Эйлера оптимальное

При получении условий оптимальности большую роль играет множество функций, на котором происходит сравнение значений функционала. Это множество назовем областью определения функционала. Для теоремы Эйлера это было множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, проходящих через фиксированные начальную и конечную точки в заданные начальное и конечное значения параметра I. Могут быть и другие ограничения. Предположим, например, что требуется найти экстремум функционала Ф(7) среди всех вектор-функций, для которых значение другого функционала такого же вида [c.603]

Если и(() является оптимальным управлением, то вариация функционала обращается в нуль, т. е. бF(м) =0. Это условие используется для получения уравнения Эйлера [c.224]

Опытные кривые скольжения. В действительности, коэффициент трения зависит от величины поверхностного давления рль скорости скольжения, температуры и влажности. Поэтому формула Эйлера, устанавливающая связь между натяжениями ветвей в момент, когда дуга скольжения становится равной дуге обхвата, не вполне точна. Можно получить более точный результат, если проектировать ременную передачу по методу сравнения ее с эталонной, для которой опытным путем установлено оптимальное [c.314]

При операции транспортирования требуется перевести захват манипулятора в некоторое фиксированное положение хт- Начальное состояние системы фо всегда предполагается заданным. Оптимальное управление ф (<) (О г Т), минимизирующее функционал (1), должно, если функция F достаточно гладкая, удовлетворять системе уравнений Эйлера — Лагранжа [c.27]

Покажем теперь, каким образом можно непосредственно получить передаточную функцию Wy,(t), не обращаясь к уравнениям Эйлера — Лагранжа. При этом обобщим рассматриваемый метод определения оптимального управления па случай произвольного стационарного возмущения L t), периодического или почти периодического, для которого существует и является конечным спектр [c.320]

Для определения оптимальных управлений используем уравнения Эйлера — Лагранжа. Составим гамильтониан системы [c.326]

Очевидно, что с усложнением динамической модели агрегата и увеличением порядка системы уравнений, описывающей его движения, использование уравнений Эйлера — Лагранжа для определения оптимального управления становится все более затруднительным. Метод решения, не требующий непосредственного решения этих уравнений, является в таких случаях наиболее удобным. [c.334]

Заметим, что приведенные соображения об оптимизации основывались на классическом вариационном исчислении, справедливом лишь в том случае, когда управляющий параметр не выходит на граничные значения области допустимых изменений этого параметра. Только в этом случае можно воспользоваться для оптимального поиска уравнениями Эйлера, каковыми, по существу, являются уравнения (3.213) и (3.218). В более общем случае, когда указанное ограничение не выполняется или когда требуется, например, обеспечить наибольшее (наименьшее) значение какого-либо функционала при ограничениях типа неравенств иа другие функционалы, поиск оптимального распределения управляющих 8—9781 ИЗ [c.113]

В настоящей работе решен цикл новых задач выбора динамически оптимальных законов движения механизмов по различным критериям в вариационной постановке [11—19]. При решении этих задач использованы как методы, связанные с интегрированием уравнения Эйлера для функционала, соответствующего выбранному критерию оптимального движения, так и прямые вариационные методы. [c.5]

Метод решения. Искомая динамически оптимальная функция находится в результате решения вариационной изо-периметрической (в силу соотношений (1.6) и (1.7)) задачи. В настоящей работе для решения этих задач используются как методы, связанные с интегрированием уравнения Эйлера для заданного функционала, так и прямые вариационные методы. [c.19]

Устойчивость вариационных критериев. Достаточные условия минимума. Удовлетворение уравнению Эйлера является лишь необходимым условием того,, чтобы закон движения сообщал минимум исходному функционалу и выбранному критерию оптимальности [48]. Строго гово- [c.76]

На практике более интересным часто является установление условий абсолютного минимума исходного функционала или определение класса функций, в котором найденный закон движения сообщает минимум этому функционалу. Этот вопрос особенно важен в тех случаях, когда оптимальный закон движения отыскивается интегрированием уравнения Эйлера. В тех случаях, когда поставленная задача решается прямыми вариационными методами, всегда есть основания полагать, что найденный закон движения сообщает исходному критерию оптимальности абсолютный минимум в классе функций, представляемых в виде [c.77]

Таким образом, оптимальное распределение v(r) получается как решение уравнения Эйлера d/dv F — G) = 0. Если [c.51]

Вследствие закручивания следа индуктивные скорость и мощность возрастают на 2%, а общая мощность, потребляемая несущим винтом,— на 1%. Так как найденное решение не удовлетворяет точно уравнению Эйлера, оно в действительности не является оптимальным, но оно достаточно для оценки малых потерь, обусловленных закруткой следа. [c.57]

