Метод Релея

Практика расчетов упругих систем на колебания показывает, что в подавляющем большинстве случаев те упрощения, которые делались в рассмотренных выше задачах, являются неприемлемыми. Так, большей частью собственная масса упругих связей (балок, валов) оказывается соизмеримой с присоединенными массами. Последние же в свою очередь редко удается рассматривать как сосредоточенные. Обычно в расчетной практике приходится иметь дело с балками или валами переменной жесткости при неравномерном распределении масс. В этих условиях определение частот собственных колебаний изложенными выше методами оказывается громоздким и более предпочтительным является приближенное решение. Ниже мы рассмотрим наиболее распространенный из существующих приближенных методов — метод Релея. [c.485]

Способ Релея. При рассмотрении колебаний упругих систем с одной и с несколькими степенями свободы мы, как правило, пренебрегали массой упругого элемента по сравнению с колеблющейся сосредоточенной массой. Это имело место и в случае вертикальных колебаний груза, подвешенного на пружине (см. рис. 537), и в случае крутильных колебаний диска на валу (рис. 545), и в случае поперечных колебаний грузов, расположенных на балке (рис. 555), и в других случаях. Хотя эти упрош,ения во многих практических случаях не вносят особых погрешностей в получаемые решения, тем не менее для некоторых технических задач желательно более детально рассмотреть точность этих приближений. Чтобы оценить влияние принятых упрощений на получаемое значение частоты колебаний упругой системы, воспользуемся приближенным методом Релея. [c.641]

Проиллюстрируем применение метода Релея на примере колебаний груза, подвешенного на пружине (рис. 571). [c.642]

Следуя методу Релея и полагая, что вес ql балки мал по сравнению с весом Q груза, с достаточной точностью можно допустить, что кривая прогибов балки при колебании имеет такую же форму, как и кривая статических прогибов. Тогда, обозначая через / перемещение груза Q при колебании, получим перемещение любого элемента qdx балки на расстоянии х от опоры [c.643]

Заметим, что полученное значение частоты, определенное приближенным энергетическим методом Релея, мало отличается от точного ее значения, определяемого формулой (21.80). [c.648]

Для лопаток переменного сечения Х( ) неизвестна, так как аналитического решения уравнения (57) не существует. Поэтому невозможно аналитически решить уравнение (111). Решение этих уравнений возможно лишь приближенными методами. Остановимся на методе Релея, при помощи которого может быть вычислена частота собственных колебаний первого тона, и на методе последовательных приближений, позволяющего вычислить формы и частоты собственных колебаний любого тона лопаток переменного сечения по высоте. [c.51]

Согласно рассматриваемому методу вместо функции в выражении (111) подставляют известную функцию. Выбранная функция должна мало отличаться от действительной и удовлетворять граничным условиям у основания лопаток. Расчеты показывают, что форма статического изгиба лопаток от равномерной нагрузки и форма колебаний при основном тоне близки между собой. Этого достаточно для вычисления частоты основного тона (111) при помощи формы статического изгиба лопаток. Разница между частотами вычисленными методом Релея и методом последовательных приближений при этом составляет 1—2%. [c.51]

Форма колебаний не может быть определена методом Релея, так как в его основе лежит одинаковость изгиба лопатки в результате приложения разнородных нагрузок. В одном случае кривая прогиба определяется равномерной статической нагрузкой по длине лопатки E Jy")"=ql , где q — интенсивность нагрузки. В другом случае она определяется силами инерции переменной интенсивности. Уравнение (57) содержит в правой части неизвестную функцию X, определяющую форму колебаний. [c.52]

Зависимость (257) получена расчетным путем, основывающимся на методе Релея при определении частоты свободных колебаний единичной лопатки постоянного сечения в поле центробежных сил. [c.182]

Метод Релея. Метод Релея, являющийся обобщением энергетического метода, может быть применен для определения первой критической скорости многодисковых роторов, валы которых имеют переменное сечение. Подробно метод Релея рассмотрен в первом томе [33], здесь мы лишь кратко напомним сущность его. Вначале задаемся формой упругой кривой при первом (основном) виде колебания. После этого вычисляем наибольшие значения потенциальной и кинетической энергий системы, которые затем приравниваем друг к другу и из полученного таким образом уравнения определяем приближенное значение первой критической скорости. [c.78]

МЕТОД РЕЛЕЯ И РОДСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ [c.182]

Метод Релея. Для приближенного нахождения первой собственной частоты можно использовать формулу Релея (19) гл. IX или (20) гл. IX, если в качестве q> выбрать некоторую допустимую вектор-функцию (функцию, удовлетворяющую по крайней мере кинематическим граничным условиям) ф е Е , близкую к предполагаемой первой форме собственных колебаний [c.182]

Наличие в спектре пульсаций давления выделенных частот свидетельствует о существовании в струях с малым начальным уровнем турбулентности и тонкими пограничными слоями вторичной неустойчивости слоя смешения. Эта неустойчивость может быть описана в невязкой постановке методами Релея [15, 16]. Расчеты показывают, что профиль скорости в турбулентной струе примерно на половине длины начального участка (для воздушной струи при хо = 3), где периодические пульсации давления на оси максимальны, состоящий из [c.574]

