Определение Фредгольма

Таким образом, проблема определения контактного давления (а вместе с ним и перемещений) привелась к решению интегрального уравнения (5.398), являющегося интегральным уравнением Фредгольма I рода, причем специфика задачи состоит в том, что область, где задано это уравнение (зона контакта), заранее неизвестна и подлежит определению в процессе решения задачи. [c.298]

Таким образом, равенство (9.44) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода для определения функции g t). Для решения этого уравнения воспользуемся [c.529]

Таким образом, правая часть в (2.16) есть положительная величина, а левая — отрицательная. Поэтому отношение (1—Яо)/(1+Хо) есть число отрицательное. Следовательно, А.о 1. С другой стороны, точка Х=1 соответствует задачам 1+ и П , решения которых единственны. Если же допустить, что эта точка есть полюс резольвенты, то пришли бы к неединственности краевой задачи. Другое дело точка Х = —1, соответствующая задачам 1 и И+. Если бы эта точка не была полюсом резольвенты, то интегральное уравнение задачи 11+ было бы разрешимо при произвольной правой части, а тогда и краевая задача была бы всегда разрешима, но это противоречит теореме существования. Следовательно, точка X = —1 обязательно является полюсом резольвенты. Поскольку же уравнение задачи И является союзным (а альтернативы Фредгольма выполняются), то и здесь интегральное уравнение будет разрешимо лишь при определенных краевых условиях, хотя для исходной краевой задачи они не являются необходимыми ). [c.564]

Теперь для исследования краевых задач строятся сингулярные интегральные уравнения на основе потенциалов простого и двойного слоев (исходя из матрицы (1.33)). Распространение альтернатив Фредгольма на эти уравнения происходит автоматически, поскольку сами уравнения отличаются от уравнений статики наличием регулярных слагаемых. Сложность возникает из-за того, что при определенных значениях частоты собственных колебаний решения однородных задач окажутся не единственными. [c.571]

Таким образом, равенство (19.33) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода для определения функции g t). Для решения этого уравнения воспользуемся представлением ядра (19.33) в виде степенного ряда [411] [c.158]

Таким образом, поставленная задача о восстановлении напряженно-деформированного состояния упругого тела по известному вектору перемещений на части поверхности сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода (3.9). Исходная информация, необходимая для однозначного нахождения неизвестного вектора реакций или нагрузки, в общем случае должна включать в себя данные о всех трех компонентах вектора перемещений на поверхности измерений. Но во многих случаях эффективному измерению поддаются лишь отдельные компоненты вектора перемещений. Например, при тензометрических исследованиях натурных конструкций или их моделей находят величины относительных удлинений (деформаций) в точках поверхности, что позволяет после предварительной обработки дискретных данных измерений (интерполирование, сглаживание и т.п.), путем интегрирования эпюр деформаций построить в локальной системе координат поверхности эпюры компонент вектора перемещений, касательных к поверхности измерений. В то же время нормальная к поверхности компонента вектора перемещений не может быть определена тензометрическими методами. В таких случаях определение неизвестного вектора напряжений может быть осуществлено по двум или даже одной компоненте вектора перемещений, при этом искомый вектор напряжений может восстанавливаться не однозначно. Это связано с возможностью появления нетривиальных решений для неполной системы однородных уравнений (3.9). В некоторых случаях характер нетривиальных решений можно предсказать. Выбор того или иного решения может быть осуществлен на основании некоторой дополнительной информации (например, информации о величине искомого вектора в какой-либо одной точке) или исходя- из общих представлений о напряженном состоянии исследуемой конструкции. [c.66]

Задача отыскания колебательных решений обыкновенных дифференциальных уравнений часто может быть сведена к задач отыскания решений определенного вида интегральных уравнений типа Фредгольма. Общий прием сведения дифференциальных уравнений к интегральным уравнениям типа Фредгольма основан на использовании функции Грина. [c.114]

При соблюдении этих условий вектор перемещения v(Q) определен с точностью до слагаемого перемещения твердого тела, являющегося, в соответствии с одной из теорем Фредгольма, собственным решением союзного уравнения (4.6.2). [c.193]

