Уравнение первого пологих оболочек

Уравнения равновесия пологих оболочек получаются из общих уравнений (2.14), (2.15) гл. II, если в них опустить поперечные силы в первых двух уравнениях и малые нелинейные слагаемые. Соответственно системе (2.14) получаем систему [c.45]

Напомним, что разрешающие уравнения теории пологих оболочек, будь это действительная система (10.22.5) или комплексное уравнение (10.22.1), составлены в предположении, что оболочка отнесена к почти плоской системе координат, в которой коэффициенты первой квадратичной формы А- , должны удовлетворять сильному неравенству (10.21.1). В 10.21 были построены две такие системы почти декартова система координат, удобная для исследования пологих оболочек с прямоугольным планом, и почти полярная система координат, удобная для исследования пологих оболочек с круговым планом. Ими и ограничивается список почти плоских систем, применявшихся до сих пор. Поэтому можно условно говорить о двух вариантах теории поло-гих оболочек. В первом из них используется почти декартова система координат и в равенствах (10.22.4), (10.22.6), а также в расчетных формулах [c.145]

Если мембранные усилия равны нулю, то первое уравнение удовлетворяется тождественно, а второе превращается в уравнение С. Жермен — Лагранжа. Наиболее оправданы эти уравнения для пологих оболочек, метрику которых можно отождествить с плоской поэтому их часто именуют уравнениями теории пологих оболочек. Эти уравнения и ряд их обобщений использовались для решения задач динамики, устойчивости, для расчета оболочек с податливым контуром. Если вспомнить, из какой громоздкой системы уравнений они получены, то теорию пологих оболочек надо оценить как одно из наиболее изящных построений механики твердого тела. Неудивительно поэтому, что эта теория привлекла столь большое число последователей. [c.256]

Таким образом, приведенные уравнения теории пологих оболочек справедливы при относительно небольших прогибах, когда обычно проявляют себя моментные члены в уравнениях движения (1.80). При дальнейшем росте прогибов влияние моментных сил по сравнению с Мх, Му уменьшается, а предположение о пологости оболочки может перестать выполняться, от этап можно изучать на основе приведенных выше безмоментных оболочек. В некоторых случаях весьма больших деформаций пластин влияние возникающих в первые моменты изгибных сил на конечную форму оболочки мало и весь расчет оболочки можно проводить по уравнениям безмоментной теории [66, 68]. [c.29]

Введением вспомогательных переменных эта система сведена к трем уравнениям несвязанное операторное уравнение шестого порядка для прогиба и два уравнения второго порядка для вспомогательных переменных, одно из которых — связанное. Для экспоненциальной зависимости от времени построены решения, обнаруживающие пять связанных форм колебаний для замкнутой сферической оболочки они могут быть несвязанными. Первая форма — растяжение, вторая — поперечных перемещений, третья — сдвиговая по толщине, четвертая —вращательная без сдвига, пятая — вращательная со сдвигом. Исследуются частные случаи и получены уравнения для пологой оболочки. [c.209]

Затем оценивается точность решения в обсуждаемой постановке. Данная постановка задачи о напряженном состоянии оболочки с отверстием отправляется от двух допущений. Во-первых, предполагается, что геометрия области на поверхности оболочки и нагрузка на оболочку таковы, что для той области, в которой еще сказываются возмущения основного напряженного состояния, накладываемые отверстием, справедлива теория пологих оболочек. И, во-вторых, реальная (замкнутая цилиндрическая) оболочка заменяется спиральной оболочкой, которая в развертке на плоскость представляет собой внешность отверстия. Для оценки погрешности, получаемой от замены общих уравнений теории круговой цилиндрической оболочки уравнениями теории пологой оболочки, автор предлагает трактовать [c.325]

Как указал В. 3. Власов [68], стр. 315, безмоментная теория пологих оболочек описывается первым уравнением (7.94), если в-нем отбросить первый член, учитывающий влияние моментов [c.255]

Полином (7.7) удовлетворяет бигармоническому уравнению равновесия, однако при использовании этого полинома возникают разрывы в первой производной по нормали к границе между элементами. Как показали численные эксперименты, несмотря на этот недостаток, поле перемещений в виде (7.7) дает хорошие результаты при решении практических задач и в дальнейшем будем использовать это поле для построения матрицы реакций элемента в виде пологой оболочки. [c.226]

