Множество резольвентное

В этом случае существует вполне определенный ограниченный обратный оператор (а — К) , причем говорят, что а представляет резольвентное множество оператора К- Если областью значений ) оператора а — К является не все -пространство, а всюду плотное в нем подпространство, то априори оператор (а — К) определен только на этом подпространстве, хотя (для замкнутого оператора К) область определения можно немедленно расширить, включив в нее его предельные точки и потребовав, чтобы при выполнении условия [c.190]

Множество всех точек из трех видов спектра называется спектром оператора К- Поэтому каждое комплексное число а принадлежит либо резольвентному множеству, либо спектру. Резольвентное множество является открытым, и, следовательно, спектр является замкнутым ([824], стр. 257), так что [c.191]

Действительная часть резольвентного множества оператора А состоит из тех точек, в правой и левой окрестности которых функция Р (Я.) постоянна точечный спектр состоит из тех точек, в которых Р (Я.) терпит скачки непрерывный спектр состоит из тех точек, которые не принадлежат резольвентному множеству и в которых Р (к) непрерывно (18241, стр. 352, 353). Из сказанного следует, что изолированные точки спектра самосопряженного оператора являются собственными значениями, т. е. принадлежат точечному спектру. Те точки непрерывного множества, которые являются собственными значениями, изолированы друг от друга они образуют часть точечного спектра, будучи утоплены в непрерывном спектре . Остальные точки непрерывного множества принадлежат непрерывному спектру. Конечные предельные точки собственных значений могут находиться в любой части спектра. [c.197]

Оператор резольвенты (а — КУ замкнутого оператора К является аналитической (операторной) функцией комплексной переменной а, регулярной во всех точках а в резольвентном множестве (19311, стр. 291). Понятие аналитической операторной функции было введено в гл. 6, 7, п. 2. Если К — вполне непрерывный оператор, то оператор (а — К) аналитичен всюду в комплексной а-плоскости, за исключением изолированных полюсов конечного порядка, которые все заключены в конечной области и которые не могут иметь каких-либо точек сгущения, кроме точки а = 0. [c.199]

Лемма. Ограниченный нормальный оператор Т, действующий в комплексном гильбертовом пространстве Н, однозначно определяет регулярную счетно-аддитивную самосопряженную спектральную меру Р на борелевских множествах комплексной плоскости. Мера Р обращается в нуль на резольвентном множестве р (Г) оператора Т и обладает тем свойством, что [c.146]

Определение 4. 2. Резольвентным множеством р(Л) оператора А называется множество комплексных чисел 5, длл которых А - [I (часто пишут А -5) имеет ограниченный обратный оператор (Л - у ) , который определен на всем пространстве В и ограничен, т. е. является элементом (В, В). [c.26]

Резольвентное множество всегда открыто на комплексной плоскости (хотя, возможно, и пусто) его дополнение называется спектром и обозначается сг(Л). Оператор (Л - 1 ) называется резольвентой и является голоморфной функцией I со значениями в (В, В). [c.26]

Замечание 4.7. Из (4.15) очевидно, что если вещественная ось содержит отрезок, принадлежащий резольвентному множеству А, то функция (Л) на нем постоянна. В частности, для оператора А, такого, что Аи, и) с II ыр (с >0), (Х)= О при Х<с. Таким образом, интеграл в (4.11) распространяется только на [с, оа). [c.31]

Л +А/)-1 6 (Н, Н) следовательно, А > принадлежит резольвентному множеству оператора - А. Далее, если (Л + А/ ) = / ъН, то, умножая скалярно на м в Н и используя условие. (5.8) гл. II, имеем [c.52]

Рассмотрим здесь замкнутый оператор А в банаховом пространстве fi. Резольвентное множество р(Л) есть множество (возможно пустое) комплексных чисел z, таких что оператор А - z/имеет ограниченный обратный, определенный на всем пространстве В. [c.271]

Рассмотрим банахово пространство В и замкнутые операторы А, Л (п = 1,2,...), такие что Ад принадлежит резольвентному множеству каждого из них и [c.278]

С Щ)угой стороны, если 2 точка резольвентного множества Л, то предыдущие рассуждения показывают, что проекторы Р(Л , г) нулевые. Это значит, что Г и его внутренность принадлежат рИ ) для достаточно больших п. [c.280]

Для семейств неограниченных операторов это не очевидно. В случав когда Х= У и существует 2и,принадлежащий резольвентному множеству Л(ц) V ц е Д, классическое аналитическое продолжение имеет место и для Л(ц). [c.282]

Лемма 6.2. Пусть у - простая замкнутая кривая, содержащаяся в резольвентном множестве оператора В уар(В ). Тогда для достаточно малою е кривая у содержится и в р В ). [c.291]

Пусть 5 - точка компактного множества К, содержащегося в резольвентном множестве операторов (2 и (2 т.е. [c.322]