Пример 15.11. Методом Релея определить низшую частоту собственных продольных колебаний системы, состоящей из стержня и прпсое-динспыон к нему массы т (рис. 552). Масса стержня — т , длина — I, жесткость на растяжение—ЕР. [c.486]

Более точные значения основной частоты, а также частот высших видов колебаний можно получить, пользуясь методом Ритца, который является дальнейшим развитием метода Релея. [c.648]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Аштон и Ваддоупс [17 ] решили методом Релея — Ритца задачу устойчивости прямоугольной пластины с произвольной схемой расположения слоев при одноосном и двухосном сжатии, а также сдвиге в плоскости пластины. Полученные ими решения достаточно хорошо совпали с результатами эксперимента при одноосном сжатии пластин, защемленных по всем сторонам, пластин, защемленных по двум сторонам и шарнирно опертых по двум другим сторонам [15 [, сдвиге пластин, защемленных по всем сторонам [16], а также при одноосном сжатии пластин с линейно изменяющейся толщиной. [c.184]

Наряду с дифференциальным может быть реализован (точно или приближенно, как в методе Галеркина) энергетический подход к решению задачи (метод Релея — Ритца). При этом используется выражение для потенциальной энергии, записанное через напряжения и деформации, ft/2 [c.223]

Эту подстановку использовали Муштари и Саченков при решении задачи устойчивости методом Галеркина, она также с успехом была применена для расчета ортотропных усеченных конических оболочек энергетическим методом Релея — Ритца [23]. [c.230]

Динамический анализ оболочек с общим характером анизотропии (т. е. оболочек из ортотропного ориентированного произвольным образом материала) был впервые проведен Кунуккассе-рилом [160], который показал, что обычные формы колебаний, узловые линии которых образуют прямоугольную сетку, не могут быть решениями уравнений движения. Причиной этого является наличие в соотношениях упругости смешанных коэффициентов с индексами 16 и 26. Представив решение в форме спиральной волны, Кунуккассерил изучил распространение волн, связанных с тремя основными формами колебаний — радиальной, осевой и крутильной. Для оболочек конечной длины было рассмотрено только два 5ида колебаний — осесимметричные (получено точное решение) и чисто изгибные (приближенное решение методом Релея). [c.240]

Для определения частоты внутрипакетных тангенциальных колебаний первого тона воспользуемся методом Релея [98]. [c.59]

При значительном изменении толщины диска по радиусу и необходимости учета влияния ступицы обода, лопаток и бандажа для вычисления частот свободных колебаний диска применяют обычно приближенный метод Релея — Ритца, который изложен в 8. [c.10]

Известно несколько методов, позволяющих определить частоту р по формуле (28), причем отличаются они между собой главным образом способом определения кривой формы колебания диска. Чем меньше отличается выбранная кривая от действительной, тем точнее результат. Принцип применяемых в этом случае методов Релея, Ритца и последовательного приближения изложен в первом томе [33]. [c.15]

Определяя частоту свободных колебаний облопаченного диска по методу Релея, следует вместо действительной кривой прогибов диска и лопаток принять статический прогиб последних от нагрузки, равномерной по радиусу и изменяющейся по закону os тф на окружности диска. Применяя же метод Ритца, за кривую прогибов выбирают обычно функцию с одним или двумя параметрами, величина которых определяется из условия минимума частоты. [c.15]

Приведенный алгоритм основан на методе Релея-Ритца. Его иде заключается в том, что бесконечномерная задача заменяется п-мерной, то есть введением п пробных функций v= V ,v= V ,..., о = V. В классе всевозможных линейных комбинаций +. .. + вычисляется такая частная комбинация w = u V +. .. + + uV, которая минимизирует П(У). [c.22]

Защемленные или свободные по контуру пластины. Точного решения для данного случая в замкнутом виде получить не удается. Здесь можно применять различные приближенные подходы вариационные методы (Релея, Ритца, Бубнова—Галеркина. и др.), численные методы (конечных разностей, конечных элементов), комбинированные методы и т. д. Так, по формуле Релея основная частота [c.205]

Эта задача может быть решена по схеме, описанной в п. 2 данной главы. Для других случаев краевых условий необходимо использовать приближенные или численные методы. Г ри решении задачи методом Релея, Ритца, Бубнова—Галеркина и др. в качестве аппроксимирующих могут быть использованы балочные функции (см. гл. X). [c.229]

Для определения Zi согласно методу Релея-Ритца имеем уравнения, [c.101]

Струя жидкости истекает из сосуда в горизонтальном направлении. Поперечное сечение трубки имеет форму эллипса, вытянутого в горизоьггальном направлении. Струя принимает форму цепи, звенья которой попеременно то вытянуты, то сплюснуты в горизонтальном направлении, Пользуясь методом теории размерностей, найти зависимость длины звена в начальной части струи от плотности жидкости р, поверхностного натяжения а, ускорения силы тяжести g и располагаемого напора Н. На наблюдении этого явления основан метод Релея -измерения поверхностного натяжения жидкости. [c.75]