В 70-е годы методы построения сеток развивались А.Ф. Сидоровым и под его руководством уже в Институте математики и механики УрО РАН. Принцип построения сеток, близких к равномерным, был применен для построения двумерных криволинейных сеток в областях геометрически сложной формы, а также была предложена промежуточная конструкция функционала, отвечающего за близость сетки к равномерной. Предложены идеи геометрического построения трехмерных сеток и некоторые реализации их применительно к областям звездного типа, конструкция функционала для построения многомерных оптимальных сеток. Найдены точные решения уравнений Эйлера-Остроградского для функционала, используемого при [c.11]

В первые годы основное содержание курса было посвящено изложению общей теории движения тел переменной массы (уравнение Мещерского, задачи Циолковского, основные теоремы, уравнения типа Эйлера, Лагранжа и Гамильтона, частные задачи) позднее (с 1945/46 учебного года) в курс были включены вариационные задачи динамики точки переменной массы в беге времени значение оптимальных режимов полета все возрастало, и в шестидесятых годах курс получил сильный крен в эту сторону. Некоторое представление о моих взглядах на механику тел переменной массы и значении этого раздела современной механики для авиа- и ракетостроения можно получить из второй части моего курса теоретической механики. [c.215]

Следующий 4.2 посвящен точным методам решения экстремальных задач о вертикальном подъеме с помощью аппарата вариационного исчисления и решения соответствующих уравнений Эйлера. Подробно исследуются оптимальные режимы движения, обеспечивающие максимальную высоту подъема ракеты, оптимальный закон программирования тяги реактивного двигателя в однородной и неоднородной атмосфере для линейного и квадратического закона сопротивления среды. [c.106]

Задача имеет ряд особенностей. Во-первых, она нерегулярна [26] уравнения Эйлера Лагранжа не содержат управляющие воздействия и, следовательно, не позволяют формально определить их оптимальные значения в терминах фазовых и сопряженных переменных. Как выяснилось, это является внешним проявлением принципиально нового факта оптимальные программы изменения управляющих сил и моментов имеют импульсные составляющие и поэтому классические вариационные средства непосредственно не применимы для их нахождения. Вторая особенность вытекает из первой и состоит в проблеме подсчета энергетических затрат. Для этого требуется определить корректный способ умножения импульсных управляющих воздействий на разрывные реализации скоростей звеньев ММР [19, 49. [c.6]

Оптимизация динамических процессов. Необходимые условия оптимальности в форме Эйлера-Лагранжа. Ниже излагается математическая формализация задачи об оптимальном программном управлении, которая позволяет применить для ее исследования классическое вариационное исчисление. [c.36]

В задачах первого типа требуется найти законы изменения управляющих сил и моментов, обеспечивающие перемещение механической системы за заданное время из начального фазового состояния в заданное целевое множество с минимальными затратами на преодоление сил сопротивления среды. Такие задачи имеют следующие особенности. Во-первых, они нерегулярны [26], если только в текущее выражение для мощности сил сопротивления не входят в явном виде управляющие воздействия. Действительно, действующие на механическую систему управляющие силы и моменты входят в уравнения ее движения линейно. Отсюда гамильтониан зависит от управляющих сил и моментов также линейно. Поэтому уравнения Эйлера-Лагранжа не содержат в явном виде управляющие воздействия и, следовательно, не позволяют формально определить их оптимальные значения в терминах фазовых и сопряженных переменных. Во-вторых, как показывает опыт, это верный признак того (и так оно оказалось), что оптимальные программы изменения управляющих сил и моментов имеют импульсные составляющие. Поэтому классические вариационные средства непосредственно не применимы для нахождения оптимальных программ (в [12] дано обобщение принципа максимума Понтрягина на простейшие классы импульсных управлений). Задачи, исследованные во второй и третьей главах, принадлежат данному типу. [c.39]

Теперь необходимые условия оптимальности в форме уравнения Эйлера-Лагранжа (1.46), дифференциальных уравнений (1.40) и (1.42) с начальными и терминальными условиями (1.32) и условиями (1.34) на границе тела и объема жидкости, в котором оно движется, могут быть сформулированы в форме следующего утверждения. [c.56]

Применение классической вариационной процедуры Эйлера-Лагранжа дает следующий результат. Величина скорости оптимального движения шара постоянна и может быть найдена из граничного условия, т.е. = 8о/1р. Дифференцируя по времени ограничение (2.2) и принимая во внимание (2.4), получаем решение задачи 2.2 [c.58]

