в замене определенного интеграла формулами для квадратуры и определении значений неизвестной функции в каждой точке путем разбиения определенного интеграла с использованием стандартных методов решения систем уравнений. [c.178]

Система линейных уравнений (8.15.4) решается путем сведения к системе рекуррентных алгебраических уравнений с заменой ин-тиралов суммами в соответствии с одной из квадратурных формул или с методом Крылова-Боголюбова [20]. Усилия в стержнях определяются исходя из решений для упругих систем с использованием принципа Вольтерры. [c.112]

Разрывы вектора поворота <о и вектора перемещения и на барьере определяются по формулам Вейнгартена через векторы дисторсии с и 6 компоненты их Вольтерра назвал постоянными барьера. Для двусвязного тела формулировка теоремы Кирх-гоффа должна быть дополнена требованием задания шести постоянных барьера если упругая среда заполняет двусвязный объем и ее деформация правильная, напряженное состояние в ней определяется заданием не только внешних сил, но и шести постоянных барьера. Это доказывается в п. 5.2 построением напряженного состояния в ненагруженном теле по заданию векторов с, Ь. Измененная формулировка теоремы взаимности в двусвязном теле дается в п. 5.3, а в пп. 5.4 и 5.5 приводится выра-жение потенциальной энергии деформации, определяемой наличием дисторсии. Краевая задача теории дисторсии сформулирована в п. 5.6. Примеры, относящиеся к задачам дисторсий в полом цилиндре, рассматриваются ниже, в п. 7.3 и гл. V. [c.198]

Формула (5.45) годится для вычисления кривизны в любой точке пластины как при гс го, так и при г>го. При г>гц верхний предел первого интeq)aлa будет также го. При г<го, предполагая, что пластина плотно прилегает к штампу, можно считать x=lfR известной величиной равной кривизне основания штампа. В этом случае соотношение (5.45) будет интегральным уравнением для определения реакции q. Это уравнение принадлежит к классу уравнений Вольтерра первого рода. Оно справедливо только в облаг сти г<го, так как при г=го уже нельзя требовать равенства криг визнн основания штампа и срединной плоскости пластины. [c.237]

В теории ребристых оболочек широко применяется также метод непосредственного интегрирования уравнений ребристой оболочки обычно с помощью двой- " ных и одинарнйх тригонометрических рядов. Так как коэффициенты уравнений в местах присоединения ребер терпят разрыв, переменные не разделяются. Использование двойных рядов приводит к бесконечной системе алгебраических урав- яений, а одинарных в направлении, нормальном к осям ребер, к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При использовании разложения в окружном направлении для оболочек со шпангоутами или в продольном направлении для оболочек со стрингерами переменные разделяются, поэтому здесь дело обстоит проще. Получается система обыкновенных дифференциаль- ных уравнений восьмого порядка со слагаемыми в виде дельта-функций. Перенося эти слагаемые в правую часть, можно представить частное решение с помо- -щью формулы Кошн в виде интегралов с переменным верхним пределом. Процесс дальнейшего решения становится рекуррентным и сводится к последова- I тельному решению систем восьми алгебраических уравнений. Число таких решений равно числу ребер плюс одно решение. Указанный метод использовал Н. И. Карпов [40] при расчете круговой цилиндрической оболочки с продольны- ми ребрами, а также П. А. Жилии [24] при анализе осесимметричной задачи для круговой цилиндрической оболочки со шпангоутами. При использовании формулы Коши необходимо знать систему нормальных фундаментальных функций (ядро Коши). Метод определения ядра Коши для линейных дифференциальных уравнений е переменными коэффйциеитами развит в книге И. А. Биргера [4]. Он осно- г -ван на решении так называемых нормальных интегральных уравнений (аналоги уравнений Вольтерра). В указанной книге дан также ряд приложений теории нормальных интегральных уравнений. [c.324]

