Ряды - Фредгольма

Таким образом, равенство (19.33) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода для определения функции g t). Для решения этого уравнения воспользуемся представлением ядра (19.33) в виде степенного ряда [411] [c.158]

Соотношение (4.8) соответствует решению методом последовательных приближений интегрального уравнения Фредгольма второго ряда, и в данном случае при линейности оператора возможен прямой метод его решения, свободный от указанных выше вычислительных трудностей решений некорректных задач. [c.148]

Ряды Фредгольма. Функции D(x,s, >.) и D(X) разлагаются в ряды по степеням параметра X [c.259]

Для достаточно малых по модулю значений X резольвента уравнения Фредгольма определяется рядом Неймана [c.259]

Решение системы (1) — (12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или (при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. В этих системах остаются две независимые переменные (время и высота в насадке), т. е. имеются двойные интегралы, причем и по Ро и по 2 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные (интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [c.338]

Известен достаточно общий метод, позволяющий численно, а в ряде случаев и аналитически исследовать задачи дифракции на решетке из элементов произвольного гладкого профиля. Это метод интегральных уравнений, с помощью которого можно свести задачу к решению одномерного уравнения Фредгольма второго рода с непрерывным ядром [25, 37, 47, 235]. В работе 147] он использовался для получения длинноволнового приближения решения задачи, а в [25, 235] — для численных результатов. [c.64]

Система уравнений (6.33) после ряда преобразований [131] сводится к системе двух совместных интегральных уравнений Фредгольма И рода, которая может быть решена численно. Аналогично решается задача для нормальных напряжений, нечетных по X]. [c.137]

Для определения собственных значений параметра К в полученных интегральных уравнениях для изгибных и крутильных колебаний применим ряды Фредгольма. [c.21]

На основании теории Фредгольма функции >(Я) параметра к можно разложить в ряд по степеням Я, [c.22]

Для приближенного определения частоты колебаний первого тона в ряду Фредгольма можно удержать один член, и тогда на основании (2.11) и (2.12) уравнение частот будет первой степени относительно %, а именно [c.23]

Плоские контактные задачи теории упругости при учете износа шероховатых поверхностей взаимодействующих тел, а также ряд смешанных задач для многослойных вязкоупругих оснований, когда относительная толщина и относительная жесткость верхнего слоя достаточно малы, сводятся к исследованию интегрального уравнения второго рода, содержащего оператор Фредгольма по координате и оператор Вольтерра по времени [3, 8, 9, 13-15, 19, 20, 22-25,28, 35], вида [c.131]

Здесь функция p ix) удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма второго рода, решение которого строится в форме ряда по собственным функциям оператора Аср структура функции A(i) определяется видом ядер (j = 1,2) связь между постоянными Р , и 0 , [c.132]

При численной реализации формул (4), (5) вместо суммирования рядов Неймана предлагается численно решать интегральные уравнения Фредгольма второго рода, аналитические решения которых представляются этими рядами, по методу механических квадратур с использованием квадратурной формулы Гаусса. [c.185]

В работе [37], приведенной в [36], исследуется аналогичная задача об эксцентричном вдавливании круглого штампа, к которому приложены заданные главный вектор и главный момент. Задача сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма II рода с неизвестной сингулярностью. Решение строится в рядах по функциям Бесселя. Приведены численные результаты, анализируется влияние перечисленных выше факторов, а также эксцентриситета нагрузки на изменение осадок и порового давления. [c.569]

Рассмотрим теперь интегральное уравнение Фредгольма (3.17) и будем искать его решение в виде ряда Фурье по ортонормированной на -отрезке [—1, 1] системе полиномов Лежандра, состав-ляюш их базис в 1) [c.460]

Таким образом, решение интегрального уравнения контактной задачи для полосового штампа, выходящего на ребро клина, сводится для задачи а к последовательному решению двух интегральных уравнений Фредгольма второго рода (решение одного их них дается рядом Неймана в (1.59)), а для задач б, в — к одному такому уравнению вида (21). [c.168]

Для расчета вместо суммирования рядов Неймана следует решать соответствующие интегральные уравнения Фредгольма второго рода методом механических квадратур. Например, для задачи а [c.182]

