Функция тока течения Стокса

Возникновение вихревых течений в колеблющихся потоках формально учтено нелинейными конвективными членами в уравнениях Навье-Стокса, значение которых может быть вычислено посредством определения функции F (х, у) в уравнении (197). Как следует из выражения (198), возникновение вихревых течений в значительной степени зависит от градиента скорости внешнего потока. Градиент скорости внешнего потока может быть обусловлен стоячей волной, например резонансными колебаниями или обтеканием криволинейных поверхностей шара, цилиндра и т. д. Влияние градиента скорости на структуру колеблющегося пограничного слоя определим методом последовательных приближений. В этом случае для анализа удобно внести функции тока для пульсационных составляющих [c.102]

Наиболее важным примером осесимметричного течения является течение, вызываемое движением твердой сферы с постоянной скоростью в неограниченной неподвижной жидкости. Эта задача впервые рассматривалась Стоксом и была решена при помощи функции тока, которую он изобрел специально для этой цели. [c.140]

Доказательство. При плоском стационарном ползущем течении уравнения Навье—Стокса (11) сводятся к уравнению 2 = 0. Если У—функция тока, то последнее уравнение эквивалентно уравнению = О, т. е. V — бигармоническая функция. Отсюда следует, что V — аналитическая функция ). Действительно, во всяком круговом кольце функцию V можно разложить в ряд Фурье [c.66]

Задачи, относящиеся к тому случаю, когда течение около шара происходит в плоскостях, проходящих через ось симметрии, решались обычно, как это сделал в первый раз Стокс, при помощи функции тока у>. Следует поэтому кратко изложить этот способ. [c.754]

Функции тока Лагранжа и Стокса. Интересно отметить, что Лагранж, с именем которого связан анализ движения частиц, первым решил дифференциальное уравнение линии тока для двухмерного течения [c.39]

Следует отметить три самых полезных свойства функций тока Лагранжа и Стокса. Во-первых, они описывают в алгебраической форме геометрию течения. Во-вторых, их пространственные производные могут быть использованы для определения компонентов вектора скорости в любой точке. В-третьих, поскольку при сложении двух потоков вектор скорости результирующего потока является векторной суммой составляющих скоростей, соответствующие функции тока, являясь скалярными величинами, могут просто складываться алгебраически. [c.42]

Из работ, посвященных интегрированию нестационарных уравнений Навье — Стокса, отметим недавно опубликованные работы [8, 9], где применялась неявная схема, в которой предполагалось, что величина вихря в какой-либо точке поля зависит от значений функции тока и вихря в соседних точках в тот же момент времени. В отличие от явных схем, применяемых в более ранних работах, неявная схема позволяет достаточно точно учесть нелинейные эффекты и, что не менее важно, избавиться от искусственной неустойчивости, вносимой явной схемой. Путем расчетов удалось проследить за образованием вихревых дорожек за телами прямоугольной формы при Ке до 650. Сравнение с экспериментом показало общее сходство картин течения, однако наблюдались значительные расхождения в частоте отрыва вихрей [9]. [c.236]

При расчете вихревых течений используются различные методы. В последние годы все шире развиваются подходы, основанные на прямом численном решении уравнений Навье - Стокса. Как вариант таких подходов можно рассматривать и метод решения двумерных задач в переменных функция тока - завихренность . В случаях локализованной завихренности, особенно при больших числах Рейнольдса, когда влияние вязкости на динамику завихренности мало, с успехом используются вихревые методы, основанные на лагранжевом подходе к описанию движения жидкости. [c.320]

Уравнение импульса показывает тогда, что переменная часть давления Ар О ). При этом граница О В области О в первом приближении должна оставаться прямой. Теория малых возмуш ений, применяемая к сверхзвуковому потоку 1, показывает, что отклонение наклона О В от прямой О (е ). Для получения стационарного решения температура газа То в области О в первом приближении равна температуре стенки Т . Плотность ро тогда в первом приближении постоянна и соответствует значениям р = Ро, Т = То. Подстановка приведенных оценок в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода е О показывает, что течение в области О описывается полными уравнениями Эйлера для невязкой несжимаемой жидкости. Движение остается безвихревым, так как все струйки тока начинаются при хд +оо из состояния покоя (втекая затем в зону смешения). Для функции тока можно написать уравнение Лапласа [c.39]