Контактную задачу для системы, состоящей из двух одинаковых круговых штампов радиусом а, впервые рассмотрел Коллинз (1963). В работе ) задача определения контактных давлений сведена к бесконечной системе одномерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, которая может быть решена приближенно итерационным методом в случае, когда расстояние между штампами достаточно превосходит их радиусы. Через решение упомянутой системы в квадратурах даны представления для коэффициентов Фурье в разложении плотности контактных давлений. Для величины силы, действующей на штамп, в явном виде было получено разложение по степеням параметра е = a/d с точностью до членов порядка , включительно. [c.116]

Теперь мы имеем четыре уравнения (11.96), (11,97), (11.99) и (11.100) для определения четырех неизвестных коэффициентов разложения Л(ло), А —ло), Л (л) и А —л)- Заметим, что два из них (11.99) и (11.100) представляют собой взаимосвязанные интегральные уравнения Фредгольма относительно непрерывных коэффициентов Л (л) и Л(- л)> но два других уравнения не являются интегральными. Эти четыре уравнения можно записать более компактно в матричном виде [c.459]

Фредгольма интегральное уравнение, определение 201 ---метод решения, аппроксимация ядра 205 [c.612]

К достоинствам этого подхода следует отнести уменьшение на 1 числа независимых переменных — система интегральных уравнений записывается на L, т.е. на многообразии размерности 1, что существенно упрощает исследование. В то же время необходимо учитывать, что задача определения решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода — некорректно поставленная задача математической физики, требующая для своего решения применения методов регуляризации. Описание таких методов приведено, например, в [302 ]. [c.160]

Обозначим через С(уз, р) матрицу Грина краевой задачи (7.4.66) и вместо (7.3.13) будем рассматривать равносильную ей задачу определения характеристических чисел и собственных векторов системы линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода [c.221]

Итак, конечномерная краевая задача сформулирована. Следуя методу, изложенному в параграфе 7.3, перейдем от этой задачи к равносильной ей задаче определения характеристических чисел и собственных векторов системы уравнений Фредгольма второго рода [c.271]

В отличие от наших общих формул первой главы по методу Д. И. Шермана для определения функции ф(г) приходится решать интегральное уравнение Фредгольма. Учитывая то, что для большинства практических задач полученные нами общие положения и формулы вполне достаточны, мы не стали здесь подробно останавливаться на методе Д. И. Шермана. [c.263]

Для определения собственных значений параметра К в полученных интегральных уравнениях для изгибных и крутильных колебаний применим ряды Фредгольма. [c.21]

Для приближенного определения частоты колебаний первого тона в ряду Фредгольма можно удержать один член, и тогда на основании (2.11) и (2.12) уравнение частот будет первой степени относительно %, а именно [c.23]

Жесткое дискообразное включение, расположенное в полупространстве параллельно свободной от напряжений границе этого упругого тела и перемещающееся в боковом направлении под действием горизонтальной силы, рассматривалось в [46]. Полученное интегральное уравнение Фредгольма второго рода использовалось для определения жесткости упругой системы на сдвиг. [c.119]

Интегральные уравнения Фредгольма второго рода в (5.17) служат для определения ф (ж) ( г = 1, 2,. ..) в предположении, что заданы р . Последние затем определяются из интегральных соотношений ( 5.17). Приближенные решения интегральных уравнений [c.469]

Поступая при решении этой задачи аналогично предыдущему, убедимся, что в формулах (7) функции (м) = В2 1л) = Бо(м) = О Для определения функции А ц), а следовательно, и 4,(/х), 5,(/х) получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода относи тельно вспомогательной функции Фз(i) вида (19) при п = 3 с уд военной правой частью и формулу (20), где 1 з(у, а)= 1(2/, 2а) д и, а) = р,(и, 2а). Связь между функциями Фз(t) и Ао(м) пол ностью совпадает со связью между функциями Фl(i) и Ад(/л (см. (18)). [c.151]