Пусть X отлично от О и не является собственным значением оператора Л. Тогда, как это следует из теории уравнений Фредгольма, уравнение (30.4) имеет единственное решение ф (см., например, [9], гл. IX). Его можно искать в виде ряда ф = X подставляя этот ряд в (30.4), легко найдем й, и придем к формуле [c.291]

Д. И. Шерману принадлежат также различные видоизменения этих уравнений, более удобные для исследований общего характера и для приложений. В частности, в работе [11] подробно исследован вопрос распределения характеристических чисел интегральных уравнений, полу-чаемых определенным видоизменением уравнений, приведенных выше, и введением некоторого параметра Я, как это делается в общей теории уравнений Фредгольма. Это исследование показывает, что для значений отвечающих первой и второй основным задачам, решения соответствующих интегральных уравнений могут быть разложены в ряды Неймана, иначе говоря, могут быть получены методом последовательных приближений. [c.368]

Упомянутое выше интегральное уравнение Фредгольма решается во всех рассмотренных конкретных случаях посредством сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения со t) в комплексный ряд Фурье. Исследование получающейся при этом системы, составляющее, как правило, весьма существенную часть решения задачи, показывает, что эта система во всех рассмотренных случаях регулярна при любых относительных размерах области. В случае, когда границы Ь и Ь не очень близки одна к другой, система оказывается вполне регулярной и допускает применение метода последовательных приближений. [c.578]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма (1.12). Будем искать его решение в форме ряда Фурье по ортонормиро-ванной системе полиномов Лежандра [c.129]

Рассмотренные выше системы интегральных уравнений, описывающие процесс радиационного теплообмена, отличаются существенной сложностью. Заметное упрощение может быть достигнуто при выполнении ряда условий относительно радиационных характеристик среды и граничной поверхности. [допущение идеально диффузного отражения и излучения стенок, изотропного рассеяния в ереде. неселективного (серого) излучения среды и стенок, постоянства радиационных свойств среды]. В математическом отношении эти уравнения теплообмена излучением сводятся к линейным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, тео рия и методы решения которых изложены в [Л. 110— 118]. Они дают однозначное решение при задании в каждой точке объема и граничной поверхности Т1ЛОТНОСТИ какого-либо вида излучения. [c.209]

Второй метод решения интегрального уравнения Фредгольма получается вследствие применения теоремы Гильберта — Шмидта, которая гласит о том, что всякая функция, представленная истокообразно при помощи ядра т (s) а (x s), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по фундаментальным функциям этого ядра. Эти функции есть кривые нормальных прогибов и в нашем случае данная теорема означает возможность разложения кривой прогибов и эксцентриситетов в ряд по формам колебаний рассматриваемого ротора. [c.187]

Для линейных моделей оператора В используются интегральные уравнения Фредгольма, Вольтерра, дифференциальные уравнения, разложения в ряды, а для нелинейных — операторы Уры-сона, Хаммерщтейна, Лихтенштейна — Ляпунова. [c.88]

Независимым методом на основании обгцей теории линейных интегральных уравнений типа Фредгольма с симметричным ядром доказывается теорема су-гцествования и единственности в частном случае серого ночного излучения, к которому приводится ряд классических задач теории переноса. [c.777]

Впервые этот метод применил Г. В. Колосов Он показал, что интеграл бигармопического уравнения для функции напряжений, а также граничные условия в напряжениях или смещениях могут быть выражены через функции комплексного переменного. Ряд важных результатов получил Н. И. Мусхелишвили С помощью функций комплексного переменного можно легко получить решение плоской задачи теории упругости для внутренности круга. Если же задана некоторая односвязная область, отличная от круга, то в этом случае надо воспользоваться конформным отображением области на круг. Кроме того, использование интеграла тина Коши позволяет свести плоскую задачу теории упругости к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для решения которого существуют хорошо разработанные приближенные методы. В некоторых случаях (например, для [c.252]