Для определенности задачу длительной прочности сформулируем для ортотропных осесимметричных оболочек [116, 188] при отсутствии температурного воздействия (0 = 0). В этом случае в уравнениях (22.10), (22.11) необходимо всюду заменить компоненты тензора жесткости A i j соответствующими операторами которые находим по формулам (2.10), если в них величины с, Ес, Eah к = 2,. . ., т) считать операторами, определяемыми через интегральный оператор типа Волыерра, как указано в 2. Полученная в этом случае система интегро-дифференци-альных уравнений при стационарных граничных условиях с помощью принципа Вольтерра сводится к статической краевой задаче для упругих ортотропных оболочек. Ее решение при соответствующих краевых условиях определяет выражения для обобщенных смещений Uio, u i как функцию координаты х и операторов Aaifi- В общем случае это будут некоторые трансцендентные функции от операторов Аагм, расшифровка которых может быть осуществлена, если предварительно эти функции разложить в операторный ряд [172] по степеням соответствующих операторов. Расшифровку последних можно осуществить, если считать, например, что для каждого субструктурного элемента интегральные операторы Г являются операторами типа Эд — Работнова [169]. [c.149]

Концепция ff= onst. В этом случае длина концевой области может изменяться со временем. Согласно доказательству, приведенному выше, операции интегрирования по области [О, d(t)] и действия оператора Г коммутативны только в случае монотонного роста концевой зоны. Условия коммутативности указанных операций для второго интегрального члена выражения (7.2) будут точно такими же, как и в предыдущем случае. Таким образом, для выполнения коммутативности всех указанных операций, а следовательно, и для применимости принципа Вольтерра при исследовании роста трещин в рамках концепции a= onst необходимо выполнение дополнительного условия монотонного роста концевой зоны. Если все эти условия выполнены, то нормальные перемещения берегов трещины также определяются формулой (7.8), где нужно положить а( )—.(Т. [c.72]

Заметим, что в силу непрерывности функвдш с(Ь) и условий, наложенных на ядра операторов Вольтерра, все функции времени, при-сутствуюпще в разложениях, кусочно-непрерывны по времени [162]. Причем их точки разрыва совпадают с точками разрыва задаваемых функций. Например, если задаваемая сила Р(Ь) непрерывна всюду на интервале Ь Е [1,Т], кроме точки о где она имеет конечный скачок значения, то функции Z2i t) в формулах (2.29)-(2.35) будут также всюду непрерывны за исключением точки О где их скачки конечны. Говоря далее о сходимости рядов и единственности решений кусочнонепрерывных по времени функций, будем понимать, что в точках разрыва 1к эти свойства выполняются отдельно для значений а - О и л + О. [c.68]

Фикера теорема 274 Формула Вольтерра 344 [c.663]

Формулы (4) по существу совпадают с формулами, найденными Воль-терра (V, Volterra) путем преобразования формул, данных Кирхгоф-фом 2), Приведенный здесь вывод их принадлежит Чезаро (Е. esaro) ), который придал формулам Вольтерра более симметричный вид. [c.54]

Что же касается ядра оператора Уг, то оно при этом оказалось резольвентой интегрального уравнения Вольтерра, определяемого вторым равенством в (5.75). Если построены ядра операторов я У , то парное уравнение сводится к соотношению (5.55) и решается с помош ью формулы обращения (5.56) при ф(а, л )= (сх, х). При этом поскольку егсг-можно свести (2) к случаю =0, то ядро Уг(х, у) определять нет необходимости. [c.76]

Решениям уравнений линейной упругости с ненулевыми а или Ь Вольтерра дал следующую интерпретацию. В теле с трубчатой полостью делается разрез по некоторой поверхности Е, превращающий тело в односвязное. Далее берега разреза (Е и Е ) сдвигаются так, чтобы разности (О 1 к и соответствовали формулам Вейнгартена (1.1). Убирая — по мере необходимости — лишний материал или добавляя новый, восстановим затем сплошность двусвязного тела некой сваркой. Напряженное состояние тела после такой операции определяется зна- [c.267]

Элементарная интерпретация этой формулы при создании дислокации по Вольтерра берег перемещается относительно на А, при этом поверхностные силы N совершают работу IV, равную запасенной энергии. По мнению автора, подобные рассуждения хороши как заключительные интерпретации, но не исходные основы — не следует пренебрегать формальными построениями, если они просты и убедительны. Многих ошибок (даже у вьщаюшихся авторов) не было бы при использовании мощного — но не сложного — формального аппарата. [c.272]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...