Ковариантные координаты

Рассмотрим, как преобразуются компоненты вектора при замене координат. Для ковариантных координат имеем [c.40]

При изменении координатной системы меняются также ковариантные и контравариантные компоненты вектора. Изменение координат определяется системой трех соотношений типа [c.19]

Сравнивая левую часть уравнения (1-4.5) с уравнением (1-2.8), видим, что она представляет собой систему ковариантных компонент V/. Таким образом, ковариантные компоненты градиента скалярного поля / (X) являются частными производными функции / (ж ) по координатам. [c.31]

Здесь использован (и будет использоваться в дальнейшем) специальный символ <=> для того, чтобы подчеркнуть особый смысл равенства правой и левой частей уравнения. Фактически Уи (т) суть ковариантные компоненты единичного тензора в системе координат величины же ( )j суть ковариантные компоненты тензора Коши в системе координат х Хотя их две матрицы совпадают при любом т, ясно, что речь идет о двух различных тензорах равенство компонент двух тензоров еще не означает равенства тензоров, если компоненты не рассматриваются в одной и той же системе координат. [c.112]

Если система не является замкнутой, т. е. если учитывается влияние на точки системы других материальных объектов, не входящих в нее, то, вообще говоря, при переходе от одной инерциаль-ной системы к другой структура равенств, выражающих законы и уравнения механики, может изменяться. Часто удается, однако, придать этим равенствам такой вид, чтобы при переходе от одной инерциальной системы к любой другой структура этих равенств сохранялась, хотя вид содержащихся в этих равенствах функций координат и скоростей точек может меняться. В таких случаях говорят, что форма записи законов или уравнений механики ко-вариантна по отношению к преобразованиям в классе инерциальных систем. Подобным же образом можно говорить о ковариантности законов и уравнений механики по отношению к иным классам преобразований систем отсчета. Разумеется, может оказаться, что и у незамкнутой системы имеет место не только ковариантность, но и инвариантность законов механики, но по отношению не к произвольным преобразованиям в классе инерциальных систем, а при каких-либо преобразованиях частного вида. [c.46]

Далее в этой главе будет введена более удобная запись уравнений движения, ковариантная по отношению к произвольным точечным преобразованиям i) вида (4). Эта запись для системы из N точек будет содержать только ЗЛ/- -1 функций, меняющихся при преобразовании координат выражения для этих функций сравнительно просты, и они имеют ясный механический смысл. Более того, в важном случае движения в произвольном потенциальном (в том числе и в нестационарном) поле уравнения, описывающие систему из N точек, будут содержать лишь одну такую функцию. [c.123]

Утверждение, обратное принципу Гамильтона, важно и по другой причине оно позволяет установить, как изменяется лагранжиан при преобразовании координат и времени, и тем самым разъяснить, что собственно имеется в виду, когда утверждается, что уравнения Лагранжа ковариантны по отношению к таким преобразованиям. Рассмотрим преобразования [c.280]

Таким образом уравнения Лагранжа ковариантны по отношению к любым преобразованиям координат и времени вида (62), [c.281]

При выводе релятивистского динамического уравнения движения точки необходимо потребовать, чтобы оно было ковариантно (сохраняло свой характер) или инвариантно (оставалось неизменным), так как выбор координатных систем произволен у, не должен влиять на физические факты и основные законы, отражающие их. Переход от одной системы координат к другой в релятивистской механике сопровождается преобразованиями Лоренца. Следовательно, искомый динамический закон должен быть ковариантен относительно преобразований Лоренца, Заметим, что в [c.287]

Косоугольные координаты. Контравариантные и ковариантные компоненты векторов [c.49]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Отметим некоторые особенности найденных выражений абсолютных дифференциалов. Эти выражения показывают, что величины da и ёа , рассматриваемые в отдельности, не подчиняются формулам преобразования контравариантных или ковариантных векторов. Также можно убедиться в том, что символы Кристоффеля не принадлежат к тензорным величинам, так как закон их преобразования при переходе к новой системе координат не является законом преобразования компонент некоторого тензора. Мы не будем здесь рассматривать эти формулы преобразования. Они будут приведены в т. II настоящей книги ). [c.94]

