Область значений оператора всюду плотная

В этом случае существует вполне определенный ограниченный обратный оператор (а — К) , причем говорят, что а представляет резольвентное множество оператора К- Если областью значений ) оператора а — К является не все -пространство, а всюду плотное в нем подпространство, то априори оператор (а — К) определен только на этом подпространстве, хотя (для замкнутого оператора К) область определения можно немедленно расширить, включив в нее его предельные точки и потребовав, чтобы при выполнении условия [c.190]

Пусть А — линейный оператор, определенный на элементах линейного многообразия 2)(А) гильбертова пространства Ж и принимающий значения в Ж. Многообразие (А) называется областью определения оператора А, а линейное многообразие 1 (А) = АФ Ф S) А)) —областью значений оператора А. Пусть В — оператор, определенный аналогично оператору А. Если E>(A) содержится в 3) В) и ЛФ==БФ для всех Фе (Л), то оператор А называется сужением оператора В на (Л), а оператор В — расширением оператора Л на Ю В). Пусть Л и Л —два линейных оператора, определенных в Ж Л — на 2)(А), а Л — на (Л ). Операторы Л и Л называются сопряженными, если (W, ЛФ) = (Л Ч , Ф) при всех Фе (Л) и всех е А ). Говорят, что линейный оператор Л имеет всюду плотную область определения )(А), если замыкание (Л) по норме, заданной в Ж, совпадает с гильбертовым пространством Ж. Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то существует единственный линейный оператор Л, называемый максимально сопряженным с Л, такой, что любой оператор А, сопряженный с Л, совпадает с сужением оператора Л на некоторое линейное многообразие (А ), содержащееся в (Л ). Линейный оператор В называется замкнутым, если для каждой последовательности Ф из S) B), элементы Ф которой сходятся (по норме) к некоторому вектору Ф Ж, их образы 6Ф сходятся (по норме) к некоторому вектору Т е и при этом Ф З) В) и ЙФ = Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то Л — замкнутый оператор. Оператор Л с всюду плотной областью определения называется симметричным, если 3) А) содержится в S) A ) и Л совпадает с сужением оператора Л на (Л). В этом случае оператор Л есть замкнутое симметричное расширение оператора Л и называется замыканием оператора Л. Говорят, что линейный оператор Л самосопряженный, если он симметричен и, кроме того, удовлетворяет условию (Л) — 2Е> А ). Вообще говоря, у симметричного оператора может быть не одно, а несколько самосопряженных расширений. В частности, симметричный оператор Л называется существенно самосопряженным, если его замыкание самосопряженно. В этом случае Л допускает лишь одно самосопряженное расширение, а именно А . Говорят, что линейный оператор Л ограничен (в области определения), если существует конечная положительная величина М, такая, что при всех Фе (Л) выполняется неравенство ЛФ М. В противном случае оператор Л называется неограниченным. Линейный оператор Л допускает (единственное) ограниченное расширение на подпространство (Л) [замыкание (Л) по норме] в том и только в том случае, если он ограничен на S)(A). Если оператор Л имеет всюду плотную область определения и ограничен на ней, то его можно неявно [c.21]

Операторы с дискретным спектром. Рассмотрим неограниченный замкнутый оператор L в со всюду плотной областью определения D(L). Такой оператор называют оператором с дискретным спектром, или оператором со вполне непрерывной резольвентой, если резольвента Ri( i) = L — и-/) существует и является вполне непрерывным оператором хотя бы при одном г = Iq. Доказывается (см., например, [8], гл. III, 6), что тогда спектр 2(L) состоит из не более чем счетного множества собственных значений с единственной возможной предельной точкой оо (а не О, как у вполне непрерывного оператора) каждому собственному значению отвечает конечномерное корневое подпространство й(р,) = ( х) резольвента Ri(n) вполне непрерывна при p,s2(L). [c.303]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...