Вектор нормальных координат

Это выражение можно назвать нормальным модальным разложением реакции. В матричной форме разложение вектора состояния по собственным векторам выполняется посредством преобразования х = Mq, где М — модальная матрица, а q — вектор нормальных координат [эквивалентный а/( )]. Используя затем равенство AM — МЛ, преобразуем дифференциальное [c.342]

Раскладывая векторы нормального а и касательного т напряжений по произвольно выбранным осям координат, получим шесть составляющих а х , . Следовательно, пол- [c.118]

В нормальных координатах это колебание осуществляется, когда все 6,- = О при 1ф j изменяется только координата 6у.) В предыдущем параграфе было установлено, что квадрат частоты Xj = (iij удовлетворяет уравнению частот. Так как других гармонических колебаний вида (9), кроме тех, которые входят как слагаемые в общую формулу (8), для q не существует, то Ij — uij (У=1,. .., л) — все корни векового уравнения. Кроме того, если какой-либо корень повторяется здесь р раз, то ему соответствуют р линейно независимых амплитудных векторов Иу, определяемых из системы линейных уравнений (28) или (29) предыдущего параграфа. [c.243]

Сопоставляя равенства (10) и (11), получаем для амплитудных векторов Uj (J=l, п), с помощью которых по формуле (5) осуществляется переход к нормальным координатам, соотношения ) [c.243]

Обращаясь теперь к этому изображению системы как точки на плоскости, представим себе силу величины F, приложенную к точке в н правлении единичного вектора и с направляющими косину-, сами а, б, и пусть — единичный вектор, нормальный к вектору и и ориентированный относительно него так же, как ось у ориентирована относительно оси х. Под действием этой добавочной силы точка, предполагаемая вначале в естественном положении (т. е. в начале координат), сместится и примет новое положение равновесия, определяемое равенствами [c.362]

Используя каноническое преобразование координат q = НоУ, где Но, V — нормированная модальная матрица и вектор-функция нормальных координат, представим уравнение (19.16) в виде [c.297]

Тогда динамическое поведение исследуемой системы в (s, )-й резонансной зоне онределяется изменением s-й нормальной координаты и моногармоническим возмущающим воздействием — резонирующей v-й гармоникой вектор-функции Q(f). [c.298]

Существует, однако, класс динамических систем, для которых с заданной степенью приближения- закон распределения вероятностей вектора выходных координат х (t) можно определить по характеристикам входных случайных возмущений, не используя информации о законах распределения. К этому классу динамических систем принадлежат рассмотренные выше линейные динамические системы. В линейных системах при большом числе малых входных возмущений, действующих независимо и имеющих один порядок малости, закон распределения вероятностей выходной координаты может быть близким к нормальному, несмотря на то, что законы распределения входных случайных возмущений могут быть существенно отличными от нормальных. [c.143]

В ряде случаев более целесообразным может оказаться применение метода, основанного на предположении, что закон распределения вероятностей известен лишь для части вектора фазовых координат, а предположение о нормальном законе совместного распределения вероятностей вводится только для тех координат, которые поступают на входы нелинейностей,. а не всего фазового вектора выходных координат системы. Ряд других приближенных способов статистического анализа нелинейных динамических систем, в основе которых лежит модификация метода статистической линеаризации, можно найти в работах [ 13, 25, 65, 74, 85, 103]. [c.151]

Отклонения можно рассматривать как координаты многомерного вектора. Переход к нормальным координатам в гамильтониане представляет собой процедуру диагонализации квадратичной формы. Из математики известно, что диагонализация квадратичной формы осуществляется при помощи линейного преобразования [c.59]

Анализ движения объекта удобно производить в главных или нормальных координатах [12], вектор V которых в случае малых колебаний связан с вектором исходных обобщенных координат соотношением [c.284]

Введем единичные векторы в направлениях осей координат а и Р и единичный вектор, нормальный к срединной поверхности после деформации, а именно [c.284]

Воспользуемся кинематическими гипотезами, предложенными впервые в работе [8.1]. Согласно этим гипотезам материал каждого слоя несжимаем в поперечном направлении и компоненты вектора тангенциальных перемещений -го слоя линейны относительно нормальной координаты z [c.165]