Конечно, в этих формулах не надо суммировать по одинаковым верхним и нижним индексам. В ортогональных системах координат вместо контравариантных и ковариантных компонент векторов пользуются их проекциями на оси местного координатного базиса. [c.96]

Если рассматривать символы V как ковариантные компоненты символического вектора V, то величины и можно рассматривать как компоненты некоторых мультипликативных тензоров второго ранга. Но сравнение формул (IV. 146), (IV. 148) и (IV. 150) приводит к выводу, что введение вектора у не встречает препятствий лишь при применении системы прямолинейных декартовых координат, так как лишь в этой системе символы Кристоффеля равны нулю. [c.386]

Для этого достаточно заменить частные производные по декартовым координатам ковариантными производными, а также dv на ( у) , где — компоненты абсолютного дифферен- [c.496]

Частица движется по геодезической на двумерной поверхности. Компоненты метрического тензора не зависят от координаты qK Доказать, что ковариантная компонента импульса pi постоянна. [c.83]

Обозначим контравариантные и ковариантные компоненты вектора а через A и Ак, а его компоненты в прямоугольной декартовой системе координат — через йт- Далее и обозначают проекции вектора а соответственно на вц и e . Учитывая, что а — = — орты прямоугольной декартовой системы коорди- [c.17]

Как мы видели выше, алгебраические операции над тензорами приводят снова к тензорам, чего нельзя утверждать, как убедимся ниже, относительно их дифференцирования. Частные производные компонентов тензора составляют тензор лишь в декартовой системе координат. В криволинейных системах координат дело обстоит сложнее. Здесь приходится вводить так называемое ковариантное дифференцирование, действие которого на тензор снова даст тензор. Ковариантная производная совпадает с обычной, когда тензор отнесен к декартовой системе координат. [c.21]

Таким образом, производная скалярной функции по координатам дает ковариантный вектор [c.23]

Обозначим через пи ковариантные компоненты единичного вектора внешней нормали, составляющие которого в системе координат Xh равны 4. [c.28]

В декартовой прямоугольной системе координат, благодаря тому, что символы Кристоффеля обращаются в нуль и ковариантные компоненты вектора и тензора напряжений совпадают с физическими компонентами, уравнения движения (2.19) и равновесия [c.40]

На основании формул (1.49) и (1.50) с учетом того, что в цилиндрической системе координат компоненты ковариантного метрического тензора [c.41]

Если входящие в основные уравнения в декартовых координатах обычные частные производные заменить ковариантными производными, то получим уравнения в криволинейных координатах. [c.116]

В криволинейных координатах дивергенция вектора определяется ковариантной производной контравариантного вектора (2 .88) [c.116]

Компоненты тензора малого поворота и вектора поворота. Заменяя в формуле (1.29) обычные частные производные ковариантными, получим формулу для компонент тензора малого поворота в криволинейных координатах [c.117]

Для читателей, знакомых с тензорным исчислением, сделаем следующее важное дополнительное замечание. Одним из исходных предположений в механике является утверждение о том, что все механические величины характеризуются тензорами нулевого, первого или второго ранга, а все законы и уравнения механики представляют собой тензорные равенства. Это значит, что в каждом законе должны содержаться слагаемые, представляющие собой тензоры одного и того же ранга, и из самого определения тензора следует, что любые равенства, выражающие законы и уравнения механики (как для замкнутых, так и для незамкнутых систем), ковариантны по отношению к повороту координат. В отличие от этого ковариантность по отношению к другим преобразованиям не является свойством законов механики, а скорее определяется формой их записи. Одни и те же законы механики могут быть представлены и в ковариантной, и в нековариантной записи. Преимущество ковариантной записи состоит в том, что она не зависит от выбора систем отсчета в пределах соответствующего класса преобразований. [c.47]

Эти примеры поясняют понятие ковариантная форма записи уравнений движения , взеденное в гл. II форма записи уравнений называется ковариашпной по отношению к некоторому семейству преобразований, если при любом преобразовании из этого семейства форма записи уравнений не меняется, а меняются лишь содер-жаш иеся в этой зшшси функции от новых преобразованных) координат, первых производных и времени. [c.123]