Для расчета диска на прочность используют систему нелинейных интегральных уравнений (2.77) и (2.84). Расчет на прочность проводят на каждом шаге оптимизации (см. гл. 2 6). В большинстве случаев для учета восстанавливающего эффекта сил растяжения при оптимизации упругой линии меридиана диска достаточно использовать первое квазилинейное решение уравнений пологой оболочки в больших прогибах. Ниже дан один из примеров оптимизации при изгибе. [c.210]

Далее, следует убедиться, будут ли удовлетворяться неиспользованные при выводе (6.43.32) первое и второе уравнения равновесия, а также первое и второе уравнения неразрывности деформаций. Для этого, не останавливаясь на подробностях, которые можно найти, например, в [50], примем, что предположения 1, 2, сформулированные в 10.22 для пологих оболочек, остаются правильными и для приближенного исследования напряженных состояний с большой изменяемостью, и будем считать, что выполняются равенства (10.22.9). Тогда вопрос о выполнении первых двух уравнений равновесия сведется к рассмотрению равенств (10.22.10). Они получены в результате применения формул (10.22.7). Следовательно, выражения, стоящие в правых частях равенств и содержащие только первые производные от с, получились в результате взаимного сокращения слагаемых, содержащих третьи производные от с. Это значит, что правые части (10.22.10) надо считать приближенно равными нулю. Отсюда вытекает, что расчетные формулы [c.146]

Для пологих оболочек гауссова кривизна (l// i/ a) в любой точке срединной поверхности мала по сравнению с 1// , где I — характерный размер плоской фигуры, покрываемой пологой оболочкой. Но если так, то для пологих оболочек членами, стоящими в правых частях формул (1.167), можно пренебречь на том основании, что они содержат множителем гауссову криви Я1у — малый параметр, которого нет в остальных слагаемых, получающихся при подстановке выражений (1.166) в первые два уравнения [c.70]

Обычно считают, что срединную поверхность всякой достаточно пологой оболочки в первом приближении можно аппроксимировать уравнением (1.185), т. е. рассматривать как часть тон- [c.75]

При учете лишь поперечного обжатия соответствующую систему пологих оболочек представляют уравнения (5.8), если в первом из них положить = 0. Граничные величины, отвечающие этим уравнениям, находим непосредственно из соотношений (3.4)-(3.6). [c.263]

При n — 0 уравнения (IX.Ill) совпадают с интегральными уравнениями первой основной задачи для пластины, находящейся в условиях плоского напряженного состояния или поперечного изгиба. Следующее приближение in — 1, 2) определяется из той же системы уравнений, в которых правые части выражаются через нулевое приближение. Воспользуемся полученными выше результатами для построения асимптотического решения задачи в случаях прямолинейной и дугообразной трещины или кругового отверстия в пологой оболочке двоякой кривизны. [c.295]

Прн исследовании больших прогибов пологих оболочек можно использовать два подхода. Первый из них состоит в непосредственном использовании уравнений теории оболочек. Приведем основные соотношения того упрощенного варианта теории оболочек произвольного очертания, в котором оболочка считается пологой, по крайней. мере, в пределах отдельной вмятины [1]. Координатные оси х, у направим вдоль линий кривизны срединной поверхности. Перемещения и, и точек сре- [c.185]

Уравнение (7,65) является первым уравнением нелинейной теории пологих оболочек с функцией усилий [c.56]

Примечание 28.4. Отметим, что в рассматриваемых задачах нелинейной теории пологих оболочек разрешимость основных конечномерных уравнений методов БГР в силу лемм 26.2, 27.12 имеет место с первого приближения, N = 0. Между тем по теореме М. А. Красносельского [60] их разрешимость гарантируется лишь при достаточно больших N. [c.249]

Отличие построения геометрически нелинейной теории пологих оболочек от линейной состоит в том, что, во-первых, используются уточненные (нелинейные) геометрические соотношения между составляющими перемещения и параметрами тангенциальной деформации, во-вторых, вместо третьего уравнения равновесия используется уточненное, составленное для элемента оболочки, вырезанного из деформированной оболочки. Наконец, изменяется и уравнение совместности деформаций. [c.188]