Итак, задача сведена к решению интегрального уравнения (5.16) относительно неизвестной функции А (и). Это уравнение является классическим уравнением Фредгольма второго рода с симметризуемым ядром. Можио показать, что соответствуюш ий ряд Лиувилля — Неймана сходится для любой данной положительной величины б (Черчиньяни [7]). [c.188]

В. Б. Поручиковым [26] для случая заданных вертикальных перемещений с помощью метода Каньяра получено интегральное уравнение, для которого используется метод Винера-Хопфа. Для аналогичной задачи в работах В. Л. Лобысева и Ю. С. Яковлева [24], В. Л. Лобысева, В. И. Сайги-ной и Ю. С. Яковлева [22] решение интегрального уравнения Фредгольма в пространстве преобразований Лапласа разыскивается в виде суммы статической части и ряда по полиномам Лежандра Р ( /1 ). Найдено приближенное выражение для реакции среды. Рассмотрен также вариант задания касательных перемещений. [c.372]

П. 1VI. Бородачевым и Ю. А. Мамтеевым [7] использован способ сведения парных уравнений к уравнению II рода. Оно решается численно, а затем проводится вычисление оригиналов. Приведен пример расчетов для случая приложения вращательного момента к абсолютно жесткому цилиндру, сцепленному с полупространством. В работе Ю. Д. Колыби-хина [20] аналогичная задача обобщена на случай ортотропного неоднородного полупространства с упругими постоянными, являющимися степенными функциями радиуса г и координаты 2 . Соответствующее уравнение Фредгольма решается с помощью разложения искомых функций в ряды по многочленам Якоби. [c.373]

Эта задача эквивалентна уравнению Фредгольма первого рода Лф = . Для его решения снова можно использовать ряды по корневым функциям ф, оператора Л (при любом а > 0). Следует только учесть, что при е//,(5) решение ф лежит в Я5 1(5) и удовлетворяет оценке ЦфИя-](так как Л —оператор первого порядка), так что ряд Фурье со скобками функции ф [c.357]

Вопросу о приведении основных задач статики упругого тела к интегральным уравнениям посвящена большая литература. Существенные результаты получены Д. И. Шерманом (Пространственная задача теории упругости с заданными смещениями на границе, Прикл. матем. и мех., 7, стр. 341— 360, 1943) и в ряде публикаций И. С. Аржаных, собранных в монографии Интегральные уравнения основных задач теории поля и теории упругости (Ташкент, Издательство Акад. наук Узбекской ССР, 1954), в которой читатель найдёт также указания иа фундаментальные работы Фредгольма, Вейля и Лихтенштейна. [c.70]

Д. и, Шерман предложил метод эффективного решения этих задач для двусвязных областей определенного вида, заключающийся в следующем ) на одном из контуров, ограничивающих область сечения, вводится вспомогательная функция, для определения которой строится интегральное уравнение типа Фредгольма, которое затем решается при помощи разложения вспомогательной функции в ряд по степеням параметра, характеризующего частично размеры сечения, главным образом сравнительную близость граничных контуров для решения задачи с высокой степенью точности оказалось достаточным найти незначительное число приближений. В работах Д. И. Шермана [40], [41], [44—47], Д. И. Шермана и ]VI. 3. Народецкого [1] этим методом решены задачи кручения и изгиба брусьев, поперечные сечения которых являются двусвязными областями, ограниченными окружностью и эллипсом, окружностью и квадратом с закругленными вершинами, неконфокальными эллипсами и т. п. В работе Р. Д. Степанова и Д. И. Шермана [1] изучено кручение круглого бруса, ослабленного двумя продольными цилиндрическими круговыми полостями. В работе Д. И. Шермана [43] изучены бесконечные системы линейных уравнений, построенные для решения задач, рассмотренных в упомянутых выше работах (Шерман [40], Степанов и Шерман [1]). [c.629]

По праЁой части й, считаемой временно заданной функцией от t, находится методом функциональных уравнений Мусхелишвили (см. выше п. 3.3) решение задачи (5.39) в замкнутом виде, и найденные функции Фо, "фо вносятся в условие (5.36). Это дает для определения со ( ) соотношение в виде интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Затем используется разложение со ( ) в комплексный ряд Фурье, и интегральное уравнение сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...