Для построения течения в этой области можно опять использовать переменные и асимптотические разложения (8.4), в которых индекс 3 следует поменять на индекс 2 . Подстановка таких разложений в уравнения Навье-Стокса приведет, очевидно, в первом приближении при е О к системе уравнений Эйлера (8.12), решению для возмущения энтальпии (8.13) и к краевой задаче (8.14) для функции тока (всюду с индексами 2 вместо индексов 3 ), решение которой можно представить в виде малых возмущений относительно сдвигового потока — пристеночной части невозмущенного пограничного слоя на пластине [c.384]

Плоские течения воздуха в производственном помеш,ении при его вентиляции струями смоделированы в работах [70-71]. Здесь использовалось уравнение переноса и диффузии вихря, полученное из уравнения Павье-Стокса в приближении Буссинеска, а также уравнение Пуассона для функции тока [c.447]

При анализе течения в окрестности точки разрыва каталитических свойств поверхности нужно учитывать, что при переходе с некаталитической поверхности на идеально каталитическую, например, плотность газа вблизи поверхности тела увеличивается на свою характерную величину, т. е. линии тока смещаются к поверхности тела, что соответствует обтеканию впадины на поверхности тела. Для течений такого типа может нарушаться одно из предположений теории пограничного слоя Прандтля о малости продольных градиентов функций течения по сравнению с поперечными и становится необходимым использование полных уравнений Навье-Стокса. [c.123]

В 2 была найдена наиболее общая форма напряжений, которые могут существовать в простой жидкости, совершающей вискозиметрическое течение. В 4 было показано, что некоторые классы стационарных вискозиметрических течений оказываются динамически возможными без привлечения неконсервативных массовых сил. Для жидкостей этих классов линии тока такие же, как и для жидкости Навье —Стокса при тех же обстоятельствах, но распределение скоростей в них, определяемое функцией сдвиговых напряжений жидкости, оказывается иным. [c.228]

Ответ на вопрос о направлении подхода разделяющей линии тока к обтекаемому контуру лежит вне возможностей численного решения задач. В то же время расчеты течений вязкой жидкости создают представление о различных возможностях. Так, например, на рисунках работы [1] разделяющие линии тока подходят к контуру жесткой стенки либо по касательной, либо под малым углом. Интегрирование уравнений Навье - Стокса в [1] проведено на сетках, адаптированных к модулю градиента искомой функции, и выполнено с точностью, обеспечивающей правильность рисунков. В статье [2] по той же разностной схеме, что и в [1], получен подход разделяющих линий тока к стенке под конечным углом, отличным от нулевого. Неясность с точным значением такого угла всегда вызывает у авторов расчетов сомнения при вычерчивании иллюстраций. [c.76]

Тем не менее линии уровня аналитической функции от х, у (в данном случае это линии тока) в общем случае могут иметь точки излома или возврата. Если такая точка в рассмотренных примерах попадает в начало координат, то схема стоксова течения в случае уравнения Навье - Стокса может разрушиться. Поэтому желательно показать, что разделяющие линии тока у точных решений /, уравнения Навье -Стокса в малых окрестностях точки (О, 0) мало отличаются от разделяющих линий тока для стоксовых приближений / . Это устанавливается на основе следующего утверждения. [c.83]

Для осесимметричного течения линии тока в любой радиальной. плоскости, проходящей через ось симметрии, лежат на поверхностях тока, расположенных KOHueHTpnif-но относительно оси. Как и для плоскопараллельного течения, эти линии тока могут быть представлены в двух координатах, что также дает возможность ввести единственную функцию тока (известную как функция тока Стокса). Для описания общего трехмерного течения не-116 [c.116]

Для двухмерного ползущего движения вокруг круглого цилиндра уравнение Навье-Сгокса перехошт в уравнение Мф = 0, где ф есть функция тока. Однако, это уравнение вырождается в уравнение низшего порядка, и поэтому попытка Стокса исследовать течение вокруг цилиндра таким же способом, как течение вокруг шара, осталась безуспешной. Впоследствии Ламб, учитывая главный член инерции И оТ , решил эту задачу способом, подобным примененному Озином для случая шара. [c.78]