В разделе дается ответ на вопрос, как должен двигаться закрученный цилиндр в вязкой среде, чтобы оказаться в заданный момент на заданном удалении с минимальной работой сил торможения вращения. Если роль управления играет сила, приложенная к цилиндру в направлении его оси, то задача является нерегулярной. Действительно, попытка ее решения при помощи классических вариационных процедур не приносит успеха, так как уравнение Эйлера Лагранжа не содержит управление. Это является признаком того, что в состав оптимальной управляющей силы помимо обычной входит и импульсная составляющая. В этой ситуации задача, в принципе, может быть редуцирована по схеме, изложенной в [49], к задаче минимизации работы сил торможения вращения, в которой учитываются лишь кинематические соотношения. Оптимальное решение вспомогательной задачи уже не будет содержать импульсных составляющих и может быть найдено при помощи вариационной процедуры Эйлера-Лагранжа. Однако в разделе принят иной путь исследования задачи. Вместо [c.70]

Таким образом, далее для отыскания оптимального режима движения цилиндра можно применить классическую процедуру Эйлера Лагранжа. Именно, составить гамильтониан [c.73]

Оптимальное управление должно удовлетворять уравнению Эйлера-Лагранжа [c.75]

В этом разделе исследуются необходимые условия оптимальности в задаче 2.2. В силу отсутствия ограничений на величину управлений задача относится к числу задач классического вариационного исчисления. Но формальной попытке составить уравнения Эйлера-Лагранжа препятствует то, что мощность, а отсюда и гамильтониан не дифференцируемы в ситуации, когда или р = О, или д = О, т.е. задача принадлежит к числу задач негладкой динамической оптимизации [23]. Это заставляет предусмотреть участки оптимального управляемого процесса, на которых или р = О, или = О, и указать для них уравнения движения цилиндра. Как оказалось, достаточно ограничиться случаем интервала времени [ 1, 2], ДО которого д = О, а после р = 0. На интервале [0, х) цилиндр движется с сохранением вертикальной ориентации. Уравнения для работы и обобщенных координат цилиндра имеют вид [c.89]

Затем при помогци аналога вариационной процедуры Эйлера-Лагранжа найдены необходимые условия оптимальности в виде дифференциальных уравнений для локальных участков оптимального движения цилиндра. Эти уравнения позволили обнаружить все экстремальные решения, два из которых сделали возможным сконструировать оптимальные решения. Одно из них соответствует движению цилиндра с постоянной скоростью и с сохранением вертикальной ориентации. Другое (третье) решение соответствует движению цилиндра в течение некоторого времени А в так называемом режиме скольжения с нулевым углом атаки и с постоянной по величине скоростью центра масс цилиндра и последующему движению с постоянной скоростью и с сохранением достигнутой ориентации до момента i — А tk — заданное время перемещения). С момента — А процесс развертывается в обратном порядке (в режиме скольжения) и в конечный момент цилиндр восстанавливает вертикальную ориентацию. [c.126]

По процедуре оптимальные значения управлений обязаны удовлетворять уравнениям Эйлера Лагранжа [c.151]

Гамильтониан на оптимальной траектории сохраняет свое значение Н = Сз. Если в этом соотношении учесть уравнения Эйлера-Лагранжа, то получится еще один первый интеграл [c.151]

Если ориентироваться на техническую реализацию импульсной позиционной процедуры оптимального управления ОТМ, описанной в разделе 1 главы V, то следует на каждом шаге алгоритма выбирать численный метод из соображений требуемой точности и возможности его реализации в режиме реального времени. Вычислительный эксперимент показал, что уже приемлемую точность на нервом шаге алгоритма обеспечивает формула трапеций, а на втором — метод Эйлера решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Это естественно объясняется тем, что в оптимальном режиме переориентации манипулятор ОТМ испытывает довольно маленькие перегрузки. [c.161]

Этим же методом удалось решить задачу об определении оптимальной кривизны зубьев с круговым профилем в плоском зацеплении, обеспечивающей в данном положении механизма не только = О (т. е. удовлетво-рение но кривизне зубьев формуле Эйлера — Савари), но и условие = [c.30]

Решение задачи о минимизации среднеинтегральных ускорений ведомого звена для случая установившегося неравно-кернрго вращения ведущего звена позволяет получить минимум максимальной скорости ведомого звена при симметричной относительно середины рассматриваемого интервала скорости ведущего звена. В частности, при равномерном вращении ве- дущего звена оптимальная передаточная функция является симметричной квадратичной параболой. Это решение, полученное интегрированием дифференциального уравнения Эйлера, обеспечивает движение без жестких ударов. Однако использование точных методов не дает возможности удовлетворить дополнительным граничным условиям, которые могут оказаться важными в некоторых случаях. Оптимальный закон движе ния, полученный в 1 этой главы, имел разрыв непрерывности второй производной функции положения в граничных точках рассматриваемого интервала, что приводило бы к мягким ударам в работе механизма в этих точках. В настоящем параграфе задача об определении оптимальной передаточной функции механизмов из условия минимума среднеинтегральных ускорений ведомого звена в классе функций, обеспечивающих движение как без жестких , так и без мягких ударов, решается методом Ритца. При этом скорость ведущего звена принимается постоянной. В данной задаче для закона движения механизма используем форму инвариантов подобия. Вы- [c.29]

