Гидродинамические уравнения

Добавлены две новые главы, посвященные релятивистской гидродинамике и гидродинамике сверхтекучей жидкости. Релятивистские гидродинамические уравнения (глава XV) могут найти применение в различных астрофизических вопросах, например при изучении объектов, в которых существенную роль играет излучение своеобразное поле применения этих уравнений открывается также и в совершенно другой области физики, например, в теории множественного образования частиц при столкновениях. Излагаемая в главе XVI двухскоростная гидродинамика дает макроскопическое описание движения сверхтекучей жидкости, каковой является жидкий гелий при температурах, близких к абсолютному нулю... [c.12]

Начнем вывод основных гидродинамических уравнений с вывода уравнения, выражающего собой закон сохранения вещества Б гидродинамике. [c.14]

Как уже было указано в начале 1, состояние движущейся жидкости определяется пятью величинами тремя компонентами скорости V и, например, давлением р и плотностью р. Соответственно этому полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для идеальной жидкости этими уравнениями являются уравнения Эйлера, уравнение непрерывности и уравнение, выражающее адиабатичность движения. [c.19]

Из параметров, характеризующих самую жидкость, в гидродинамические уравнения (уравнение Навье — Стокса) входит только кинематическая вязкость v = ii/p неизвестными же функциями, которые должны быть определены решением уравнений, являются при этом скорость V и отношение р/р давления р к постоянной р. Кроме того, течение жидкости зависит посредством граничных условий от формы и размеров движущегося в жидкости тела и от его скорости. Поскольку форма тела считается заданной, то его геометрические свойства определяются всего одним каким-нибудь линейным размером, который мы обозначим посредством I. Скорость же натекающего потока пусть будет и. [c.87]

Для всякой задачи о движении вязкой жидкости в заданных стационарных условиях должно, в принципе, существовать точное стационарное решение уравнений гидродинамики. Эти решения формально существуют при любых числах Рейнольдса. Но не всякое решение уравнений движения, даже если оно является точным, может реально осуществиться в природе. Осуществляющиеся в природе движения должны не только удовлетворять гидродинамическим уравнениям, но должны еще быть устойчивыми малые возмущения, раз возникнув, должны затухать со временем. Если же, напротив, неизбежно возникающие в потоке жидкости сколь угодно малые возмущения стремятся возрасти со временем, то движение неустойчиво и фактически существовать не может ). [c.137]

Точные гидродинамические уравнения Навье — Стокса и уравнение непрерывности, написанные в компонентах, принимают [c.223]

В конце 2 было указано, что полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для жидкости, в которой имеют место процессы теплопроводности и внутреннего трения, одним из этих уравнений является по-прежнему уравнение непрерывности уравнения Эйлера заменяются уравнениями Навье — Стокса. Что же касается пятого уравнения, то для идеальной жидкости им является уравнение сохранения энтропии (2,6). В вязкой жидкости это уравнение, разумеется, не имеет места, поскольку в ней происходят необратимые процессы диссипации энергии. [c.270]

Это уравнение можно было бы выбрать в качестве последнего из полной системы гидродинамических уравнений вязкой м<идкости. Удобно, однако, придать ему другой вид, преобразовав его с помощью уравнений движения. Для этого вычислим производную по времени от энергии единицы объема жидкости, исходя из уравнений движения. Имеем [c.271]

Не меняется также н уравнение Навье-Стокса (15,5). Выведем теперь остальные гидродинамические уравнения для смесей. [c.320]

Мы получили, таким образом, полную систему гидродинамических уравнений для жидких смесей. Число уравнений в этой системе на единицу больше, чем в случае чистой жидкости, соответственно тому, что имеется еще одна неизвестная функция — концентрация. Этими уравнениями являются уравнения непрерывности (58,1), уравнения Навье — Стокса, уравнение непрерывности для одной из компонент смеси (58,2) и уравнение (58,6), определяющее изменение энтропии. Надо, впрочем, отметить, что уравнения (58,2) и (58,6) определяют пока по существу только вид соответствующих гидродинамических уравнений, поскольку в них входят неопределенные величины потоки i и q. Эти урав- [c.322]

Коэффициент oLp в нелинейном члене определяется путем соответствующего разложения гидродинамических уравнений идеальной (без диссипации) жидкости и оказывается равным [c.491]

Необходимость в учете релятивистских эффектов в гидродинамике может быть связана не только с большой (сравнимой со скоростью света) скоростью макроскопического двил<ения жидкости. Гидродинамические уравнения существенно меняются и в том случае, когда эта скорость не велика, но велики скорости микроскопического движения составляющих жидкость частиц. [c.692]

Релятивистские гидродинамические уравнения [c.694]