Возвращаясь вновь к общим результатам предыдущего параграфа, верным с точностью до членов О (а ) в формальных рядах, мы видим, что несмотря на то, что вычисления были длинными, результаты получились простые. Первый член Wi — это поле скоростей для жидкости Навье —Стокса, однозначно определяемое как решение уравнения Пуассона (VI. 3-8) i при граничном условии wi = О на dsi-. Имея Уь мы легко можем определить Уз из уравнения Пуассона (VI. 3-23) i с граничным условием Уз = О на дМ. Если, однако, нас интересует только вторичное течение, то мы можем перейти непосредственно к полю скоростей U4, функция тока которого получается как решение неоднородного бигармонического уравнения (VI. 3-33) с граничными условиями /74 = О, dnQi = О на дзФ. [c.252]

Функция у называется функцией тока Стокса. Линии тока осесимметричного течения жидкости, на кот ых у— onst, целиком лежат в плоскостях, проходящих через ось г. Однако они не позволяют дать качественную оценку скорости, как это имеет место в плоском случае, из-за наличия множителя 1/г. [c.18]

Применение центрированных компактных схем. Основной областью применения компактных схем четвертого порядка, не учитывающих направления распространения возмущений, оказались задачи о течении несжимаемой жидкости. При этом в большинстве случаев использовались уравнения Навье—Стокса в переменных вихрь -функция тока (31, 34] (см. также [1]). Основным лимитирующим фактором для этих схем являются малость сеточзюго числа Рейнольдса Яе = где и, и А — локальные значения скорости и шага сетки. Если это число не превосходит нескольких еди1шц, то самосопряженная часть разностного оператора компенсирует отрицательное воздействие его кососимметричиой части и сеточные решения не искажаются (или не сильно искажаются) схемной немонотонностью. Если оно мало или равно бесконечности (г =0),то применение центрированных алгоритмов, как будет показано ниже, может привести к неудаче. [c.192]

Заключение. В рамках модели безотрывного потенциального течения для несущей среды исследована задача об аспирации аэрозоля в щелевой пробоотборник для двух вариантов его расположения относительно набегающего ветрового потока - под углами О и л. Найденное аналитическое представление компонент скорости течения в виде функции от одной из координат и функции тока, а также добавление уравнения для функции тока вдоль траектории частицы существенно упростили интегрирование уравнений движения частиц. Методом предельных траекторий рассчитаны коэффициенты аспирации при изменении числа Стокса и отношения а скорости набегающего потока к скорости аспирации. Установлено немонотонное поведение коэффициента аспирации в области малых значений величины а, что может быть связано как с чисто инерционными эффектами, так и с влиянием отскока частиц от внешней стенки. Показано, что приближенная формула для коэффициента аспирации в щелевой пробоотборник [2] в случае а < 1 описывает только первичную аспирацию, а в случае а > 1 дает максимально возможное значение коэффициента асп1фации, учитывающее отскок частиц от внутренней стенки. Выявлено существование зависящей от значения а верхней границы размера частиц, улавливаемых пробоотборником при противоположном направлении скорости аспирации к скорости набегающего потока. [c.113]

Ламинарное круговое движение жидкости, заключенной между вращающимися круговыми цилиндрами, уже давно привлекает внимание исследователей. Течение несжимаемой жидкости, возникающее при относительном вращении двух цилиндров, известно как течение Куэтта. Так как линии тока располагаются по концентрическим окружностям и, следовательно, частицы жидкости ускоряются, инерционные члены в уравнениях Навье — Стокса не должны быть равны нулю. Эти нелинейные члены, однако, полностью компенсируются радиальным градиентом давления, и поэтому метод решения результирующих уравнений достаточно прост. В частности, если ввести цилиндрические координаты (г, ф, х), то не равной нулю компонентой скорости будет лишь тангенциальная составляющая которая будет являться функцией только радиального расстояния г. Таким образом, уравнение неразрывности удовлетворяется автоматически, а уравнения Навье — Стокса сводятся к двум oбыкнoвeI ным дифференциальным уравнениям [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...