Оператор сужение

Поэтому оператор сужения и. и1р из в Г) непрерывен [c.18]

В этих уравнениях L означает, конечно, сужение оператора L на Ж и Ж соответственно. [c.215]

Если применить операторов к обеим частям уравнения (11.13) и использовать (11.14), то получится тождество Вк = Вк, и это подтверждает, что (11.13) не определяет к единственным образом. Введем /г+, к и операторы Б++, В+ , В +, В—, определяемые как сужения и В из одного из двух подпространств функций, определенных для 1-п О и -пс 0 соответственно, в другое (возможно, то же) подпространство. Тогда уравнение (11.13) принимает вид [c.245]

Пространство Я (У) состоит из сужений на V функций из Н Я. У, оператор перехода к сужению действует ограниченным образом из Н (К" ) в Н (У). [c.313]

Одним из фундаментальных свойств интегральных операторов К с непрерывными ограниченными ядрами является то, что они любое множество ограниченных функций преобразуют в компактные множества непрерывных функций. Подчеркивая это обстоятельство, говорят, что оператор К с непрерывным ядром на множестве ограниченных функций Ф является компактным оператором. Из приведенного свойства оператора К следует одно чрезвычайно важное обстоятельство. Исходное множество Ф независимо от того, является ли оно подмножеством пространства С / ) всех непрерывных функций, заданных на или нет, его образ 5= Р=/(5, 5 Ф есть компактное множество непрерывных функций. Поскольку само по себе пространство непрерывных функций С, заданных на любом конечном носителе, не является компактом, то преобразование, осуществляемое интегральным оператором, приводит к сужению исходного функционального пространства. Естественно, что, обращая функции 3 из компактного подмножества В В а С), мы не можем получить решение 5, которое бы принадлежало более широкому классу функций, каковым, например, является множество С. Возникающая таким образом неопределенность зачастую интерпретируется как некорректность задач, связанных с решением операторных уравнений первого рода. Не будем усложнять изложение материала имеющимися многочисленными трактовками понятия некорректности, полагая, что приведенных выше рассуждений вполне достаточно для понимания подходов к конструированию вычислительных алгоритмов обращения, которые будут описаны ниже. Формальное изложение теории некорректных задач можно найти в работах [18, 48]. [c.41]

Пространства представлений групп Ли могут иметь весьма сложную структуру, изучение которой требует введения понятия топологической приводимости представления. Будем называть подпространство пространства представления инвариантным, если все операторы представления T g) переводят каждый элемент в элемент этого же подпространства, т. е. T g)3S i для любого g из G. Тривиальные примеры инвариантных подпространств, естественно, дают нулевое подпространство и все пространство В соответствии с этим представление T g) называется неприводимым (приводимым), если его пространство не содержит (содержит) нетривиальных подпространств. Можно показать, что в пространстве любого представления содержится не менее одного неприводимого подпространства. Если инвариантное подпространство имеет инвариантное дополнение J ", Ж, то Т (g) однозначно определяется представлениями T (g) и T"(g) в и соответственно, т. е. сужениями T g) на эти подпространства. Тогда говорят, что представление T(g) есть прямая сумма Т g) и T" g), и является вполне приводимым, если оно представимо в виде прямой суммы неприводимых. Заметим, что все унитарные представления вполне приводимы. [c.56]

Здесь сумма по а распространяется на все различные однократные (ба = 1/2) и двукратные (ба = 1) корни вещественной формы, сумма по V — на все корни подалгебры инвариантности. Операторы — это генераторы правых сдвигов на компактной подгруппе, возникающие при сужении алгебры вещественной формы на максимальную компактную, Ха генераторы левых сдвигов, связанные с параметрами из Кг. [c.79]