Особенно интересны предельные случаи р = оо (твердая неподвижная сфера) и р = 0 последний соответствует электрическому проводнику в однородном поле. Вообще условия (11.17а) и (11.176) определяют краевую задачу теории потенциала, возникшую впервые в теории магнитной поляризации (магнитной индукции) Пуассона, в теории электростатической индукции Фарадея, в теории электро- и теплопроводности и в теории фильтрации 8). Легко видеть, что обобщенный поляризационный потенциал А — определен во всем пространстве, регулярен на бесконечности и является гармонической функцией всюду, кроме 5, где дА/дп = дА /дп. Следовательно, он представляет собой [42, стр. 286] потенциал двойного слоя плотности ф(у) на 5. Далее, если имеем Х,= (р — р )/(р+рО. то Ф(у) является решением интегрального уравнения типа Фредгольма [c.317]

Это уравнение может быть сведено к следующему интегральному уравнению Фредгольма второго рода для определения функции д ) = т ( ) (см. [17]) [c.293]

Об одном общем методе решения задач для многосвязных областей. Заслуживает внимания один общий метод решения граничных задач, разработанный Д. И. Шерманом [1, 5] и С. Г. Михлиным, позволяющий составить уравнение Фредгольма для данной многосвязной области, если тем или иным путем получены общие решения соответствующей граничной задачи для областей, каждая из которых ограничена одним из простых контуров, входящих в состав границы данной многосвязной области, причем эти общие решения должны быть представлены определенным образом, например в виде, который дается решением интегральных уравнений, указанных в 79. [c.359]

Д. И. Шерману принадлежат также различные видоизменения этих уравнений, более удобные для исследований общего характера и для приложений. В частности, в работе [11] подробно исследован вопрос распределения характеристических чисел интегральных уравнений, полу-чаемых определенным видоизменением уравнений, приведенных выше, и введением некоторого параметра Я, как это делается в общей теории уравнений Фредгольма. Это исследование показывает, что для значений отвечающих первой и второй основным задачам, решения соответствующих интегральных уравнений могут быть разложены в ряды Неймана, иначе говоря, могут быть получены методом последовательных приближений. [c.368]

Доказательство леммы проведем только для уравнения (44), поскольку для уравнения (46) доказательство аналогично. Оператор В является самосопряженным неотрицательно определенным оператором в пространстве L" [О, То1. Легко видеть, что оператор, определяемый в пространстве Ц [О, То соотношением QiB i (t) К] (t), где Bi (t) определяется выражением (45), для любого в,- > О является самосопряженным (симметричным) положительно определенным оператором в L" [О, То]. Следовательно, однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (44) для любого 0, > О, имеет только тривиальное решение. Из этого факта и теорем Фредгольма [4] следует, что уравнение (44) для любого 0 > О однозначно разрешимо для любой правой части, принадлежащей пространству L" tO, То]. Из положительной определенности оператора, порождаемого левой частью уравнения (44), следует непрерывность его обратного оператора для любого 0 > 0. Приведенное рассуждение, а также сделанное выше замечание и доказывают лемму. [c.101]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Приведенные соотношения обычно используют для определения вызванных скоростей на контуре меридионального сечения твердого тела при его безотрывном обтекаиии. Выражение (V.3.13) есть линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода, а (V.3.14) — уравнение Фредгольма второго рода относительно вихревой интенсивности. [c.207]

Определение плотности геплового потока на границе тела ( или коэффициента теплообмена ) можно свести к некорректной задаче решения интегрального уравнения Фредгольма I рода. В обратных задачах обоих типов прямые методы веприменимы, в связи с чем использован метод пробных решений, дающий в некоторых случаях приемлемые по точности результаты [ 1J. Степень "устойчивости" метода исследована в процессе численного анализа вяИяния ошибок эксперимента на точность решения обратных задач. [c.342]

Обьиный метод решения сингулярного интегрального уравнения состоит в регуляризации по Карлеману—Векуа и в последующем численном решении полученного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Такой подход очень трудоемок. В последнее время при решении задач, представляющих интерес для приложений, наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем алгебраических уравнений. Среди этих методов можно отметить метод Мультоппа—Каландия [5], основанный на определенных формулах для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярного интеграла. [c.243]

Стандартный метод решения сингулярных интегральных уравнений состоит в их регуляризации и последующем численном решении полученных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Однако такой подход очень трудоемок. В последнее время в численных расчетах наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем алгебраических уравнений. Среди них следует отметить метод механических квадратур, основа1шый на определенных формулах, для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярных интегралов [30, 65, 71, 77, 94, 180, 228, 299, 314, 315, 341, 360, 4191. [c.52]