Метод Релея — Ритца. Этот метод был предложен Релеем [c.80]

Метод Тимошенко. Модификацию метода Релея — Ритца, основанную на непосредственном применении теоремы Дирихле, предложил С. П. Тимошенко [6.21] (1910). Для приближения функции используется уравнение 6 11 = 0, которое приводит к зависимости N = jV( j-) нагрузки N от параметров Сь Из условия минимума нагрузки [c.81]

Эффективность методов Релея — Ритца и Тимошенко во многом зависит от удачного выбора аппроксимирующих функций. Точность решения возрастает с увеличением числа функций. Приближение к истинной величине нагрузки происходит сверху. Увеличивая число свободных параметров в искомых функциях, оболочке придают лишние степени свободы, что и способствует уточнению результатов, так как оболочка вообще является системой с бесконечным числом степеней свободы. [c.81]

Методы Релея — Ритца и Тимошенко широко используются. Обоснованию и развитию их посвящено большое количество работ (см. [5.1]). [c.81]

В тех случаях, когда не удается подобрать систему координатных функций, удовлетворяющих всем граничным условиям, в методе Релея — Ритца и Тимошенко можно потребовать, чтобы ряд (2.1) в целом удовлетворял граничным условиям. Полученные дополнительные условия вместе с минимизацией энергии или усилия приводят к изопериметрической задаче. В эгом случае используется метод неопределенных множителей Лагранжа [6.26]. [c.81]

Метод конечных элементов. Этот метод, как и метод конечных разностей, имеет широкие возможности и хорошо приспособлен для машинной реализации. В основе его лежит идея расчленения конструкций на отдельные элементы. Наибольшее распространение в настоящее время получил метод конечных элементов в перемещениях, имеющий много общего с методом Релея — Ритца и вариационно-разностными методами. В методе конечных элементов, в отличие от метода Релея — Ритца, аппроксимация перемещений производится не по всей области их определения, а в пределах отдельных элементов. Это позволяет оперировать с более простыми функциями. Минимизация потенциальной энергии при этом производится по узловым перемещениям, которые являются основными неизвестными. Возможность аппроксимации перемещений внутри элементов позволяет ограничиться сравнительно небольшим числом узлов, что является одним из преимуществ метода конечных элементов по сравнению с методом конечных разностей. Метод конечных элементов отчасти соединяет в себе преимущества методов конечных разностей и Релея — Ритца и в некоторой степени свободен от их недостатков. [c.82]

Приближенные решения задачи при простейшей аппроксимации функции f x) были получены в работах Зандена, Тольке, Рейнольдса, Палия, Мека (см. [5.1]). В работе Браша и Альмрота [8.17] для свободно опертой оболочки получено более аккуратное решение методом Релея — Ритца. Решение построено в тригонометрических рядах. В [c.144]

Возьмем оболочку, нагруженную равномерным давлением до, приложенным на ее средней части длиной I (рис. 16.8). Впервые эта задача рассматривалась Фельдом, Альмротом и Брашем [16.10, 16.12]. Результаты их исследования, полученные для свободно опертой оболочки методом Релея — Ритца с учетом моментности исходного состояния представлены многочисленными эквидистантными друг другу графиками. Анализ этих графиков [16.15] показал, что критические давления до частично и д полностью загруженных оболочек связаны простой зависимостью [c.229]

Эта задача позже рассматривалась в работе [22.9]. Решение задачи было получено в тригонометрических рядах методом Релея — Ритца и исследовано численно. Исходное состояние оболочки считалось безмоментньтм. Результаты расчетов представлены на рис. 22.6 сплошными линиями. Пунктир нанесён по формуле (4.2). В работе [22.9] имеются результаты испытаний оболочек из эпоксидной резины. Экспериментальные значения критического давления для тонких оболочек составляют 85—91% от расчетных значений. [c.277]

Смещения (4.2) обращаются в нуль при г = О Методом Релея — Ритца в [23.4] найдено следующее выражение для сдвигающего усилия на меньшем основании [c.288]

Однако при оценке точности получаемых таким образом приближенных решений следует соблюдать осторожность. Рассмотрим, например, применение метода Релея — Ритца в сочетании с принципом стационарности потенциальной энергии. Этот метод обеспечивает хорошее приближенное решение для перемещений, если допустимые функции выбраны соответствующим образом. Однако точность в распределении напряжений, вычисленных с использованием приближенных значений перемещений, нельзя признать удовлетворительной. Это становится очевидным, если вспомнить, что в определяющих уравнениях, полученных приближенным методом, точные уравнения равновесия и граничные условия в напряжениях заменяются их взвешенными средними и что точность приближенных решений уменьшается при дифференцировании. Таким образом, уравнения равновесия и граничные [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...