Лемма 2.1. Пусть у - простая замкнутая кривая на плоскости переменной принадлежащая резольвентному множеству задачи (2.3), (5) - решение задачи (2.3) при фиксированном е>0. Тогда если [c.323]

Доказательство. Так как м ( ) - голоморфная функция на резольвентном множестве, то (2.8) выполняется, когда внутри 0 имеется хотя бы одна особенность резольвенты. [c.324]

Пусть Но,Н—самосопряженные операторы в гильбертовых пространствах Но и Н соответственно Ко г) = (Яо — ) К г) = (Я — г) —их резольвенты 3 Но Н—ограниченный оператор (отождествления) 0—вспомогательное гильбертово пространство. Напомним, что оператор С Н называется И-ограниченным, если Т> Н) С Т> С) и оператор СК г) ограничен при 2 из резольвентного множества р = р(Н). Лля таких С мы систематически считаем, что (по определению) [c.68]

Пусть Н —какой-либо самосопряженный оператор. Множество всех самосопряженных операторов, резольвентно сравнимых с ним, обозначим через С — С Н ). Это множество становится метрическим пространством относительно метрики [c.372]

Укажем сейчас удобные условия, позволяющие выделить однозначную ветвь ФСС. Пример 7.6 показывает, что одного условия резольвентной сравнимости для этого недостаточно, т.е. множество С Н1) является слишком широким. В то же время в 2 однозначная и непрерывная функция (Н,Но) была построена на множестве операторов Н, отличающихся от Н на ядерный. Сейчас мы установим обобщение этого результата. [c.377]

Теорема . Пусть самосопряженные операторы Но и Н резольвентно сравнимы и задано определенное значение (Я1,Яо), а а—какое-либо комплексное число с 1та ф 0. Тогда на множестве операторов Я G >С2 (Я1) существует и единственна однозначная непрерывная в Li (М (Л -h 1) ) ветвь ФСС Н, Но), причем [c.384]

Теорема 2. В пространствах р (Г) для оператора В резольвентным множеством является вся комплексная пло-ско(сть Я за моключешем точек Я= а. [c.11]

Замечание 4.6.1 В (4Л 5) символ (Ь-0)... означает предал Е(Ь -е) при S - О, и, таким образом, в точках разрьша Е, которые являются собственными значениями А, формула (4.15) дает сумму левостороннего и правостороннего пределов функции . Отметим, что интеграл в правой части (4.15) имеет смысл, так как при ст - О точки X ia содержатся в резольвентном множестве А. [c.31]

В общем случае спектральное семейство Е ) самосопряженного оператора А постоянно на участках вещественной оси, принадлежащих резольвентному множеству, имеет скачки в точках, являющихся собственными значениями, и непрерывно изменяется во всех остальных точках. Если (Л) постоянна на любом промежутке между двумя разрывами (как в примере с компактным оператором), то говорят, что спектр А дискретный. Если (Л) не имеет точек разрьша, то спектр называется непрерывным. В теории рассеяния мы увидим несколько примеров таких спектров. [c.31]

Тогда для достточно большого п принадлежит резольвентному множеству А и [c.277]

Теорема 3.1. Пусть выполнено условие (3.1) Г - простая замкнутая кривая, содержащаяся в резольвентном множестве оператора А, Тогда для достаточно большого п Г пртадлешт резоль-веншому множеству оператора А , Более того, проектор [c.279]

Теорема 4.1. Пусть 4(ц) - семейство замкнутых операторов в банаховом пространстве В, определенное в комплексной окрестности й = Цц, а пусть принадлежит р(Л (ц )) - резольвентному множеству оператора Тогда 4(й) голоморфно при й = тогда и только тогда, когда z ep A( x)) и резольвента (Л(ц) - 2 / )-1 ограниченно голоморфна для достточно малых ц - . Более того, если 4(й) голоморфна, (А ( х) - г/) ограниченно голоморфна по двум переменным й, 2 на множестве всех х, г, таких что гер(А ) а ц -йц дэстаючно мало в зависимости от г). [c.283]

Теорема 3. Пусть самосопряженные операторы Но и Н резольвентно сравнимы и задано определенное значение (Ях,Яо) а а—какое-либо комплексное число ima > 0. Тогда на множестве Со а Н ) операторов Я G Hi), удовлетворяющих дополнительному условию [c.372]

Теорема4. Пусть самосопряженные операторы Но и Н резольвентно сравнимы и задано определенное значение (ЯьЯо), а а —какое-либо комплексное число с 1т а 0. Тогда на множестве операторов Я Е 1,а(Я1) существует однозначная непрерывная в Ь (М (Л - -1)" ) ветвь ФСС (Н, Но). При заданном значении (ЯьЯо) такая ФСС единственна. [c.378]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...