Следовательно, периодическую матрицу PS можно рассматривать как модальную (т. е. состоящую из собственных векторов) для периодической системы, а собственные значения Л определяют основные частоты и демпфирование составляющих решения. При переходе к нормальным координатам q имеем х = = PSq. Переходный процесс х (/) = ф ( , о) х ( о) в нормальных координатах имеет вид q ( = (/о), как и для стационар- [c.346]

Определим на поверхности приведения оболочки вращения (рис. П1) криволинейную систему нормальных координат х, х ,х . Тогда радиус-вектор К произвольной точки N в пространстве оболочки выражается в виде [c.277]

Предварительно определим распределение температуры по толщине многослойного пакета. Будем считать, что неравномерность распределения температуры по поверхности оболочки незначительна н основной тепловой поток направлен вдоль нормальной координаты г. Интенсивность передачи теплоты характеризуется плотностью теплового потока q, т. е. количеством теплоты, передаваемой в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности. Связь между градиентом температуры и вектором плотности теплового потока устанавливается согласно гипотезе Фурье. Для рассматриваемого одномерного случая получим [c.118]

Уравнения слоистых оболочек, основанные на кинематической модели ломаной линии. В этом разделе приведены линеаризованные дифференциальные уравнения слоистых оболочек, устанавливаемые при использовании модели прямой линии, принимаемой не для пакета слоев в целом, а для каждого слоя в отдельности. В этом приближении тангенциальные компоненты вектора перемещений аппроксимируются непрерывными кусочно-линейными функциями нормальной координаты Z. Графики таких функций — ломаные линии, угол наклона звеньев которых меняется скачком при переходе через поверхности раздела слоев. [c.84]

Заметьте порядок индексов первый — номер оси, второй — площадки, вх, е у вз — единичные векторы осей координат 1, 2, 3 соответственно. Компоненты с одинаковыми индексами ац, 022, (Т33 — нормальные к площадке напряжения, с различными индексами аз1,... —касательные напряжения. [c.299]

Очевидно, можно ввести Zq — координату центра давления , лежащего на оси г (проекцией которого на So и является точка С). Получим, вводя единичный вектор /, нормальный к и к ros, [c.43]

Пайти собственные частоты и собственные векторы. Записать лагранжиан в нормальных координатах. [c.177]

Преобразование (2.79), приводящее к нормальным координатам, ищется следуюншм образом [10, П]. Матрицу (7 = (Ц), . .., и ) преобразования можно найти, определив все и собственных векторов Ну = = (Н у,. .., Ниу) и соответствующие собственные значения Ху в так называемой обобщеттной задаче на собственные значения [33] [c.122]

Для оценки точности и достоверности измерений неровностей поверхности в данной теории эвристически рекомендуют определенный способ использования формулы (59). Он заключается в том, что при определении числа Пд в формулу (59) подставляют среднее значение Л47 и дисперсию DR тех параметров шероховатости (Ra, Rq, опорная линия профиля на уровне и), для которых они определены методами теории случайных функций. Профилограммы шероховатости поверхности при этом интерпретируют как реализации стационарной эргодической случайной функции у (х, ш) с нормальным распределением вероятностей. Переменная X означает вектор пространственных координат, меняющихся в области Т евклидова пространства R , а переменная ш — элементарное случайное событие из некоторого вероятностного пространства. [c.74]

Нахождение комплексных корней характеристического уравнения и модальных векторов неконсервативной системы представляет собой весьма трудоемкую операцию. Линеаризованные, реконсер-вативные модели механических крутильных систем приводов машин являются обычно определенно-диссипативными системами с малым трением [81], расчет свободных колебаний которых может быть упрощен. Рассмотрим нормальные координаты 8у (у = 1, 2,. . ., п) [c.163]