Применительно к системе без механических связей уравнения Лагранжа имеют одно основное преимущество они ковариантны по отношению к точечным преобразованиям координат. В случае же, когда система стеснена механическими идеальными связями, применение лагранжева формализма имеет дополнительные пре имущества по сравнению с непосредственным применением урав нений Ньютона. Оно позволяет уменьшить порядок системь уравнений, описывающих движение, до 2п, где л —число степе ней свободы, и избежать определения реакций идеальных связей Возможность выписать уравнения движения, не интересуясь нор мальньши реакциями и вообще подсчетом реакций в случае, когда трение отсутствует, является одним из важных преимуществ применения лагранжева формализма к механическим системам со связями. [c.156]

Уравнения движения, записанные в ковариантной форме (уравнения Лагранжа), имеют одинаковый вид в любой системе отсчета и поэтому в равной мере пригодны для описания движения в инерциальных и в неинерциальных системах. Для того чтобы описать движение материальной точки по отношению к неинерциальной системе отсчета, надо лишь в качестве новых координат принять отрюсительные ( греческие ) координаты неинерциальной системы. Заданное переносное движение определяет тогда все функции ф,- и г ),-, т. е. преобразование (8) новых ( гре- [c.160]

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при гыводе основ ых законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле — уравнениями (29), где L = T—К. [c.164]

Равенства (24) дают проекции скорости любой точки М (х, у, z) вращающегося твердого тела на выбранные оси координат. Легко заметить при этом, что вид формул (24) не зависит от того, будут ли оси Oxyz неподвиисными или же будут связаны с вращающимся телом. Следовательно, проекции скоростей ковариантны по отношению к переходу от неподвижной к подвижной системе осей (т. е. определяются в этих осях формулами одинакового вида). [c.99]

Теперь мы можем обобщить понятие тензора, введенное нами первоначально в ортогональной системе декартовых координат. Рассмотрим сначала тензоры второго ранга. Применяя контрава-риантные и ковариантные компоненты векторов а и Ь, можем построить четыре мультипликативных тензора второго ранга. Эти тензоры имеют следующие компонешы [c.55]

Из основ тензорного исчисления следует, что обобщенные скорости у и обобщенные и.мпульсы Р] являются соответственно компонентами контрава-риантного и ковариантного вектора (тензора первого ранга) в системе обобщенных координат. Это, в частности, видно из содержания 61—64. [c.389]

Для трехмерного вектора df (и вектора скорости v ниже) в декартовых координатах нет необходимости различать коитра- и ковариантные компоненты, и мы пишем их везде с индексами внизу. То же самое относится к трехмерному единичному тензору бар- [c.692]

Решение. При произвольном (не ортогональном) преобразовании координат надо различать ко нтра- и ковариантные компоненты векторов и тензоров первые преобразуются к к сами координаты х (их принято обозначать с верхними индексами), а второе — как операторы дифференцирования д/дх (их обозначают с нижними индексами). Скаляр (10,1) надо записывать при этом как [c.58]

В выражениях (10,8 — ф компоненты Uij, преобразованы как контравариантные поэтому для установления связи между компонентами tkim в координатах Г), г и X, I/, г их надо рфсматривать как ковариантные (в декартовых координатах те и другие компоне нты, разумеется, совпадают)-. Для преобразования (10,7) имеем [c.58]

Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию Т системы через обобщенные координаты и скорости, найтн обобщенные силы и произвести указанные в (11) дифферен-ннровання функции 7 (д q,, t) но обобщенным координатам, обоП-1цениым скоростям п времени. Заметим, что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат q, дг, Чп-При другом их выборе изменились бы только функции Т и Q . л сама форма уравнений (11) осталась бы тон ке. В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. [c.228]

Рассмотрим в некоторой плоскости неподвижные косоугольные координаты с углом г ) между осями (рис. 122). Положение точки т можно определить контравариантными ковариантными ( ,, г) или смешап-пымн координатами ( i, Не состав- [c.166]

В декартовой системе координат ковариантные и контравари-антные векторы совпадают друг с другом совпадают также ковариантные производные с обычными производными, так как в этом случае метрический тензор постоянен, следовательно, символы Кристоффеля равны нулю. [c.51]

Дифференциальные зависимости Коши в криволинейных координатах. Заменим в равенстве (4.1) обычные частные п зоизводные ковариантными [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...