Для определения собственных функций Uk r) и характеристических значений Af однородного интегрального уравнения Фредгольма (7.47) с вещественным, симметричным и положительно определённым ядром (7.48) использовался метод Келлога (см. [103]). Последовательные приближения находились по формуле [c.380]

Из различных методов решения интегральных уравнений метод Фредгольма — замена интегрального уравнения алгебраическим уравнением — кажется самым простым, а метод итерации кажется наиболее точным. Метод Фредгольма основывается на том, что определенный интеграл в интегральном уравнении приближается к конечной сумме. Вследствие простоты этого метода, он будет подробно разобран и проиллюстрирован далее. Большая точность метода итерации объясняется сохранением интегралов в каждом повторении и выражением их значений с по .ющью точной формулы квадратуры. Оценка погрешности соответствующего интегрального уравнения получается после каждого последовательного приближения, следовательно, повторения могут быть закончены, как только будет замечено, что погрешность начала расти. Последняя предосторожность особенно необходима для интегральных уравнений первого рода, когда точного решения не существует. В этом случае, хотя полный квадрат погрешности продолжает уменьшаться с увеличением числа повторений, могут наблюдаться весьма большие погрешности в отдельных точках. [c.118]

Теоремы единственности играют особо важную роль для математического изучения задач физики и механики без исследования единственности (или неединственности) решения математической задачи нельзя утверждать, что полученное решение действительно описывает исследуемое физическое состояние. Кроме того, мы увидим, что интересующие нас задачи классической теории упругости, микрополярной упругости и термоупругости приводят к определенным системам линейных сингулярных интегральных уравнений и для этих систем остается в силе классическая теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Благодаря этому, из теорем единственности мы получим также теоремы существования. [c.120]

Fredholm [1]. Идея Фредгольма, говоря схематично, заключается в следующем. Если вместо рассматриваемого тела взять полупространство и написать известные формулы, решающие соответствующую граничную задачу в явном виде, при помощи определенных интегралов, распространенных на плоскость — границу полупространства, то эти формулы, примененные к данному телу (при этом интегралы, распространенные па плоскость, заменяются интеграламп, распространенными па поверхность данного тела), уже не решая, разумеется, граничной задачи в явном виде, приводят к интегральным уравнениям, которые при наличии некоторых условий оказываются уравнениями Фредгольма. [c.369]

Д. и, Шерман предложил метод эффективного решения этих задач для двусвязных областей определенного вида, заключающийся в следующем ) на одном из контуров, ограничивающих область сечения, вводится вспомогательная функция, для определения которой строится интегральное уравнение типа Фредгольма, которое затем решается при помощи разложения вспомогательной функции в ряд по степеням параметра, характеризующего частично размеры сечения, главным образом сравнительную близость граничных контуров для решения задачи с высокой степенью точности оказалось достаточным найти незначительное число приближений. В работах Д. И. Шермана [40], [41], [44—47], Д. И. Шермана и ]VI. 3. Народецкого [1] этим методом решены задачи кручения и изгиба брусьев, поперечные сечения которых являются двусвязными областями, ограниченными окружностью и эллипсом, окружностью и квадратом с закругленными вершинами, неконфокальными эллипсами и т. п. В работе Р. Д. Степанова и Д. И. Шермана [1] изучено кручение круглого бруса, ослабленного двумя продольными цилиндрическими круговыми полостями. В работе Д. И. Шермана [43] изучены бесконечные системы линейных уравнений, построенные для решения задач, рассмотренных в упомянутых выше работах (Шерман [40], Степанов и Шерман [1]). [c.629]

Уравнение (7) является интегроднфференциальным уравнением. В дальнейшем мы преобразуем его в интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Уравнение (8) будет использовано (после предварительного определения функции ф1(0) для вычисления комплексного потенциала г )1( ). Используя соотношение [c.387]

По праЁой части й, считаемой временно заданной функцией от t, находится методом функциональных уравнений Мусхелишвили (см. выше п. 3.3) решение задачи (5.39) в замкнутом виде, и найденные функции Фо, "фо вносятся в условие (5.36). Это дает для определения со ( ) соотношение в виде интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Затем используется разложение со ( ) в комплексный ряд Фурье, и интегральное уравнение сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...