Пусть А — линейный оператор, определенный на элементах линейного многообразия 2)(А) гильбертова пространства Ж и принимающий значения в Ж. Многообразие (А) называется областью определения оператора А, а линейное многообразие 1 (А) = АФ Ф S) А)) —областью значений оператора А. Пусть В — оператор, определенный аналогично оператору А. Если E>(A) содержится в 3) В) и ЛФ==БФ для всех Фе (Л), то оператор А называется сужением оператора В на (Л), а оператор В — расширением оператора Л на Ю В). Пусть Л и Л —два линейных оператора, определенных в Ж Л — на 2)(А), а Л — на (Л ). Операторы Л и Л называются сопряженными, если (W, ЛФ) = (Л Ч , Ф) при всех Фе (Л) и всех е А ). Говорят, что линейный оператор Л имеет всюду плотную область определения )(А), если замыкание (Л) по норме, заданной в Ж, совпадает с гильбертовым пространством Ж. Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то существует единственный линейный оператор Л, называемый максимально сопряженным с Л, такой, что любой оператор А, сопряженный с Л, совпадает с сужением оператора Л на некоторое линейное многообразие (А ), содержащееся в (Л ). Линейный оператор В называется замкнутым, если для каждой последовательности Ф из S) B), элементы Ф которой сходятся (по норме) к некоторому вектору Ф Ж, их образы 6Ф сходятся (по норме) к некоторому вектору Т е и при этом Ф З) В) и ЙФ = Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то Л — замкнутый оператор. Оператор Л с всюду плотной областью определения называется симметричным, если 3) А) содержится в S) A ) и Л совпадает с сужением оператора Л на (Л). В этом случае оператор Л есть замкнутое симметричное расширение оператора Л и называется замыканием оператора Л. Говорят, что линейный оператор Л самосопряженный, если он симметричен и, кроме того, удовлетворяет условию (Л) — 2Е> А ). Вообще говоря, у симметричного оператора может быть не одно, а несколько самосопряженных расширений. В частности, симметричный оператор Л называется существенно самосопряженным, если его замыкание самосопряженно. В этом случае Л допускает лишь одно самосопряженное расширение, а именно А . Говорят, что линейный оператор Л ограничен (в области определения), если существует конечная положительная величина М, такая, что при всех Фе (Л) выполняется неравенство ЛФ М. В противном случае оператор Л называется неограниченным. Линейный оператор Л допускает (единственное) ограниченное расширение на подпространство (Л) [замыкание (Л) по норме] в том и только в том случае, если он ограничен на S)(A). Если оператор Л имеет всюду плотную область определения и ограничен на ней, то его можно неявно [c.21]

Заметим, что непосредственное применение метода, аналогичного тому, которым мы только что пользовались, позволяет доказать, что Р(1) — самосопряженное замыкание сужения этого оператора на 2) и, следовательно, порождает непрерывную [c.32]

Прежде всего необходимо признать, что первичным объектом теории служат поля и их средние значения. В пространстве Фока полевые величины Р 1) появляются как операторы, определение которых удовлетворяет всем требованиям современной математической строгости. Линейное многообразие 9 (определенное в приведенной нами конструкции пространства Фока) плотно в Ж, содержится в области определения операторов Р () и устойчиво относительно их действия. Рассмотрим более подробно сужения операторов Р 1) на 3 . Образуем все конечные линейные комбинации и произведения этих сужений. Пользуясь математической терминологией, можно сказать, что полученные операторы вместе с тождественным оператором I образуют алгебру, которую мы обозначим символом 91. Определим состояния как нормированные линейные функционалы (ф ) на Я. Рассматриваемая ками задача столь проста, что о введении топологии на 91 можно не заботиться. [c.37]

Пусть 9I—алгебра фон Неймана, а Р —оператор проектирования в 9I. Обозначим через 31р алгебру фон Неймана, получающуюся при сужении алгебры 9I на подпространство Р Ж), устойчивое относительно 9I. [c.168]

ЗР) = 2) PQ) гл Ф QP) Ф[Р)г к) 0), устойчиво относительно операторов Р и и, кроме того, отображается на себя операторами (Р и) и (Q Н). Сужения на многообразие операторов Р, Q я P -Q существенно самосопряженны. Наконец, отметим очевидное соотнощение [c.292]

Кроме того, эти условия достаточны для того, чтобы утверждать, что операторы Р и О самосопряженны и даже что сужения операторов Р и Q на 20 существенно самосопряженны. [c.295]

Доказательство. По теореме 2 21 — простая алгебра, а поэтому каждое представление я алгебры 21 точно и, следовательно, II я (А) II = IIЛ II для любого элемента Л е 21. По теореме 3 каждое представление КАС можно получить как сужение щ представления я алгебры 21. Таким образом, оператор (/) имеет одну и ту же форму в любом представлении, и ее можно вычислять, пользуясь любым представлением. Особенно легко это сделать в случае представления Фока мы сразу же получаем, что 1 а ([) = /1 . Тем самым следствие доказано. I [c.350]

