Оператора аналитичность

Обратная задача рассеяния 137, 557 Обращение времени 185 Оператора аналитичность 166 [c.598]

Для доказательства аналитичности Uq относительно т поступаем так же, как в п. 7 1, но вместо тензора Грина оператора А (дх) применим тензор [c.342]

Другие функции Р (Р, у), которые удовлетворяют требованиям аналитичности, необходимым для представления операторов плотности, можно получить с помощью линейной комбинации экспоненциальных выражений типа (7.2) с различными значениями комплексного параметра а. Получаемые таким образом функции Я представляют смешанные когерентные состояния. В наиболее общем виде такую функцию Р можно записать следующим образом [c.88]

Пусть i n , п = О, 1,2,. . ., оо, есть полный набор ортонормированных векторов. Введем оператор а согласно уравнениям а Уд = О, аЧ п = л = 1, 2,. ... а) Указать область определения и область значений оператора а. Найти спектр оператора а, указав по отдельности точечный, непрерывный и остаточный спектры. Является ли а изометрическим оператором Имеет ли он левый или правый обратный оператор Если да, то каковы эти операторы Является ли а ограниченным оператором Является ли Он вполне непрерывным оператором Является ли он нормальным оператором Чему равны его верхний и нижний индексы Найти область аналитичности оператора резольвенты (г — )" . Для каких значений Y и для каких V уравнение Ч = V -г имеет решение Когда оно единственно б) Дать ответ па те же самые вопросы для оператора Ь =- а К [c.204]

Обратимся снова к системе дифференциальных уравнений (1.1). Предположим, что правые части аналитичны по пространственным переменным в окрестности периодического решения X (г) системы (1.1). Тогда решения систему (1.1) тоже будут аналитическими относительно начальных данных, достаточно близких к X (0) = (х (0), х (0),.. ., X (0)). Из непрерывной зависимости решений от начальных данных следует, что решения системы (1.1) с начальными условиями, близкими к х (0), определены при О i <Г, 2п. Поэтому оператор Т точечного отображения определен при начальных условиях, достаточно близких к х (0). Будем считать для простоты, что неподвижная точка М = х (0) оператора Т совпадает с началом координат, и найдем разложение оператора Т в ряд по степеням начальных данных. [c.109]

Мы интересуемся точечными отображениями, задаваемыми гамильтоновой системой дифференциальных уравнений. Пусть эта система имеет периодическое решение, совпадающее с началом координат, а функция Гамильтона аналитична по координатам и импульсам и 2л-периодична по t. Использование гамильтонова характера системы (1.1) существенно упрощает нахождение разложения оператора Т в ряд. [c.110]

Стационарная формулировка теории рассеяния основана на исследовании граничных значений резольвенты самосопряженного оператор 1 при стремлении спектрального параметра к вещественной оси. Поэтому особое значение имеет изучение поведения аналитических функций на границе области аналитичности. Доказательства приводимых здесь результатов можно найти, например, в книгах [6, 17]. [c.28]

В теории рассеяния нам понадобится информация о структуре особого множества оператор-функции на границе ее области аналитичности. С помощью теоремы 2.1, а точнее ее следствия для функций непрерывных вплоть до границы, следующий результат устанавливается вполне аналогично теореме 2. [c.66]

Следуя [38], воздействуем на обе части уравнения оператором Кощи при 1 1 < 1. Поскольку функция ф( ) аналитична в области 51< 1, то по интегральной теореме Коши получаем, что интеграл от первого слагаемого восстанавливает функцию ф( ). [c.387]

Выше приведен пример применяемого к винту оператора — бинора, не обладающего свойством аналитичности. По этой причине винтовое уравнение, содержащее бинор, не может быть получено из векторного путем замены в последнем вещественных величин комплексными, и в данном случае принцип перенесения не применим. [c.85]

Доказательство существования волн конечной (не малой) амплитуды представляет собой не очень простую задачу, потому что она нелинейна и является не локальной, а глобальной задачей. Это доказательство было дано Р. Жербе методами теории операторов в банаховом пространстве (см. его работу в сборнике [9]). Однако Жербе рассматривает лишь гладкие решения, и поэтому волны Стокса в его теорию не включаются. В цитированной работе содержится также условие, обеспечивающее гладкость (аналитичность) волновой поверхности в окрестности точки 2о, — этим условием является необращение в нуль производной комплексного потенциала [c.181]

Резюмируя, можно сказать, что аналитичность решения в бесконечно удаленной точке, имеюш,ая место для решения уравнения Лапласа, является следствием наличия целочисленного спектра у оператора Лежандра. Введение возмуш ающего оператора (для уравнения теплопроводпостп это был член и, V) изменяет этот спектр, и собственные зпачения становятся дробными (а может быть и комплексными) величинами. Классическое мультипольное разложение решения уравнепия Лапласа с введением возмущения изменяется, но физический смысл его, по существу, остается прежним. Одним из более сложных примеров применения развитых представлений является задача о неавтомодельной затопленной струе. В этом случае возмущение есть нелинейный дифференциальный оператор (у, V)v, но тем не менее получается картипа качественно сходная с описанной. Задача о неавтомодельной затопленной струе кроме указанных обладает рядом других нетривиальных парадоксальных свойств. Ей посвящена оставшаяся часть главы. [c.275]

Систему уравнений (4) можпо представить как результат действия иесамосопряженного обобщенного дифференциального оператора Лежандра [131], поэтому в окрестности особых точек ж = 1 существуют аналитические решения, а условия ограниченности и", У, ТУ", Q равносильны требованию аналитичности функций в этих точках. Условия аналитичности следуют из (4), если учесть, что г/1 (ж) задана выражением (1.2), и положить х = или ж = — 1. Выбором параметра а можно осуществить аналитическое продолжение решения из точки ж = 1 вплоть до точки х = = —1 (или наоборот). [c.309]