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 695 [c.695]

Рассмотрим распространение звука в среде с релятивистским уравнением состояния (т. е. в котором давление сравнимо с плотностью внутренней энергии, включающей в себя энергию покоя). Гидродинамические уравнения звуковых волн могут быть линеаризованы при этом удобнее исходить непосредственно из записи уравнений движения в исходном виде (134,1), а не из эквивалентных им уравнений (134,8—9). Подставив выражения (133,3) компонент тензора энергии-импульса и сохранив везде лишь величины первого порядка малости по амплитуде волны, получим систему уравнений [c.697]

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 699 [c.699]

Найти решение гидродинамических уравнений, описывающее одномерную нестационарную простую волну. [c.699]

Написать гидродинамические уравнения для ультрарелятивистской среды с неопределенным числом частиц (которое само определяется условиями термодинамического равновесия). [c.699]

Установление релятивистских гидродинамических уравнений при наличии диссипативных процессов (вязкости и теплопроводности) сводится к вопросу об определении вида соответствующих дополнительных членов в тензоре энергии-импульса и в векторе плотности потока вещества. Обозначая эти члены [c.702]

Перейдем теперь к выводу полной системы гидродинамических уравнений, которые описывают движение гелия П макроскопическим (феноменологическим) образом. Согласно изложенным выше представлениям речь идет о составлении уравнений движения, описывающегося в каждой точке не одной, как в обычной гидродинамике, а двумя скоростями v и v . Оказывается, что искомая система уравнений может быть получена вполне однозначным образом, исходя из одних только требований, налагаемых принципом относительности Галилея и необходимыми законами сохранения (причем используются также свойства движения, выражаемые уравнениями (137,1) и (137,2)). [c.711]

Уравнения (139,4) и (139,6) приобретут реальный смысл, разумеется, лишь после того, как будет установлен вид пока ие определенных величин П, и л. Для этой цели надо использовать закон сохранения энергии и соображения, основанные на принципе относительности Галилея. Именно, необходимо, чтобы гидродинамические уравнения (139,3—6) автоматически приводили к выполнению закона сохранения энергии, выражающегося уравнением вида [c.713]

Уравнения (139,3—6) с определениями j и П, согласно (139,1), (139,12) представляют собой искомую полную систему гидродинамических уравнений. Эта система очень сложна прежде всего тем, что входящие в уравнения величины р , р , л, s являются функциями не только термодинамических переменных р и Т, но квадрата относительной скорости обоих движений w = Vn — Vs)2. Последний представляет собой скаляр, инвариантный относительно галилеевых преобразований системы отсчета и относительно вращения жидкости как целого эта величина специфична для сверхтекучей жидкости, отнюдь не должна обращаться в ноль в термодинамическом равновесии, и должна фигурировать в уравнении состояния жидкости наряду с р и Т. [c.716]

Они должны быть подставлены в гидродинамические уравнения, которые после этого будут справедливы с точностью до членов второго порядка по скоростям включительно (учет же в j зависимости ps и р от привел бы к членам третьего порядка малости) ). [c.717]

Введение в гидродинамические уравнения членов, учитывающих диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости, будет произведено в следующем параграфе. Но уже здесь сформулируем граничные условия к этим уравнениям. [c.717]

Наконец, скажем несколько слов о гидродинамике смесей жидкого Не" с посторонним веществом (фактически — с изотопом Не ). Помимо уравнений, выражающих сохранение массы, импульса, энтропии и потенциальности сверхтекучего движения, полная система гидродинамических уравнений смеси должна содержать еще уравнение, выражающее собой сохранение каждого из двух веществ по отдельности. Оно имеет вид [c.718]

Применим уравнения гидродинамики гелия II к распространению звука в этой жидкости. Как обычно, в звуковой волне скорости движения предполагаются малыми, а плотность, давление, энтропия — почти равными своим постоянным равновесным значениям. Тогда систему гидродинамических уравнений можно линеаризовать — в (139,12—14) пренебрегаем квадра- [c.722]

Вместо скоростей Vs и Vn будет удобнее пользоваться величинами v==jfp и W — Vn — Vs выбираем такую систему координат, в которой скорость V в данной точке профиля волны равна нулю. Гидродинамические уравнения (139,3—6) (с П, ц, р, s из [c.727]

Для типичных жидкостей уравнения Навье—Стокса применимы до тех пор, пока периоды движения велики по сравнению с молекулярными временами. Это, однако, не относится к очень вязким жидкостям. Для таких жидкостей обычные гидродинамические уравнения становятся неприменимыми уже при гораздо больших периодах движения. Существуют вязкие жидкости, которые в течение достаточно малых (но в то же время больших ito сравнению с молекулярными) промежутков времени ведут себя, как твердые тела (например, глицерин, канифоль). Аморфные твердые тела (например, стекло) можно рассматривать как предельный случай таких жидкостей с весьма большой вязкостью. [c.188]