В примере 9 мера Ша эквивалентна сужению меры Лебега на сердцевину спектра а оператора Я. Поэтому в силу леммы 10 оператор Я унитарно эквивалентен оператору умножения на [c.39]

В теории рассеяния нужно рассматривать разложение в интеграл вида (1) для абсолютно непрерывной части оператора Я. Оно строится по абсолютно непрерывной компоненте Ша меры т. Поскольку Ша имеет тип сужения меры Лебега на сердцевину спектра оператора Я, то [c.47]

Для конечномерного оператора А построение обратного оператора (1 — А) сводится к задаче линейной алгебры. Действительно, обозначая через Ад сужение А на его область значений R A), найдем, что [c.63]

Ясно, что сингулярная часть К г) действует из РВ в РВ, а регулярная - из Ц- Р) В в I - Р) В. Более того, из классических свойств ряда Лорана следует, что сингулярная часть сходится для любого к следовательно, - единственная особенность резольвенты оператора, суженного на РВ. Если РВ конечномерно, то Р- проектор на жорданову клетку, соответствующую собственному значению Далее легко видеть, что если РВ конечномерно, то собственное значение, и главная часть в (1.7) конечна, т.а. особенность - полюс. Размерность РВ называется алгебраической кратностью собственного значения Геометрическая кратность есть размерность подпространства, натянутого на собственные векторы, соответствующие она не превосходит алгебраической кратности. [c.274]

Прммер 9. Пусть Н—оператор умножения на а в п = 2(М+), 2 Ь2(М) Ь2(М+)—оператор сужения на положительную полуось. В обозначениях примера 8 положим 3 = ZФ Г . Совершенно аналогично предыдущим рассмотрениям можно опять убедиться, что = Н при 3 = 3 и = 0 при 3 — 3 . Теперь, однако, подпростран- [c.136]

При невозможности автоматизироват управление станком в зависимости от получаемых размеров изделия следует итти по пути сознательного сужения допусков на калибрах, выдаваемых операторам. Проверяемый этими калибрами допуск должен быть сужен на 30—ЗоО/о вместо обычно применяемого сужения в 15< /о по отношению к допуску, указанному в чертеже изделия. Это позволит ограничить рассеяние размеров на изделиях и [c.588]

Намного более радикальное уменьшение N без сокращения рабочего объема может быть достигнуто простым увеличением расстояния между зеркалами. Этот метод угловой селекции является самым естественным и вместе с тем весьма эффективным. К числу его преимуществ относится то, что здесь, в отличие от случая применения угловых селекторов, растут не только потери отдельных мод, но и фазовые поправки ( 2.1, 2.4). Следствием является сравнительно быстрое увеличение разностей собственных значений оператора пустого резонатора, поэтому с ростом L не только исчезают из процесса генеращш моды высокого порядка, но и уменьшаются Вызванные неоднородностью среды деформации низших мод. Помимо прочего, варьировать длину резонатора куда проще, чем вводить селектор и подгонять к неоднородностям среды ширину полосы его пропускания. Словом, неудивительно, что данный метод сужения диаграммы направленности изучен наиболее систематично. [c.221]

Здесь Л — псевдодифференциальный оператор с символом 11 I G — ограниченная область bR п> 2)yPQ — сужение на область G. Уравнение (5.1) однозначно разрешимо в указанных пространствах Соболева—Слободецкого [144. [c.122]

Для преодоления этих трудностей вводится понятие следа функции на границе, которая позволяет корректно определить сужение функции / (х) б Н (V) на границу дУ. Для этого определяется линейный оператор, который определен на непрерывных функциях / (ж) б и ставит в соответствие каждой такой функции ее значение на границе. Как отмечалось выше, такой оператор можно корректно определить. Затем этот оператор расширяется до оператора, определенного на функциях из пространств Соболева Н (У). В работе [26] показано, что наделяя пространства непрерывных функций, определенных в области и на границе, топологиями, индуцированньши соответствующими пространствами Соболева, можно это расширение сделать линейным и непрерывным. [c.88]

Трииаальное обобщение приведенной конструкции оператора (5> состоит в следующем вместо одного множества Е рассматривается пара (Е, Е), где Е — замкнутое подмножество в Е В этом случае мы требуем, чтобы отображение ф являлось-локально тривиальным )асслоением четверки (Е, Е, К, К) над 7 где К К — такие же, как и прежде, а множество Е не обязано ни содержать какое-либо из множеств К, К, ни содержаться-в них (то есть их взаимные включения устроены так, как показано на рис. 110). Кроме того, требуется, чтобы сужение проекции ф [c.174]