Случай непрерывной весовой функции. В этом случае оптимальный закон движения может быть найден в результате интегрирования уравнения Эйлера для поставленной вариационной задачи (11.33) — (11.35). Искомая функция у(х) должна сообщать безусловный минумум функционалу R [c.36]

Уравнения Эйлера выведены для условий, когда режимные ограничения отсутствуют. При наличии ограничений в форме неравенств уравнения Эйлера будет удовлетворяться лишь в тех зонах, где ограничения не сказываются (в зонах с наличием ограничений уравнения Эйлера превращается в неравенства). Кроме того, согласно вариационному исчислению, при наличии ограничений в форме неравенств, должны дополнительно соблюдаться так называемые уравнения трансверсальности. Последние уравнения отражают условия наилучшего сопряжения линий оптимального режима (экстремалей) с линиями рел<имных ограничений в зонах, где режимные ограничения в форме неравенств сказываются. Число уравнений трансверсальности равно числу указанных точек сопряжения экстремалей, поэтому в сложных задачах число уравнений трансверсальности может быть очень большим. Кроме того, заранее не известны точки сопряжения экстремалей, и приходится записывать уравнения трансверсальности для всех возможных точек сопряжения экстремалей. В силу этого для сложных задач практический учет ограничений в форме неравенств методами классического вариационного исчисления невозможен, и поэтому приходится искать иные решения. Учет ограничений в форме равенств в классическом вариационном исчислении возможен с помощью известных множителей Лагранжа. [c.36]

Для исследования оптимальных движений механических систем со свободными (или управляющими, регулируемыми) функциями имеются мощные математические методы, составляющие в наши дни основу вариационного исчисления или, более широко, функционального анализа. Создание реальной конструкции (ракеты, самолета, автопилота) тесно связано с изучением экстремальных свойств функций многих переменных и функционалов. Мудрый Леонард Эйлер писал в одной из своих работ ...так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума . Анализ содержания научных статей по динамике полета, опубликованных за последние 20—25 лет, убеждает нас в том, что методы вариационного исчисления не только позволяют выделять из бесконечного разнообразия возможных движений, определяемых дифференциальными уравнениями механики, более узкие классы движений, для которых некоторые (обычно интегральные) характеристики будут оптимальными в ряде случаев они дают возможность детального аналитического исследования, так как для некоторых экстремальных режимов уравнения движения интегрируются в конечном виде. Опорные аналитические решения для оптимальных движений можно находить во многих трудных задачах, когда системы исходных уравнений являются нелинейными. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач Зо-пускают интеграцию в квадратурах. Мы уверены в том, что семейства аналитических решений нелинейных уравнений механики в конечном виде внутренне тесно связаны с условиями оптимальности и в задачах динамики ракет и самолетов играют роль невозмущенных движений, аналогичных кеплеровым движениям в задачах небесной механики . [c.35]

Ограничения L1-L3 и R1 из подразделов 3.1, 3.4, 5.2 главы I позволяют применить к редуцированной задаче вариационную процедуру Эйлера-Лагранжа и получить необходимые условия оптимальности обтекания. Ограничение R2 о том, что на оптимальных перемегцениях манипулятора коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы его звеньев являются однородными функциями чисел Рейнольдса, позволяет извлечь из необходимых условий оптимальности следуюгций закон оптимального движения манипулятора на оптимальных перемещениях мощность сил сопротивления постоянна. [c.148]

Редукция исходной задачи. Поставленная задача имеет ряд особенностей, отличающих ее от классических задач оптимального управления. Во-первых, она является нерегулярной [26]. Действительно, гамильтониан линейно зависит от управляющих воздействий Г, и и, следовательно, уравнения Эйлера Лангранжа не являются источником для их определения. Во-вторых, как будет показано, оптимальные программные управления должны иметь двухимиульсную структуру, что приводит к скачкообразному поведению скоростей и ф в начальный и завергпающий момент времени. Это обстоятельство порождает проблему перемножения в выражении для мощности Ш разрывной скорости V на импульсную управляющую силу и разрывной угловой скорости ш на импульсный момент. Поэтому возникает потребность редуцировать задачу 1.1 к вспомогательной, имеющей структуру классической задачи динамической оптимизации. Пиже такая редукция делается по схеме, описанной в начале главы. [c.149]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...