Из этого следует, что статистическая линеаризация оперирует с отрезком ряда (3.4) и, следовательно, в общем случае не может дать в принципе точного решения ни при каком законе распределения аргумента. Хотя методы статистической линеаризации не получили до настоящего времени строгого теоретического обоснования , во многих практических случаях они дают по сравнению с точными методами вполне удовлетворительную точность [9, 11, 34, 54, 59]. В работах [33, 54, 59] показано, что существует широкий класс нелинейных динамических систем, для которых приближенный метод расчета, основанный на применении только статистической линеаризации, соответствует физической картине явлений. Широко распространенный метод статистической линеаризации нелинейных динамических систем основан на двух предположениях 1) анализируемая нелинейная система близка к линейной, что дает возможность заменять бызынерционные нелинейные преобразования линейными 2) известен с точностью до параметров закон распределения вероятностей процессов на входе в нелинейный элемент, что дает возможность определить линейное преобразование, эквивалентное нелинейному по статистическим характеристикам. Эти предположения эквивалентны предположению о нормальности закона распределения вероятностей всего вектора фазовых координат нелинейной системы. [c.150]

ЦМальных уравнений к системе линейных, эквивалентных исходной по первым двум моментам случайной функции, а их решение позволяет определить лишь среднее значение и дисперсию случайной вектор-функции. Уточнение полученных значений математических ожиданий и дисперсии вектор-функции можно получить на основе анализа уравнений для математического ожидания и дисперсии ошибок. В нелинейных динамических системах функция плотности распределения вероятностей вектора фазовых координат может существенным образом отличаться от нормальной, а анализ уравнений для математических ожиданий и дисперсии ошибки статистической линеаризации представляет собой, вообще говоря, трудноразрешимую самостоятельную задачу. [c.157]

Разложение величины / по степеням смещений u,j содержит гармонические, т. е. квадратичные, а также ангармонические—кубические и более высокие формы по этим векторам с соответствующими коэф. упругости. Простейшее приближение является квадратичным (см. Динамика кристаллической решётки). Оно диагонализуется в нормальных координатах, что приводит к определению 3v ветвей частот ш.(Л) и ортов, определяющих направления нормальных кол аний системы. Т. к. каждая величина к принимает N дискретных значений, то в гармонич. приближении имеем дело с 3vN независимыми гармонич. осцилляторами, описывающими в данном приближении колебания кристаллич. решётки. Энергия независимых ос-[щлляторов имеет вид [c.586]

Нормальные координаты. Сформируем матрицу Н, столбцами которой являются векторы г к форм главньк колебаний системы [c.323]

В молекулах, принадлежащих к достаточно Б лсокому классу симметрии (не ниже кубического, например молекула СС1 ,), пространственное распределение поляризуемости а представляется сферой и, очевидно, производная от а по нормальной координате также представляется сферой в случае полносимметричного колебания. Здесь электрический вектор возбуждающего света совпадает ло направлен ю с возбуждаемым диполем молекулы, и соответствующая линия в спектре комбинационного рассеяния окажется полностью поляр Зованной, что объясняется так м же образом, как и для рэлеевской линии. [c.761]

Пусть г (х1, Х2, Хз)— вектор, нормальный к рассматриваемому поверхностному элементу, т. е. направленный по норкали п. Обозначая через х координаты конца вектора г, получим [c.50]

Однородное уравнение ошибок исследовано Н. А. Паруснико-вым (1966) также для произвольных движений вблизи поверхности Земли со скоростями, значительно меньшими первой космической скорости <до скоростей порядка одной четвертой — одной третьей части первой космической). Здесь построены переходом к нормальным координатам приближенные решения и дана эффективная оценка точности этих приближений, Оказалось, что при малых скоростях движения проекции бж, Ьу вектора 6г на оси х, у азимутально свободной системы изменяются практически по гармоническому закону с периодом Шулера. [c.263]

Величины ala t) однозначно определяют вектор-потенциал в каждый момент времени. Можно показать, что величина ШаЦ) ведет себя в точности так же, как комплексная нормальная координата а 1) одномерного гармонического осциллятора в механике из содержащегося в разд. В 1.22 описания механического осциллятора видно, что величины а 1) и ЩаЦ) изменяются в точности одинаковым образом с течением времени [см. уравнение движения (В2.22-6а) и его общее решение (В2.22-7а)]. К такому же выводу можно прийти на основании уравнения (1.12-20). Далее возникает точно такая же взаимосвязь между гамильтоновскими функциями, на что непосредственно указывает сравнение уравнений (В2.22-5а) и (1.12-22). Комплексная нормальная координата а 1) полностью определяет в механике поведение гармонического осциллятора. Поэтому [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...