Теорема 13. Пусть — произвольная алгебоа фон Неймана. Тогда существует разбиение единицы на пять операторов проектирования Elin), 1(00), ii(l), ii(oo) принадлежащих Ш Ш, таких, что сужение алгебры 91 на соответствующие подпространства является алгеброй Неймана типа 1 дискретная конечная), типа 1 дискретная, собственно бесконечная), типа IIj непрерывная, конечная), типа непрерывная, собственно бесконечная) и типа III чисто бесконечная). [c.171]

В приложениях часто используются следующие результаты. Пусть 9i — алгебра фон Неймана. Если Е — оператор проектирования, принадлежащий коммутанту 9i, то 91 мы определим так же, как выше. Если Е — оператор проектирования из 9i, то элементы алгебры фон Неймана 31 мы определим как операторы, получающиеся при сужении элемента В на ЕЖ, где В пробегает множество всех элементов алгебры таких, что [c.171]

Доказательство. Напомним, что состояние ф на алгебре фон Неймана Ш нормально в том и только в том случае, если ( ф 2 () = 2( Ф > El) для любого семейства Ei i I попарно ортогональных операторов проектирования из Ш. По определению алгебры Я для каждой области Q с существует инъективный -гомоморфизм, отобралсающий Я (Q) в Э (й ), если S Q. Следовательно, сужение ф (Q) состояния <ф на Э (Q) [при всех п (й)] есть нормальное состояние на Э (Q). Итак, доказательство теоремы 1 свелось к доказательству утверждения о том, что последовательность ij) [в данном случае ф (0)] нормальных состояний на алебре фон Неймана Ш [в данном случае 8i(Q)], поточечно сходящееся на 31, сходится к некоторому нормальному состоянию ij) [в данном случае ф (Q)] на 9 . Доказательство последнего утверждения молено провести сле- [c.359]

Как мы уже отмечали, любая положительная линейная форма ф на 58(ф) допускает однозначное разложение в сумму Ф = Ф1 + Ф2. где ф1 — нормальная форма, а (фа К) = 0 для всех А е й (ф), где й (ф) — замкнутый двусторонний идеал в алгебре S ( >), образованный всеми компактными операторами на ф. Если ф сепарабельно, то идеал й( >) также сепарабелен, поскольку он является замыканием по норме алгебры всех операторов конечного ранга на ф. Абстрагируясь, мы можем поменять местами эти свойства и сказать, что состояние ф на С -алгебре Ш локально нормально, если существует счетное семейство Ш С -подалгебр алгебры Ш, такое, что а) объединение плотно в Я, б) каждая алгебра обладает сепарабельным замкнутым двусторонним идеалом и в) сужение ф состояния ф на также обладает нормой, равной 1. Рюэль [337] и Ланфорд и Рюэль [250], которые впервые ввели понятие локально нормальных состояний, доказали, что для последних справедливы следующие утверждения [c.362]

Чтобы понять, как математически описывается сужение, обусловленное движением, лучше всего рассмотреть несколько примеров. В большинстве исследованных до сих пор задач основной гамильтониан системы (индекс Т происходит от слова total — полный) может быть представлен в виде двух частей гамильтониана зеемановского взаимодействия ( 0 системы спинов I в заданном внешнем поле и гамильтониана Ь f, комму тиру юш его как с таки с оператором полной намагниченности o/ft спинов / [c.395]

Задача существенно упр ощается, если справедливо предположение о малости времени корреляции () i тс <С 1) в этом случае оказывается возможным свести оба способа описания к единому методу. С другой стороны, при изучении слабого сужения, обусловленного движением с относительно большими временами корреляции, квазиклассический подход оказывается более простым. При этом предполагается, что входящие в уравнение (Х.11) величины являются с-числами, случайными функциями времени, а не операторами, определяемыми (Х.10). [c.397]

С помощью локальных ВО (2.5) можно аналогично (1) определить оператор рассеяния S на подпространстве Е о (Л)Яо-При существовании ВО (1.1) такой локальный оператор рассеяния совпадает с сужением на Е А)7 о оператора (1). Существования ВО (2.5) достаточно для определения матрицы рассеяния 5(Л) при п.в. Л G ЛП о- По-прежнему изометричность на Eq A)Ho локальных ВО W H Но] J, А) и их полнота обеспечивают унитарность 5(Л). [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...