Подставляя значения внутренних сил и моментов из (9.31) в первые три уравнения равновесия (9.35), из которых с помощью последних двух уравнений исключены поперечные силы iVj, N , и при этом учитывая (9.32), (9.30), (9.22)—(9.26), получим разрешающую систему из трех дифференциальных уравнений относительно трех искомых функций и а, Р),г (а, р), w (а, р). Здесь в правых частях разрешающих уравнений, наряду с грузовыми членами Х" " (а, р), а, р), а, р), будут стоять некоторые величины, значения которых определяются на основании решения рассматриваемой задачи по классической теории. В случае пологих оболочек разрешающие уравнения новой уточненной теории анизотропных оболочек можно построить смешанным методом. Для этого необходимо ввести в рассмотрение новую искомую функцию напряжений F (а, р), через которую внутренние тангенциальные силы представляются обычным образом (см. формулы (5.7)). Мы получим обычную систему двух разрешающих уравнений относительно двух искомых функций W а, р) и (а, р). И в этом случае в правых частях уравнений, наряду с грузовыми членами, будут стоять некоторые величины, значения которых определяются на основании решения рассматриваемой задачи по классической теории. [c.142]

Первые два уравнения справедливы только для пологих, а третье для любых оболочек. [c.175]

Для анализа местной потери устойчивости могут быть использованы технические теории пологих ортотропных или многослойных цилиндрических оболочек [18,62]. В первом случае критические параметры нагрузок можно найти из характеристического уравнения, например (5.2) гл. 2, а для приближенного анализа воспользоваться аналитическими выражениями (5.3), (5.11), [c.226]

Если при этом является быстроизменяющейся функцией хотя бы одной из криволинейных координат, или оболочка является достаточно пологой, можно считать, что выражения (1.172) приближенно удовлетворяют первым двум уравнениям системы [c.72]

В первых пяти главах учебника рассматриваются общие вопросы теории упругости (теория напряжений и деформаций, основные соотношения и теоремы, постановка и лгетоды решения задач теории упругости, плоская задача в декартовых координатах, плоская задача в полярных координатах). В шестой и седьмой главах излагаются основные уравнения теории тонких пластин (гибких и жестких) и некоторые задачи изгиба и устойчивости пластин. Восьмая глава учебника посвящена рассмотрению приближенных методов решения задач прикладной теории упругости (вариационных, конечных разностей, конечных элементов). В девятой главе рассматриваются основы расчета тонких упругих оболочек, причем основное внимание уделено вопросам расчета безмоментных и пологих оболочек. В десятой главе изучаются основы теории пластичности. Здесь рассмотрена и теория расчета конструкций по предельнол1у состоянию. [c.6]

По-видимому, первой теорией такого рода, предусматривающей произвольную схему расположения слоев (с учетом связанности безмоментногр и изгибного состояний), явилась теория пологих оболочек, предложенная Ставски [261]. Она представляет собой нелинейный вариант теории, изложенной в разделе 1Г1,В и сводится к связанной системе двух нелинейных дифференциальных уравнений относительно прогиба ш и функции напряжений Р. [c.241]

Пологие оболочки. Уравнения Доннелла — Муштари — Власова. Считают, что для пологих оболочек интенсивности тангенциальных усилий qi и как и тангенциальных перемещений, составляют величины порядка X/R (и менее) от интенсивности qa и нормального перемещения соответственно. Кроме того, предполагают, что тангенциальными силами инерции можно пренебречь. Тогда первым двум уравнениям в (133) можно удовлетворить, если ввести функцию напряжений % по формулам [c.163]

Первая стадия. Прогибы оболочки w x,y,t), описываемые линейными уравнениями движения пологих цилиндрических оболочек, в процессе вьшучивания приближаются к осесимметричной форме [c.511]

Рассмотрим подъемистую оболочку с неособой срединной поверхностью ( 9.13) и неасимптотическими краями. Ее приближенный расчет, вообще говоря, можно выполнить методом расчленения ( 9.13) (исключение представляет случай, когда основное напряженное состояние имеет слишком большую изменяемость к нему мы еще вернемся). Эго равносильно принятию предположения 1, так как и в теории основного напряженного состояния 7.1), и в приближенной теории простого краевого эффекта ( 8.9) в первых двух уравнениях равновесия перерезывающие усилия Ni, N отбрасываются. В случае, когда оболочка вырождается в пластинку, предположение 1 превращается в тривиальное утверждение, так как коэффициенты при Ni, N, в первых двух уравнениях равновесия при этом обращаются в нуль. Но пологая оболочка занимает промежуточное положение между подъемистой оболочкой и пластинкой, поэтому естественно ожидать, что предположение 1, имеющее силу для крайних случаев, останется правильным и для промежуточного случая. [c.141]