Квантовомеханическая теория начинается с детального и наиболее строгого из имеющихся в литературе изложения формальной теории двухчастичного потенциального рассеяния во временной и стационарной трактовках (гл. 6 и 7). Ньютон вводит меллеровские операторы, 8-матрицу, а также Т- и К-матри-цы. Для более отчетливой формулировки возникающих при этом математических проблем автор приводит два специальных математических раздела, посвященных вопросам функционального анализа. Подробно рассмотрены спектр оператора Гамильтона, представления о сильной и слабой сходимости, сходимости по норме, аналитичность резольвенты, определение и свойства вполне непрерывных (компактных) операторов. [c.6]

Понятие аналитичности операторной функции комплексного переменного южнo ввести теперь как однозначное обобщение аналогичного понятия для обычной функции комплексного переменного. Требующееся при этом свойство непрерывности всегда понимается как непрерывность по норме, т. е. непрерывность, равномерная относительно выбора векторов, на которые действуют операторы. [c.166]

Аналитичность. Из спектральной теории операторов известно, что = Е — Я) 1 является аналитической операторной функцией Е, регулярной всюду в плоскости с правым разрезом, за исключением точек, соответствующих связанным состояниям. Спрашивается, почему же тогда S не регулярна с необходимостью там, где регулярна I/ Это различное поведение и 5 на физическом листе обусловливается тем, что матричные элементы 5 вычисляются для зависящих от энергии волновых функций, которые при комплексных значениях энергии не дгогут быть нормируемыми. Именно это обстоятельство ответственно за возможное отсутствие регулярности функции S там, где функция. V i регулярна, а равно и за возможное появление кратных полюсов у S в точках, в которых функция должна иметь только простые полюсы. Более того, поскольку соответствующий матричный элемент от вычета функции У может обращаться в нуль, то функция S к) необязательно должна иметь полюсы в точках полюсов для Поэтому исследование д как операторной функции Е намного проще исследования S-матрицы. В случае можно привлечь общий и хорошо разработанный операторный формализм S-матрицу же удобнее исследовать методами, которые используются в настоящей главе. [c.328]

Таким образом, мы нашли (при условии, что все предположения относительно свойств аналитичности, определяемых гамильтонианом, оправданы), что так как сам псевдогамильтониан S a (Е) имеет правый разрез, то полюс функции в точке 0 на втором листе, ксторый путем малых изменений гамильтониана Я можно сместить на действительную ось (т. е. на верхний берег правого разреза), имеет смысл собственного значения А оператора S a, для которого А (Ео) = Ео- Вычет функции в точке Ео, следовательно. [c.459]

Это обстоятельство связано с тем фактом, что если в кинематическом винте главной частью, т. е. вектором, служит угловая скорость, то в силовом винте главной частью служит главный вектор сил с другой стороны, обобщенной силой для угловой координаты является момент. Кроме того, при умножении бинора на винт в главной части оказываются как вектор так и момент. Следовательно, бинор нельзя получить из какого-либо вещественного оператора, заменив в нем вещественные величины на комплексные, т. е. бинор не является оператором, обладающим свойством аналитичности , и винтовые формулы, полученные в результате его применения, не являются непосредственным обобщением векторных формул (см. 1 этой главы). [c.179]

Прежде всего приведем некоторые вспомогательные сведения. Вектор 1(г)) будем называть аналитическим по г) в области О, если все и ц) аналитичны в области О. Аналогично ыатрнчнкГ оператор В(т)) будем называть аналитическим, если аналитичны все Вгй(г1) (г, й=1, 2,... оо). Справедлива (см. [10]) следующая Теорема А. Сумма равномерно сходящегося ряда аналитических функций является аналитической функцией во всех внутренних точках того множества, на котором ряд равномерно сходится. [c.131]

Оператор (I+Bo)" ограничен, (I-l-Bo) (B—Во)—вполне непрерывен в /2°(0<сг<1) и при достаточно малых т) сколь угодно мал по норме. Тогда, если В(т)) и t(ri) аналитичны в окрестности точки TjsO, то, с учетом теоремы А, признака равномерной сходимости Вейерштрасса [11] и оценок (3.4.20), (3.4.21), из (3.5.2) вытекает аналитичность Р(т)) в окрестности точки т) = 0. Таким образом, требуется доказать аналитичность В(т)), 1(т)), определяемых соотношениями (3.4.10), (3.4.11). [c.132]

В этом параграфе рассхматривается задача об обращении голоморфной оператор-функции, значения которой отличаются на компактные операторы от единичного. Лля этого стандартные результаты линейной алгебры комбинируются с различными теоремами единственности для скалярных аналитических функций. Простейшая возможность состоит в использовании теоремы об отсутствии накопления нулей внутри области аналитичности функции, не равной тождественно нулю. На этом пути получается обобщение (см. далее теорему 2) сформулированной в п. 1 7 классической теоремы Фредгольма. Далее мы применяем приведенные в п. 1 2 теоремы единственности в терминах граничных значений аналитической функции. В результате и оператор-функцию удается обратить (см. далее теоремы 3 и 5) вплоть до границы ее области аналитичности. [c.63]

Ниже аналитичность (голоморфность) оператор-функций всегда можно понимать в слабом смысле. Следующее почти очевидное утверждение носит локальный характер. [c.63]

Для гиперболических систем еще одним необходимым условием является аналитичность амплитуды оператора при продолжении в пижпюю комплексную полуплоскость. Это условие автоматически выполняется, когда оператор представляется в виде свертки с производными от функции с интегрируемым ядром (типично встречающийся случай для приложений). Оставшееся условие для гиперболичности — обобщенное условие Адамара [367]. [c.274]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...