Когда в уравнении (1.7) ов равно нулю, полученное уравнение выражает закон сохранения величины В. Так, закон сохранения массы имеет вид гидродинамического уравнения непрерывности [c.10]

Сопоставляя уравнение (1.17) с гидродинамическим уравнением баланса энтропии (1.14), находим, что плотность потока энтропии Is и производство энтропии а соответственно равны [c.12]

Выпишем систему гидродинамических уравнений для рассматриваемого движения. Будем отмечать значения величин в состоянии механического равновесия индексом нуль, а малые отклонения от этих значений в волне — штрихом. Тогда уравнение сохранения энтропии s = sq + s напишется с точностью до величин первого порядка малости в виде [c.63]

Упомянем, что гидродинамические уравнения несжимаемой вязкий жидкости для любого стационарного осесимметричного движения, в котором скорость убывает с расстоянием как /г, могут быть сведены к одному обыкновенному линейному дифференциальному уравнению второго порядка, м. Слезкин Н. А.— Уч. зап. МГУ, 1934, вып. И Прикл. мат, и мех., 1954, [c.121]

СИЛЫ, пропорциональна этой силе. Постоянная Ь называется по<9-вижностью и может быть, в принципе, вычислена с помощью гидродинамических уравнений. Так, для частиц, имеющих форму шариков (радиуса R), сила сопротивления равна 6лт)7 о (см. [c.331]

При Ki oo функции этого параметра в (127,5—6) стремятся к постоянным пределам. Это утверждение является следствием существования предельного (при Mi->oo) режима обтекания, свойства которого в существенной области течения не зависят от М (С. В. Валландер, 1947 К- Oswatits h, 1951). Под существенной подразумевается область течения между передней, наиболее интенсивной, частью головной ударной волны и поверхностью обтекаемого тела, не слишком далеко от его передней части (подчеркнем, что именно эта область, с наибольшим давлением, определяет действующие на тело силы). Если описывать течение приведенными скоростью v/u], давлением P/P 0f и плотностью р/р как функциями безразмерных координат, то картина обтекания тела заданной формы в указанной области оказывается в пределе независящей от М]. Дело в том, что, будучи выраженными через эти переменные, оказываются независящими от М] не только гидродинамические уравнения и граничные условия на поверхности обтекаемого тела, но и все условия на поверхности ударной волны. Ограничение области движения существенной частью связано с тем, что пренебрегаемые в последних условиях величины — относительного порядка i/m 51п ф, где ф —угол между Vi и поверхностью [c.660]

Наконец, скажем несколько слов о гидродинамических уравнениях при наличии существенных гравитационных полей, т. е. в общей теории относительности. Они получаются из уравнений (134,8—9) просто цутем замены обычных производных кова-риантными ) [c.698]

Полный вывод гидродинамических уравнений для смесей — см, книгу Халатикова И. М. Теория сверхтекучести. — М. Наука, 1971, гл. XIII. Эти уравнения становятся неприменимыми при очень низких температурах, когда возникает квантовое вырождение элементарных возбуждений, связанных с атомами прямее . [c.719]

Состояние движущейся нематической среды определяется распределениями в пространстве четырех величин директора п, плотности массы р, скорости v и плотности энтропии S. Соответственно этому полная система гидродинамических уравнений движения нематика состоит из четырех уравнений, определяющих производные по времени от указанных величин (У. L. Eriksen, 1960 F. М. Leslie, 1966) ). [c.208]

При выводе уравнений равновесия и уравнений движения нематиков наличие у них центра инверсии не использовалось. Поэтому те же уравнения в их общем виде справедливы и для холестериков. В то же время имеется и ряд отличий. Прежде всего, меняется выражение Fa, с которым должно вычисляться, согласно определению (36,5), молекулярное поле h. Далее, наличие линейного по производным члена в свободной энергии приводит к появлению различия между изотермическими и адиабатическими значениями модуля /Са (ср. конец 36). В сформулированной в 40, 41 системе гидродинамических уравнений основными термодинамическими переменными являются плотность и энтропия. Соответственно этому должны использоваться адиабатические значения (как функции р и S) модуля упругости. [c.225]

Наконец, существенное изменение в гидродинамических уравнениях холестериков по сравнению с уравнениями для нематиков состоит в появлении дополнительных членов в диссипативных частях уравнений — в тензоре напряжений О , тепловом потоке q и величине N в правой стороне уравнения (40,3) (F. М. Leslie, 1968) [c.225]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...