Н азовем (11.29.10), (11.29.11) разрешающими уравнениями теории В. 3, Власова. Соответствующими им расчетными формулами являются равенства (11.29.8), (II.29.9). Отметим, что метод В. 3. Власова отличается от всех изложенных выше приближенных подходов тем, что в нем во втором уравнении равновесия учитывается усилие N , а во втором уравнении неразрывности деформаций учитывается величина i- Как выяснится ниже, областью рациональной применимости метода В. 3. Власова являются достаточно длинные цилиндрические оболочки (для этого случая он и был предложен его автором). Для таких оболочек, как уже говорилось, теряют силу предположения 1, 2 теории пологих оболочек ( 10.22), т. е. становятся неправильными утверждения, что можно отбрасывать N , в первых двух уравнениях равновесия, а Si, S2 — в первых двух уравнениях неразрывности [c.160]

Остановимся кратко на задачах включения для цилиндрической оболочки. Для пластин эти задачи детально обсуждены в первых трех главах книги. Что 1 касается круговых цилиндрических оболочек, то работ в этой области немного. Можно сослаться на статью Ф. Фишера [75], в которой исследован случай бес- конечно длинной круговой цилиндрической оболочки с бесконечно длинным реб-ром, нагруженным в начале координат продольной сосредоточенной силой (ана- лог задачи Е. Мелана для пластины). Решение задачи стронтси путем разреза-ния оболочки по линии присоединения ребра. Получается незамкнутая панель,, к уравнениям которой сначала применяется преобразование Фурье по продоль- Ной координате. После этого интегрируются обыкновенные дифференциальные уравнения. Константы определяются в явном виде из условий стыковки с реб- > ром для изображения. Трудность, как обычно, состоит в вычислении интегралов. обратного преобразования. Это делается комбинированием квадратурных формул. и асимптотических разложений. Показано, что решеняе по теории пологих оболочек и теории И. Снмондса [82] практически совпадает. Эта задача с учетом изгиба ребер в цитированной статье Ф. Фишера решена впервые. Характер особенностей решения в окрестности приложенной силы, однако, в работе не выведен. Но можно отметить, что как и в задаче Мелана, касательные усилия взаимодействия между ребром и оболочкой будут иметь логарифмическую особен- ность в точке приложения силы. К задаче включения можно приписать и задачу [c.322]

Важно отметить, что гипотеза Бергера до настоящего времени так и не получила ясной механической интерпретации, поэтому возможность ее использования при решении различных задач теории пластин и пологих оболочек неоднократно обсуждалась в литературе [ 3.1, 3.9, 3.21, 3.22, 3.25]. По-видимому, подход Бергера оправдывает себя в нелинейных задачах статики пластин и пологих оболочек. Во-первых, сравнение с результатами более точного анализа, основанного на уравнениях Фёппля-Кармана, указывает на незначительную погрешность гипотезы при определении изгибного напряженного состояния для пластин, прогиб которых сравним с толщиной во-вторых, имеется возможность для получения точных решений, что, несомненно, яв ляется главным преимуществом метода. [c.69]

Уравнения (б.ЗЗв) и (6.34), первые опубликованные (за исключением членов, учитывающих внешние нагрузки иг, /, / ) в 1933 г., стали известны как уравнения Доннелла представляли собой, по-видимому, впервые опубликованные как теорию пологих оболочек, так и вариант цвсвязанных уравнений оболочек. Как было доказано, они очень полезны, особенно основное уравнение (6.34), описывающее условие равновесия в поперечном направлении, к оторо -в случае цилиндрических оболочек со свободно опертыми или защемленными краями мож ет дать явное решение, если игнорировать сравнительно малозначащие условия на перемещения и и v. Уравнения (б.ЗЗв), а также выражения ( 6.31ж) необходимы при удовлетворении остальных типов условий на краях. Более подробно область применимости этих уравнений будет рассмотрена в> 7.1, рис. 7.2. [c.462]

Согласно этой схеме классич.еские теории пологих оболочек могут применяться для значений h/l и h/R, соответствующих области, заштрихованной накрест, тогда как полные классические теории должны использоваться для области значений, показанной косой штриховкой, а более точные теории, основанные на рассмотрении уравнений теории упругости и имеющие решения типа решений в рядах (7.14), должны использоваться в области, лежащей вне указанных двух первых областей. Очевидно, такое рассуждение не дает точного ответа на все случаи, но из них следуют грубые оценки для границ при-, менимости классических теорий. [c.561]

Предельный анализ пересекающихся цилиндрических оболочек был темой нескольких работ. Вероятно, первой среди них была работа Гудалла [1], который получил некоторые результаты для нижней границы в случае малого радиуса радиального патрубка. При этом Гудалл использовал уравнения пологих оболочек и приближенное выражение для поверхности текучести, содержащее два момента. Были использованы и некоторые другие упрощения, но тем не менее полученные результаты оказались в очень хорошем согласии с результатами настоящей статьи (в тех случаях, когда возможно было провести их сравнение). [c.189]

В случае пологой оболочки влиянием перерезывающей силы (2 на мембранные усилия в первом уравнении (23.1) можно прене бречь. Тогда это уравнение примет вид [c.155]

В первой главе приведены основные соотношения геометрически нелинейной теории тонких оболочек в форме В. В. Новожилова [62], соотношения нелинейной теории пологих оболочек в форме X. М. Муштари [51, 52]. а также нелинейные уравнения равновесия упругого кольца, позволяющие полностью сформулировать задачу о поведении симметрично нагруженной обо-лочечной конструкции. [c.4]

В табл. 14.4 представлены значения параметра собственных частот осесимметричных колебаний, вычисленные на основе полных уравнений теории непологих оболочек (столбец 1) и теории пологих оболочек вращения (столбец 2). На рис. 14.32 изображены формы колебаний для первых четырех тойов. [c.356]

Трудности математического и вычислительного характера были причиной того, что исследования распределения напряжений около трещин в оболочках начали развиваться лишь в последние десятилетия. Первыми были работы [321, 323], в которых рассмотрена задача о меридиальной трещине в пологой сферической оболочке. Подробный обзор исследований в этом направлении приведен в книге [160]. В появившихся в последнее время работах [127, 252, 361, 364, 366, 395, 396] продолжается изучение напряженного состояния оболочек с разрезами. В задачах об упругом равновесии оболочек с трещинами широкое применение нашел метод дистор-сий [146, 176], основанный на том, что вместо оболочки с разрезами рассматривается сплошная оболочка, находящаяся под действием дисторсий, описывающих скачки перемещений и углов поворота на линиях, соответствующих разрезам при этом получаются сингулярные интегральные уравнения для определения неизвестных скачков перемещений и углов поворота. В работах [146, 176] указан ряд исследований, в которых методом дисторсий изучались задачи о трещинах как в изотропных, так и в трансверсально-изо-тропных оболочках. До сих пор исследовались только случаи разрезов, расположенных вдоль координатных линий. [c.287]

Позднее, уже в 30-е годы, мы находим у Л. Доннела [75. 76] первую формулировку идеи пологости, выраженную в предположении о возможности пренебречь в уравнениях тангенциального напряженного состояния оболочки перерезывающими усилиями. Последнее, очевидно, эквивалентно предположению 8, определяемому соотношениями (3.26), (3.29). В работах X. М. Муштари [51—54], относящихся к 1938 г., эта идея получила широкое развитие, и с ее использованием были решены многие задачи устойчивости оболочек. В работах Л. Доннела и X. М. Муштари идея пологости использовалась лишь в линейных задачах теории оболочек. [c.60]

В дальнейшем в этой главе мы будем рассматривать оболочки, обладающие тем свойством, что если уравнения равновес записать относительно некоторой координатной системы из S-семейства, а затем внести в них упрощения, применяя допущения (3.1) и (3.8) и вытекающие из них приближенные соотношения, то решения полученной упрощенной системы уравнений дают практически достаточно точные приближения. Оболочки, удовлетворяющие этому требованию, будем называть оболочками класса TS. В этом символе фигурируют первые буквы английских слов thin и shallow, обозначающих соответственно тонкий и пологий. [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...